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2015届高三文科数学专题复习数列的综合练习一


2015 届高三文科数学专题复习数列的综合练习一
考点 1:数列的单调性与最值 例 1.已知数列 {an } 是递增数列,且对于任意的 n ? N , an ? n2 ? ? n 恒成立,则实数 ? 的
?

取值范围为

.

例 2.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 5n ? 4 .
2

问: (1).数列中有多少项是负数?(2).当 n 为何值时, an 有最小值?并求出最小值. (3)当 n 为何值时,该数列的前 n 项和 Sn 有最小值?并求出最小值. 例 3. 3 ( 2011 年 浙 江 文 17 ) 若 数 列 ?n(n ? 4 ) ( n ) ? 中的最大项是第 k 项,则

? ?

2 ? 3 ?

k =_____________. k ? 4

变式训练: 1.已知数列 ?an ? , an ? ?2n2 ? ?n ,若该数列是递减数列,则实数 ? 的取值范围是( A. ? ??,3? B. ? ??,4? C. ? ??,5? D. ? ??,6? )

2. (2010 福建理数) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取 最小值时, n 等于( A.6 ) B.7 C.8
aa

D.9 )

3. 【2014· 辽宁卷 (文 9) 】 设等差数列 {an } 的公差为 d, 若数列 {2 1 n } 为递减数列, 则 ( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

4.【2014·北京卷(理 5) 】设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列 的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2013 年高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: P1:数列{an}是递增数列; P2:数列{nan}是递增数列; an P3:数列{ }是递增数列; P4:数列{an+3nd}是递增数列. n 其中的真命题为( A.p1,p2 ) B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

解析:设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1 为真命题;若 an=3n-12,
1

则满足已知, 但 nan=3n2-12n 并非递增数列, 所以 p2 为假命题; 若 an=n+1, 则满足已知, an 1 但 =1+ 是递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以 n n p4 为真命题. 6.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 的项为 A. ( ) B.

S S1 S 2 S3 , , ,? , n 中最大 a1 a2 a3 an

S6 a6

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

7. 【上海市奉贤 2013 届高三一模】 已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和, 且 S6>S7>S5, 有下列四个命题,假 的是( .命题 .. A.公差 d<0 ) C.满足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 D.a6>a7

B.在所有 Sn<0 中,S13 最大

8.【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】已知数列 {an } 是 1 为首项、2 为公差的等差 数列,{bn } 是 1 为首项、2 为公比的等比数列.设 cn ? abn , Tn ? c1 ? c2 ? 则当 Tn>2013 时,n 的最小值是( (A)7 (B)9 ) (C)10 (D)11

? cn (n ? N *) ,

9. 已知数列满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 * , (n? N ) ,若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1) ,b1 ? ?? , an ? 2 an


且数列 {bn } 是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围为( A. ? ? 2 B. ? ? 3 C. ? ? 2 D. ? ? 3
?

10. 已知数列 {an } 是递减数列, 且对于任意的 n ? N ,an ? ?n ? ?n 恒成立, 则实数 ? 的
2

取值范围为

.
n

?7? 11.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 ? ? ? ,则 an 的最大值为 ?8?
2

.

12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为__________. n

13.【2014·北京卷(理 12) 】若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当

n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大. 8
14.【2014·江西卷(文 13) 】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当 且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值,则 d 的取值范围_________. ?1 ? d ? ?

7 8

【解析】 因为 a1 ? 7 ? 0 ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值,可知 d ? 0 且同时满足

a8 ? 0, a9 ? 0 ,
所以, ?

?a8 ? 7 ? 7 d ? 0 7 ,易得 ?1 ? d ? ? 8 ?a9 ? 7 ? 8d ? 0

15.已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n· 2n 1>50 成立的正整数 n 的最小值. 2 解析:(1)设等 比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+ a3+a4=28,得 a3=8,∴a2+a4=20,

? ?a1q+a1q3=20 ?q=2 ?q= ? ? ∴? 2 ,解得? 或? 2 ?a1q =8 ? ? ?a1=2 ?
∴an=2n.

1 .又数列{an}单调递增,∴q=2,a1=2,

?a1=32

1 (2)由题意知 bn=2n· log 2n=-n· 2n, ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,① 2 ∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n 1,②


2?1-2n? + + + + ∴①-②得 Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n 1= -n· 2n 1=2n 1-n· 2n 1-2, 1-2 ∵Sn+n· 2n 1>50,∴2n 1-2>50,∴2n 1>52,又当 n≤4 时,2n 1≤25=32<52,当 n≥5 时,
+ + + +

2n 1≥26=64>52.故使 Sn+n· 2n 1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.
+ +

考点 2:数列与不等式的综合问题

3

例 4. 已知数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , ?bn ? 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 ,

a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 ? 10 .
(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ????? anbn , n ? N ? ,求 Tn . (3)记 cn ?

