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最短路径的教案


13.4:最短路径问题(第一课时)
澄迈县第三中学 王丽娟

教学目标: 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值 时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考,合作探究,培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力, 感受学习成功的快乐。 教 学 重 点 : 将实际问题转化成数学问题,运用轴对称平移解决生活中路径最短 的问题,确 定出最短路径的方法。 导学难点:探索发现“最短路径”的方案,确定最短路径的作图及说理。 教学过程: 一、复习引入 (一).复习: 1.轴对称的变换: 2.轴对称性质: 3..作点 A 关于直线 L 的对称点 A’。

A

4..垂直平分线性质: (二)引入 1.如图所示,从 A 地到 B 地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理 由是什么?

1

C A

①D ② ③
F

E B

2.揭示课题: 二、自主学习,探究新知 (一)引言: 前面我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中,线段最短”(两点之间,线段最短. ) 2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题 我们称它们为最短路径问题,现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本 节将利用数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题”. (二)两点在一条直线的异侧 1.已知:点 A,B 在直线 L 的两侧,在 L 上求一点 C,使得 AC+BC 的和最小。

思考:为什么这样就能得到最短距离呢? 2.应用:如图,要在燃气管道 L 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气,泵站 修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?

2

(三)两点在一条直线同侧 1.已知:如图,A、B 在直线 L 的同一侧,在 L 上求一点 C,使得 CA+CB 的和最 小.

B A
l
2.作法:① 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ② 连接 AB′,交直线 l 于点 C. 点 C 的位置即为所求. 3.为什么这样做就能得到最短距离呢? 4. 5. 问题: 追问 1 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗? 证明 AC +BC 最短时,为什么要在直线 l 上任取一点 C′(与点 C

不重合) ,证明 AC +BC <AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么? 6.归纳小结: 回顾前面的探究过程,我们利用了 解决的问题,从而做出最短路径的选择。 三、实践:将军饮马问题 问题 1:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不 得其解的问题: 从图中的 A 地出发,到一条笔直的河边 l 饮马,然
3

把已知问题转化为容易

后到 B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

B A l
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个 问题后来被称为“将军饮马问题” .你能将这个问题抽象为数学问题吗? 问题 2 如图, A, 在直线 l 的同侧, C 是直线上的一个动点, 点 B 点 当点 C 在

l 的什么位置时,AC 与 CB 的和最小? 四、拓展练习 练习 如图,一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客,然后将

游客送往河岸 BC 上,再返回 P 处,请画出旅游船的最短路径.

C 山 A
五、全课小结: (1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 六、作业:教科书复习题 p93: 15 题

Q P 大桥

河岸

B

4


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