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2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题11(答案)


2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题 11(答案)
命题人:张开桃

8. 在△ABC 中,AB=2,AC=4,若点 P 为△ABC 的外心,则 AP ? BC 的值为( A.2 9. 定义行列式运算 B.4 C.6 D.8

??? ??? ? ?

C

)

r />姓名: 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1. 设集合 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, B ? {n ? N | ?1 ? n ? 3},则 A ? B ? ( B )
A. {-1,0,1} B. {0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} )

a1 a2 3 将函数 f ( x) ? ? a1b2 ? a2b1 , b1 b2 1

sin 2 x 的图象向左平移 t t ? 0 ) ( cos 2 x
2? 3

个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为( A ) A.

2. 设复数 z ? ?1 ? i(i 为虚数单位) 的共轭复数为 z, 则(1 ? z) ? z =( A ,z
A. ?3 ? i B. ?3 ? i C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

10. 函数f(x)的定义域为 D,若存在闭区间[m,n]? D,使得函数f(x)满足:①f(x) 在[m,n]上是单调函数;②f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n] ,则称区间[m, n]为y=f(x)的“倍值区间” ,以下函数:

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

1 1 1 1 3. 右图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个框图,其中菱形 2 4 6 30
判断框内应填入的条件是 ( B ) A. i ? 15? B. i ? 15? C. i ? 16 ? D. i ? 16 ? 4. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( D )



f ( x) ? x2 ( x ? 0) ; ② f ( x? )
a

x

) e ? x ;) ③ f ( x? ( R

4x x ?1
2

?x (
)

0 ④ ; )

f ( x? )
A.①②

l ox ? g a

1 ( ) (a>0,a≠1) ,其中存在“倍值区间”的是 ( 8
B.②④ C.①③④

C

D.②③④

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 若关于 x 的不等式 |x-m|<2 成立的充分不必要条件是 2≤x≤3, 则实数 m 的取值范围
(1,4)

12. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax ? by ? 0与圆( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 有

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 设变量x,y满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z=2y-3x 的最大值为( C ) ?x ?1 ? 0 ?
A.-3 B.2 C.4 D.5

公共点的概率为



13. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且

S4 1 S ? 则 12 ? S 8 4, S16

13 40

6. 已知实数 1, m ,9 依次构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为( m
D.

14. 设函数 f(x)= A )

x 2011 ?1 ? 2010 ? ? ? 2012sin x, ( x ? [? , ]) 的最大值为 M ,最小值为 N , x 2 2 2011 ? 1

A.

6 3

B.

2 3 3
3 2

C.

6 或2 3

2 3 或2 3

7. 设a为实数,函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x的导数是f ?( x), 且f ?( x) 是偶函数,则曲线

那么 M ? N ? 4021 15. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出 现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行; 依次类推,则(1)按网络运作顺序第 n 行第一个数字(如第 2 行第一个数字为 2,第 3 行第 一个数字为 4,?)是 ; (2)第 63 行从左至右的第 4 个数应是 。

y ? f ( x) 在原点处的切线方程为 (
A.y=-2x B.y=3x

A

) C.y=-3x D.y=4x
1

(II)求使两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角的概率. 解:设点 P ? a, b ? , 共有 9 个:

??

?

? ?1, ?1? , ? ?1,0? , ? ?1,1? , ?1, ?1? , ?1,0? , ?1,1? , ?2, ?1? , ?2,0? , ?2,1? ……3 分
(1)记 f ? x ? ?

1 2 1 ax ? bx ? 1 有零点为事件 A? f ? x ? ? ax 2 ? bx ? 1 有零点, 2 2

即 b 2 ? 2a, 故满足条件的( , b) 有 3 个 a

? 概率 p( A) ?
三.解答题:共 75 分
16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c , AB ? AC ? 8 ,

1 3

7分

(2)记两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角为事件 B

??

?

