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必修4.三角函数,恒等变换,平面向量--学生用


必修 4.三角函数与恒等变换
1、任意角:正角,负角,零角 2、 ? 的顶点与原点重合, 角 角的始边与 x 轴的 重合, 终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角. 终 边落在坐标轴上,则称 ? 为轴线角. 3、与角 ? 终边相同的角的集合_____________________________________ 4、已知 ? 是第二象限角,确定 ? , ? 所在象

限的方法
2

3

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.
2? ? 3 6 0 ,
?

1 ?

?

?
180



? 180 ? ?. 1?? ? ? 5 7 .3 ? ? ?

?

6、扇形弧长公式: (角度制)____________________(弧度制)_____________________________ 扇形面积公式: (角度制)____________________(弧度制)_____________________________ 7、 任意角三角函数定义: ? 为任意角, 的终边与单位圆交于一点 ? ? x , y ? , 设 则 ? , 特殊:设 ? 为任意角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x , y ? ,它与原点的距离是 r ? r 则 , , 8、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. .
? x ? y
2 2



? 0

?,

9、三角函数线: sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? . 10、同角三角函数的基本关系: (1) ,

y P v T x

? sin

2

2 2 2 ? ? 1 ? co s ? , co s ? ? 1 ? sin ? ? 开平方注意符号;

(2) 11、三角函数的诱导公式: 公式一: 公式二: 公式三: 公式四:

? ? ?s i n ? ?

t a? n

c? s o

sin ? ? ,?o s c ? ? tan ? ?



O

M A

, , , ,

, , , ,

口诀:函数名称不变,符号看象限. 公式五: 公式六: 口诀:函数名改变,符号看象限. , , , ,

1

12、特殊角的三角函数值
特殊角 弧度制 正弦 余弦 正切

13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域 当 最值 当 周期性 奇偶性 时, y m in ? ? 1 . 当 时, y m in ? ? 1 . 时, y m ax ? 1 ; 当 时, y m ax ? 1 ; 既无最大值也无最小值

在 单调性 上是增函数; 在 上是减函数. 对称中心 ? k ? , 0 ? ? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k ? ? ? ? k ? ? ?
2

在 上是增函数; 在 上是减函数. 对称中心 ? k ?
? ?

在 上是增函数 .

?

?
2

? ,0??k ? ?? ?

对称中心 ? k ? 无对称轴

? ,0??k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k ? ? k ? ? ?

14、三角函数的变换 ① y ? sin x
y ? sin ? x ? ? ? y ? ? sin ? ? x ? ? ? y ? sin ? ? x ? ? ?

__________________________

2

② y ? sin x ___________________________ y ? sin ? x ____________________ y ? sin ? ? x ? ? ? ____________________________
y ? ? sin ? ? x ? ? ? .

15、函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ? ? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ?

? ?1 ? tan ? ? ?1 ? tan ?

tan ? ? ) ;

⑹ tan ? ? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ?

tan ? ? ) .

17、二倍角公式: ⑴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ⑵ cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? co s 2 ? ? 1 1 ? co s 2 ? (半角公式 co s 2 ? ? , sin 2 ? ? ) .
2 2 2 2

2

2

⑶ tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

18、辅助角公式: a sin ? ? b co s ? ?

a ? b sin ? ? ? ? ? ,其中 tan ? ?
2 2

b a



必修 4.平面向量
1、向量的概念,零向量,单位向量, 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质: ①交换律:a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ; a ? 0 ? 0 ? a ? a . ③ ? 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

4、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ? a ? ? a ;②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;
? ?
?

?

?

?

?

?

?

当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .
? ? ? ? ?
?
? ? ?

?

⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ? ? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b .
? ?

?

?

?

5、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 . (不共线的向量 e1 、 e 2 作为这一平面内所 有向量的一组基底) 7、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ? 1 ? 2 上的一点, ? 1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,当
???? ???? ? 1 ? ? ? ? ? 2 时,点 ? 的坐标是 ? x1 ? ? x 2 , y1 ? ? y 2 ? . ? ?
? 1? ? 1? ? ?

?

??

?? ?

?

?

??

?? ?

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?? ?

8、平面向量的数量积:
? ? ? ? ?

⑴ a ? b ? a b co s ? ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 1 8 0
?

? ?

?

?

?.
? ?

零向量与任一向量的数量积为 0 .
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a
? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .
2 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

2

?

?

?

? ?

?

?

9、坐标运算 (1)加减法: a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x 2 , y 2 ? , a ? b ? ?x 1? x 2 y, 1 ?y 设 则 (2) 数乘:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a ? ? ? x , y ? ? ? ? x , ? y ? . (3)数量积:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 . (4)共线:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共线当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 时, (5)垂直:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . (6)模:设 a ? ? x , y ? ,则 a ?
? ? a ?b (7)夹角: co s ? ? ? ? ? a b
?
? x +y .
2 2

?

?

?

?

2

? ,a ? b

?

?

? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? .

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

x2 ? y2
2

2

(8)设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,则 ? ? ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? .

????

4


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