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正余弦函数的性质导学案


东江高级中学数学高效课堂导学案
班级 小组 姓名 组内评价 教师评价 1.4.2 三角函数的图象与性质(2)导学案

学习目标:
知识目标: 1、借助正、余弦函数的图象,说出正、余弦函数的图象性质; 2、掌握正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题。 能力目标:培养学生的观察能力、概括能力、应用能力及数形结合思想与化归转化思想。 情感态度价值观:通过本节课的学习,让学生体会先观察函数的图象然后得到函数的性质、再进一步 运用性质解决相关问题的学习方法,从而形成良好的学习方法与思维品质。 重点:正、余弦函数的图象与性质的应用 难点:对正、余弦函数的图象与性质的理解

预习案(课前):使用说明与学法指导 1.用 15 分钟左右的时间,阅读探究教辅资料中相关的基础知
识,自主高效预习,提升自己的阅读理解能力;2.完成教材助读设置的问题,然后结合教辅资料中的 基础知识,完成预习自测;3。将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑”处。

一、 相关知识回顾 (请同学们回忆以前学过的知识并作出回答)
1.请分别画出正弦函数 y=sinx 与余弦函数 y=cosx 在 ?0, 2? ? 内的图象: 2.函数周期性的定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个 时, 都有 期。 3. 周期性是刻画函数“ , 那么函数 f (x) 就叫做 , 叫做这个函数的周 便得当 x 取定义域内的每一个值

” 的变化规律, 最小正周期是指



4 . 一 般 地 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 和 y ? Acos(? x ? ? ) ? k 的 周 期 计 算 公 式 为: 。 5.类比我们以前学过的指数函数与对数函数,我们是如何研究新学函数的性质的?请同学们思考。

二、 【知识梳理】
正弦函数与余弦函数的性质: (1) y ? sin x 的定义域: (2) y ? sin x 的值域: 对于 y ? sin x :当且仅当 x ? ; y ? cos x 的定义域: ; y ? cos x 的值域: 时, ymax ? ; 。 。

1

1

当且仅当 x ? 对于 y ? cos x ;当且仅当 x ? 当且仅当 x ? (3)奇偶性: ① y ? sin x( x ? R) 是

时, ymin ? 时, ymax ? 时, ymin ?

; ; 。

,其图 像关于 ;

对 称,它的对称中心坐标是

,对称轴方程是 ② y ? cos x( x ? R) 是 是 (4)单调性: ① y ? sin x( x ? R) 在每一个闭区间 在每一个闭区间 ② y ? cos x( x ? R) 在每一个闭区间 在每一个 闭区间 三、 【预习自测】 ,其图像关于

对称,它的对称中心坐标 。

,对称轴 方程是

上,y=sinx 是增函数. 上,y=sinx 是减函数.

上,y=cosx 是增函数. 上,y=cosx 是减函数.

1、函数f (x) ? sinx 在[?

? 3? , ]上是 函数, 在[ , ]上是 函数; 2 2 2 2 函数f (x) ? cosx 在[0, ? ]上是 函数, 在[?? , 0]上是 函数.(填“增”或“减”)
?
3 sin 13? 5? , cos(? ) 6 12 cos

? ?

2、 sin

?
8

(填“ ? ” “?” )

3、函数f (x) ? sin 2 x,当x ?

时f (x)取最大值;函数f (x) ? cos 2 x ?1的值域为
)A x=

.

4、函数f (x) ? sin(x ? )图象的一条对称轴是( 4

?

?
4

B x=

?
2

C x=-

?
4

D x=-

?
2

5、函数f (x) ? cos( ? x)是( ) 2 A 奇函数 B 偶函数
6.我的疑惑:

?

C 非奇非偶函数

D 不确定

2

2

探究案(课堂) 【我学习、我快乐、我质疑】 探究点一:求正余弦函数的最值与值域。
例题1: 求下列函数的最值、 并指出相应x的取值集合. (1) y=cosx+1 (2) y=3cos2x+1 (3) y=-3sin(2x+

?
6

)-2

变式:求下列函数的值域:

(1) y ? cosx ? 1, x ? (?

? ?

, ) 6 3

(2)y=sin(2x-

?
3

),x ?[0,? ]

[归纳小结]: 求形如y ? A sin(? x ? ? ) ? k 或 y ? Acos(? x ? ? ) ? k 的最值或值域的方法.

探究点二:利用单调性比较三角函数值的大小

例题2 : 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. ? ? 23? 17? (1) sin(- )与sin(- ) (2) cos()与cos() 18 10 5 4 (3) sin20150与cos20150

[归纳小结]:比较两个三角函数值的大小的方法。

练习:比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) sin 250 与 sin 260
? ?

(2) cos

15? 14? 与 cos 8 9
3

3

探究点三、求正余弦函数的单调区间

1 ? 例题3、求函数y ? sin( x ? ), x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间 。 2 3
提示一:正弦函数 y=sinx 在 R 上的单调递增区间是多少? 提示二:能否用

1 ? x ? 整体代换 y=sinx 中的 x? 2 3

提示三: x ?[?2? , 2? ] 这个条件该怎样利用? [我的困惑]: [我的收获]:

变式练习: 求函数 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的单调递增区间。

[归纳小结]:

探究点四:求正余弦函数的对称轴与对称中心

例题4 : 求下列函数的对称轴与对称中心. (1) y=sin2x 1 ? (2) y=cos( x- ) 2 6

4

4

我的知识网络图

课后巩固---知识检测·总结提升 ? 2? ) 的值域为 1. 函数 y ? sin x( ? x ? 6 3 2.比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1) sin14 、 sin155
? ?

(2)cos1 与 cos2

(3) sin194 、 cos160

?

?

3.下列函数的单调递增区间: (1) y ? sin( x ?

?
4

)

(2) y ? 3cos(

?

x ? ) 3 2

4.求下列函数的 对称轴、对称中心: (1) y ? 2sin( ?

x ? ) 3 3

(2) y ?

1 ? cos(3 x ? ) ? 1 2 6

我的收获-----反思静悟·体验成功

5

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