?BAC ? ? , a ? 4 .
(1)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? 3 sin 2? ? cos2? ? 1 的最大值和最小值. 解(Ⅰ) bc ? cos ? ? 8
2 2

?m ? n ? 0 ?a ? b ? ?? ?? , 故符合条件的 P ? a, b? 有 4 个 ?m与n不共线 ?? ab ? 1 ? 4 12 分 ? 概率 p ( B ) ? 9
18. (本小题满分 12 分)如图所 示,已知菱形 ABCD 的边长为 2,AC∩BD=O. ∠DAB=60°, 将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 D-ABC. (1) 求证:平面 BOD⊥平面 ABC; (2) 若三棱锥 D-ABC 的体积为

b2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? 42 即 b2 ? c 2 ? 32
所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16 所以 0< ? ?

又 b ? c ? 2bc 即 8
cos ? ? 16

1 , 2

D A O C A B

D C

所以 cos ? ?

1 , 又 0< ? < ? 2

?
3

求 BD 的长. 解: (1)∵ABCD 是菱形 ∴DO⊥AC(2 分)

(Ⅱ) f (? ) ? 3 sin 2? ? cos2? ? 1 ? 2sin(2? ?

) ?1 6 ? ? ? 5? 1 ? ? sin(2? ? ) ? 1 因 0< ? ? ,所以 < 2? ? ? , 3 6 6 6 2 6 ? 5? ? 1 当 2? ? ? 即 ? ? 时, f (? ) min ? 2 ? ? 1 ? 2 6 6 3 2
当 2? ?

?

O

?

1、 01 17. (本小题满分 12 分) a 从 ?1、 2 中任取一个数,b 从 ?1、、中任取一个数.

6

?

?

2

即? ?

?

6

时, f (? )max ? 2 ?1 ? 1 ? 3

1 2 ax ? bx ? 1 有零点的概率; 2 ?? ? (II)求使两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角的概率.
(I)求函数 f ? x ? ?

1、 01 解: a 从 ?1、 2 中任取一个数,b 从 ?1、、中任取一个数.
(I)求函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? bx ? 1 有零点的概率; 2
2

B BO⊥AC(4 分) BO∩DO=0,BO、DO?面 BOD AC?面 BOD ∴AC⊥面 BOD(5 分) AC?面 ABC ∴面 ABC⊥面 BOD(6 分) 1 1 1 1 1 (2)VD—ABC= AC·S△BOD= ? 2 3 ·S△BOD= ? 2 3 ? ?1?1 ·sin∠BOD= 3 3 2 2 3 3 ? 2? ? ∠BOD= 或 sin∠BOD= (8 分) 2 3 3 ? ? ① 若∠ BOD= ,BD2=BO2+DO2-2·BO·DO·cos =1+1-1=1,所以 BD=1(10 分) 3 3 2? 2? ② 若∠ BOD= ,BD2=BO2+DO2-2·BO·DO·co s =1+1+1=3,所以 BD= 3 3 3 综上,BD=1 或 3 (12 分)

x2 y2 19. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,过原点和 x 轴不重 a b
合的直线与椭圆 E 相交于 A,B 两点,且 AF ? BF ? 2 2 , AB 最小值为 2. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若圆 x ? y ?
2 2

对一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值。 解: (1)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 6

?

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ( 1 n 2 ? 11 n) ? [ 1 (n ? 1) 2 ? 11 (n ? 1)] ? n ? 5
2 2 2 2

2 的切线 L 与椭圆 E 相交于 P,Q 两点,当 P,Q 两点横坐标不相等时,问 3

?an ? n ? 5(n ? 2) 又 a1 ? 6 也适合上式 ?a n ? n ? 5(n ? N ? )
又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,所以{bn}是等差数列, 又 b3 ? 11 b1 ? b2 ? ?+b9=153,解得 b1=5,d=3。因为 bn ? 3n ? 2 , (2) cn ?
1 1 1 1 3 ? ( ? ) = (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

解: (Ⅰ)设 A ?x0 , y0 ? B( ? x0 , y0 )F(c,0) c ? a ? b
2 2

OP 与 OQ 是否垂直?若可以,请给出证明;若不可以,请说明理由。

?

