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第三章 第3讲 一次函数、反比函数及二次函数


第 3 讲 一次函数、反比例函数及二次函数

二次函数的解析式有三种形式 (1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) . 2+n(a≠0) a ( x - m ) (2)顶点式:f(x)= ,顶点为(m,n). (3)两根式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ,x1、x2 为二次函数图 像与 x 轴两个交点的横坐标.

1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图 3-3-1,那 么|OA|· |OB|等于( B )

图 3-3-1
c A. a c B.- a c c C. 或- a a b2-4ac D. |a|

2.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则 a 的取值范围是( A ). A.a<1 B.a≤1

C.a>1

D.a≥1

3.函数 f(x)=(k2-3k+2)x+b 在 R 上是减函数,则 k 的取 值范围是 (1,2) . 4.若函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值为 3, 最小值为 2,则 m 的取值范围是 [1,2] .
b 5.若函数 y =ax 与 y =- 在(0,+∞)上都是减函数,则函 x 数 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是单调递 减 函数.

b 解析:由已知得 a<0,b< 0,∴- <0. 2a ∵y=ax + bx
2

? ? b 在 ?- ,+∞?上单调递减, ? 2a ?

∴y=ax2+ bx 在(0,+∞)上是单调递减函数.

考点 1 二次函数的最值的求法

例 1:根据函数单调性求出下列函数的值域:

(1)f(x)=x2+4x-1,x∈[-4,-3]; (2)f(x)=-2x2-x+4,x∈[-3,-1]; (3)f(x)=2x2-4x-1,x∈(-1,3); 1 2 (4)f(x)=- x -x-1,x∈[-4,0]. 2

解析:(1)f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5,
在区间[-4,-3]单调递减,y∈[-4,-1].
(2)f(x)=-2x
2

? 1?3 33 -x +4=-2?x+ ? + , 4? 8 ?

x∈[-3,-1]时单调递增,y∈[-11,3].

(3)f(x)=2x 2- 4x- 1= 2(x- 1)2- 3, x∈(-1,3),当 x= 1 时取最小值- 3, 又 f (- 1)= 5,f(3)= 5,∴y ∈[-3,5) . 1 2 1 1 2 (4)f(x)=- x -x- 1=- (x+1) - , 2 2 2 1 x∈[- 4,0],当 x=- 1 时取最大值- , 2
? 1? ? 又 f (- 4)=- 5, f(0)=-1,∴y∈ -5,- ?. 2? ?

【互动探究】 1.求函数 y=3-2x-x2,x∈ - 5 3 , 2 2 的最大值和最小值.

解:二次函数 y=3-2x-x2 的对称轴为 x=-1. 画出函数的图像,由图3-3-4可知,

图 3-3-4

当 x=- 1 时,y max=4; 3 9 当 x= 时,y min=- . 2 4 所以函数 y= 3- 2x-x 2,
? 5 3? x∈?- , ?的最大值为 ? 2 2?

9 4,最小值为- . 4

例 2:函数 f(x)= ?1-a2?x 2+3?1-a?x+6.

(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

(2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的范围.

解析:(1) 对于 x∈ R,(1-a2)x 2+ 3(1-a)x+6≥ 0 恒成立. ∴①当 a= 1 时,原不等式变为 6≥0,此时 x∈ R. ②当 a=- 1 时, 原不等式变为 6x+ 6≥ 0,此时 x ≥-1, 不满足题意. ③当 a≠±1
2 ? ?1-a >0 时,则 ? ? ?Δ≤0

, 5 , 解得- ≤a<1 且 a ≠- 1, 11

2 ? ?1-a >0 ∴? 2 2 ? ?9?1-a? - 4?1-a ?× 6≤ 0

∴实数 a 的取值范围是-

5 ≤a≤1. 11

(2)∵f(x)的定义域为[-2,1], ∴(1-a2)x 2+3(1-a)x+6≥0 的解集是[-2,1],

∴x1=-2, x 2= 1 是方程(1-a 2)x2+3(1-a)x+6=0 的两根.

?1-a <0 ? a? ?-2+1=-3?1- ∴? 1-a2 ? 6 ?-2×1=1-a2 ?
【互动探究】

2

,解得:a=2.

2.(1)若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解集为(-∞,+∞),
则实数 a 的取值范围是

-4<a<0 ;
.

