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函数的最大值和最小值高二数学讲学稿


高二数学讲学稿
课 题:函数的最大值和最小值 教学目标:使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点、难点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法
1、函数的最大值和最小值 如果在函数定义域 I 内存在 x 0 ,使得对任意的 x ? I ,总有 数在定义域上的最大值; 如果在函数定义域 I 内存在 x 0 ,使得对任意的 x ? I ,总有 数在定义域上的最小值; 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b ? 上的函数 f (x) 的图 象.图中 与 是极小值, 是极大值. 函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值是 ,最小值是 . 一般地,在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上 必有最大值与最小值. ,那么 f ( x0 ) 为函 ,那么 f ( x0 ) 为函
y

a

x1

O

x2

x3

b

x

说明: 1 ⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ? 在 (0,??) 内连 x 续,但没有最大值与最小值; ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ⑶函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必 要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值 ,而函数的极值 。 2、利用导数求函数的最值步骤: 设函数 f (x) 在 ?a, b ? 上连续, (a, b) 内可导, 在 则求 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值 典型例题
王新敞
奎屯 新疆

例 1、求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值。
4 2

例 2、求 f ( x) ?

1 x ? sin x 在区间 [0,2? ] 上的最大值与最小值。 2

例 3、设

2 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? b(?1 ? x ? 1) 的最大值为 1,最小值 3 2

为?

6 ,求常数 a,b。 2

1、下列说法正确的是 (1)函数的极大值就是函数的最大值 (2)函数的极小值就是函数的最小值 (3)函数的最值一定是极值 (4)在闭区间上的连续函数一定存在最值 2、函数 y=

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为 4 3 2

2x ? x 2 3、已知 x,y 为正实数,且函数 y= 的最大值为 x ?1
4、满足 x ? 2 x ? 4 y ? 0 ,求 xy 的取值范围;
2 2

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