2

?则

AF ? BF ? 2a ? 2 2 ? a ? 2
2 ? x0 2 ? 2 c 2 x0 2 ?1 ? ?b ? 2 b 2 ? AB ? ?2 x0 ? ? ?2 y0 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ? x0 ? a 2 2 ? 2 a ? a ? x2 。。。。 ? AB min ? 2b ? 2 ?b ? 1所以有椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1 。。。。。5 分 2 2 2 2

??6 分

1 1 1 1 1 1 n ? )] ? 所以 Tn ? c1 ? c2 ? ? c n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ?+ ( ??8 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 3 3 5

(Ⅱ)由题设条件可知直线的斜率存在,设直线 L 的方程为 y=kx+m

m 2 2 2 6 2 L 与圆 x ? y ? 相切,∴ ∴ m ? k ? 1 ----------7 分 ? 3 3 3 1? k 2 x2 ? y 2 ? 1 中得: L 的方程为 y=kx+m 代入 2 2 2 1 ? 2k x ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0, ? ? 8 2k 2 ? 1 ? m2 ? 0 令 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,
2 2

?

?

因为 Tn?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 3

??10 分

因为 Tn 单调递 增,故 (Tn ) min ? T1 ?

?? 11 分 ??13 分

?

?

?

?

2m 2 ? 2 ② 1 ? 2k 2 m 2 ? 2k 2 y1 y 2 ? k 2 x1 x 2 ? km?x1 ? x 2 ? ? m 2 ? ③---------------------10 分 1 ? 2k 2 2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 3m 2 ? 2k 2 ? 2 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y 2 ? ? ? ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ∴ OP ? OQ 。----------------------------------------------------12 分
x1 ? x 2 ? ? 4km ① 1 ? 2k 2

1 k 令 ? ,得 k ? 19, 所以 kmax =18。 3 57

x1 x 2 ?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 的图像过坐标原点 O ,且在点 a ln x, x ? 1 ?

(?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 .
(1)求实数 b, c 的值; (2)求 f ?x ? 在区间 ?? 1,2? 上的最大值; (3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f (x) 上是否存在两点 P, Q ,使得△POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上?请说明理由.
3 2 2 解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x ? bx ? c, 则 f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? b

20. (本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 足

1 2 11 n ? n. 数列 ?bn ? 满 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 , (n ? N ? ) 且 b3 ? 11, b1 ? b2 ? ? ? b9 ? 153.
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

(1 分)

k 3 (2)设 cn ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)
3

依题意,得 ?

? f (0) ? 0 ?c ? 0 即? ,解得 b ? c ? 0 . ? f ?(?1) ? ?5 ?? 3 ? 2 ? b ? ?5

(4 分)

不妨设 P(t , f (t )),(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,显然 t ? 1 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 所以 OP ? OQ ? 0 ,即 ? t 2 ? f (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ①

(2)由(1)知,f(x)=

①当

,

若方程①有解,则存在满足题意的两点 P, Q ;若方程①无解,则不存在满足题意的两点 P, Q 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入①式得 ? t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,
4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解,因此 t ? 1 .

?????11 分

当 x 变化时
x (-1,0)

的变化情况如下表:

此时 f (t ) ? a ln t ,代入①式得, ?t 2 ? (a ln t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 即 令 h( x) ? ( x ? 1) ln x 因为 所以对于

1 ? (t ? 1) ln t a



1 ( x ? 1) ,则 h' ( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 ,所以 h(x) 在 ?1,??? 上单调递增, x
当 时, , 的取值范围 。

方程②总有解,即方程①总有解。

所以对任意给定的正实数 a,曲线 y ? f (x) 上总存在两点 P, Q ,使得△POQ 是以 O 为直角 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上 ?????14 分

又 f (?1) ? 2, f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0, 27
(7 分)

所以 f (x) 在 ? ?1,1? 上的最大值为 2 . ②当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ln x 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f (x) 的最大值为 0 ;

当 a ? 0 时, f (x) 在 ?1,2? 上单调递增,所以 f (x) 在 ?1,2? 上的最大值为 a ln 2 . 分) (8 综上所述,

2 时, f (x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 2; ln 2 2 当 a ln 2 ? 2 ,即 a ? 时, f (x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 a ln 2 . ln 2
当 a ln 2 ? 2 ,即 a ?

(9 分)

(3)假设曲线 y ? f (x) 上存在两点 P, Q 满足题设要求,则点 P, Q 只能在 y 轴的两侧.
4


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