(2)若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 的解集不是空集,则
实数 a 的取值范围是 a≤-6 或 a≥2

考点 2 含参数问题的讨论 a 1 2 例 3:已知函数 y=-sin x +asinx- + 的最大值为 2,求 4 2
a 的值.
解析: 令 t= sinx,t∈ [- 1,1], a ? a? 1 2 ∴y=- ? t ? + (a -a+ 2),对称轴为 t= . 2 ? 2? 4 a (1)当- 1≤ ≤1,即-2≤a≤ 2 时, 2 1 2 ymax= (a -a+2)= 2,得 a=- 2 或 a=3( 舍去). 4
2

a (2)当 >1,即 a>2 时, 2

? a? 1 2 函数 y=- ? t ? + (a -a+2)在 [-1,1]上单调递增, ? 2? 4
当 t= 1 时,函数 y 取最大值, 1 1 10 即 y max=-1+a- + =2,得 a= . 4 2 3 a (3)当 <-1,即 a<- 2 时, 2

2

? a? 1 函数 y=- ? t ? + (a2-a+2)在 [-1,1]上单调递减, ? 2? 4
当 t=- 1 时,函数 y 取最大值, a 1 即 y max=-1-a- + =2,得 a=-2(舍去). 4 2 10 综上可得:a 的值为- 2 或 . 3

2

错源:忽略对参数的讨论 例 4:已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3.

(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围;
(2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区 间 D,且区间 D 的长度为 12-t.(视区间[a,b]的长度为 b-a) 误解分析:对称轴固定(x=8),而区间[t,10]不固定进行 讨论;对区间的长度理解不准也容易出错. 正解:(1)∵f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数,

函数在区间 [- 1,1]上存在零点,则必有:
? ?f?1?≤0 ? ? ?f?-1?≥ 0 ? ?1- 16+q+3≤0 ,即? ? ?1+ 16+q+3≥0



∴-20≤q≤ 12.
(2)∵0≤t<10,f(x)在区间 [0,8]上是减函数, 在区间 [8,10]上是增函数,且对称轴是 x= 8. ①当 0≤t ≤ 6 时,在区间 [t,10]上, f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)= 12-t,即 t 2- 15t+ 52= 0, 15- 17 15± 17 解得 t = ,∴t= ; 2 2

②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,

∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0,
解得 t=8 或 9,∴t=9.
15- 17 综上可知,存在常数 t= ,8,9 满足条件. 2

纠错反思:二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称 轴进行分类讨论;“轴定区间变”要对区间进行讨论.

例 5 : 设函数 f(x) = ax2 + bx + 1(a 、 b 为实数 ) , F(x) =
? ?f?x? ? ? ?-f?x?

?x>0? . ?x <0?

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求 F(x) 表达式;

(2)在(1)的条件下,当 x∈[-3,3]时,g(x)=f(x)-kx 是单调
函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证: F(m)+F(n)>0.

解析:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1. 由 f(x)≥0 恒成立, 知Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.

从而 f(x)=x2+2x+1.
2 ? ??x+1? ∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1?

?x>0? ?x<0?

(2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1,
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1. 由 g(x)在[-3,3]上是单调函数,知 -

2-k 2-k ≤-3 或- ≥3, 解得 k≤-4 或 k≥8. 2 2

(3)∵f(x)是偶函数,∴ f(-x)=f(x),得 b=0. 而 a>0,∴f(x)=ax 2+ 1 在 [0,+∞)上为增函数 . ?x>0? 依据 ,知: ?x <0? 当 x>0 时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x);
? ?f?x? F(x)= ? ? ?-f?x?

当 x<0 时,-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x).
∴F(x)是奇函数且 F(x)在(0,+∞)上为增函数. 由 m>0,n<0,m+n>0,知 m>-n>0, 则 F(m)>F(-n),∴F(m)>-F(n),即 F(m)+F(n)>0. 【互动探究】 3.已知函数 f(x)=-x2+kx 在[2,4]上是单调函数,则实数 k 的取值范围为 k≤4 或 k≥8

函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的性质

1.二次函数 y=-2x2+x+1,定义域为[t,t+1](t 为可变 常数),下列命题中错误的是( A )
1 9 A.x= 时,y 有最大值 4 8 1 1 9 B.当 ∈[t,t+ 1],x = 时,y 有最大值 4 4 8 1 C.当 <t,x =t 时,y 取得最大值- 2t 2+t +1 4 1 3 D.当 >t+ 1,即 t<- 时,x=t+ 1 时,y 取得最大值 4 4 -2(t+ 1)2+(t+ 1)+ 1

2.若函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 f(1+x)=f(-x),则 下面不等关系成立的是( B ) A.f(2)>f(0)>f(-2) B.f(-2)>f(2)>(0) C.f(0)>f(-2)>f(2) D. f(-2)>f(0)>f(2)
1 解析: 由 f(1+x)=f(-x) 得 f(x)的对称轴 x= , 且开口向上, 2 ∴f(-2)>f(2)>f(0).


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