9 ? 6n ? 4 ? ? ,P n n 是数列 ?cn ? 的前 n 项和, n ? N .试证明: P T2n

3 2

变式训练: 16. [2011· 全国卷大纲理数 20]设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ?1. 1 ? an?1 1 ? an

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 .

【命题立意】 :本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基 础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗 透了化归与转化思想方法.难度较小,学生易得分。 【解析】 : (Ⅰ)由

? 1 1 1 ? 1 ? ? ? 1 知数列 ? ? 1 ,公差为 1 的等差 ? 是首项为 1 ? an?1 1 ? an 1 ? a1 ? ?1 ? an ?

数列。?

1 1 ? 1 ? (n ? 1) 1 ? n,? an ? 1 ? 1 ? an n
1 ? an ?1 n 1? 1? ? 1 n 1? n ?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 n n n n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?
n n

? Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

1 1 1 ? ) ? 1? ?1 n n ?1 n ?1

17. ( 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) )设各项均为正数的数列
2 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列. 4Sn ? an n ? 1,n ? N ? , ?1 ? 4

?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

4

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

2 2 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 , an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? .( 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
18. ( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 )) 正 项 数 列
2 Sn ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0

?an ?

的 前 项 和 Sn 满 足 :

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

n ?1 5 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a
2 2 2

【答案】(1)解:由 S n ? ( n ? n ? 1) S n ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .
2

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n .

5

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

19.【2014·天津卷(文理 19) 】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合

M = {0,1,2, , q - 1},集合 A = {x x = x1 + x2q +
(Ⅰ )当 q = 2 , n = 3 时,用列举法表示集合 A ; (Ⅱ ) 设 s, t ? A , s = a1 + a2q +

+ xn q n- 1 , xi ? M , i

1,2,

, n}.

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

其中 ai , bi ? M , + bnqn- 1 ,

i = 1,2,

, n . 证明:若 an < bn ,则 s < t .

【解析】本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前 n 项和公式,不等式的证明等基 础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.

n = 3 时, (Ⅰ ) 解: 当q = 2, M = {0,1},A = {x x = x1 + 2x2 + 4x3 , xi ? M , i
可得, A = {0,1,2,3,4,5,6,7}. (Ⅱ )证明:由 s, t ? A , s = a1 + a2q +

1,2,3}.

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 ,

ai , bi ? M , i = 1,2,

, n 及 an < bn ,可得

s - t = (a1 - b1 ) + (a2 - b2 )q + ? (q 1) + (q - 1)q +
=

+ (an- 1 - bn- 1 )qn- 2 + (an - bn )qn- 1

+ (q - 1)qn- 2 - qn- 1

(q - 1)(1 - q n- 1 )
1- q

- q n- 1

= - 1 < 0 . 所以, s < t .
考点 3:数列与函数、方程的综合问题

6

例 5. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图像上。 n

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 20 an an?1 的最小正整数 m .
(Ⅱ)设 bn ? 例 6.【2014·四川卷(理文 19) 】设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N * ) 。 (1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2)若 a1 ? 1 ,函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?
x

1 ,求数列 ln 2

a { n } 的前 n 项和 Tn 。 bn
【解析】 (1)点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上,所以 bn ? 2 n ,又等差数列 {an } 的公
x
a

差为 d ,所以

bn ?1 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2d bn 2
a8

因为点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 4b7 ? 2 又 a1 ? ?2 ,所以 S n ? na1 ?
x

? b8 ,所以 2d ?

b8 ?4?d ?2 b7

n(n ? 1) d ? ?2n ? n 2 ? n ? n 2 ? 3n 2
x

(2)由 f ( x) ? 2 ? f ?( x) ? 2 ln 2 函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线方程为 y ? b2 ? (2 2 ln 2)( x ? a2 )
a

所以切线在 x 轴上的截距为 a2 ? 从而 an ? n , bn ? 2n ,

1 1 1 ,从而 a2 ? ,故 a2 ? 2 ? 2? ln 2 ln 2 ln 2

an n 1 2 3 ? n , Tn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 bn 2

?

n 2n

1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2 2

?

1 n 1 n n?2 n?2 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 故 Tn ? 2 ? n n 2 2 2 2 2 2

7

变式训练: 1 20.数列{an}中,a1=1,an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,则数列{bn}的前 n bn 项和 Sn=( ) 1 1 n n A. B. C. D. 2n+1 n+1 2n+1 n+1 21.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b8 +a9=( A.24 ) B.32 C.48 D.64

解析:依题意有,an+an+1=bn,an· an+1=2n,又 a1=1,故 a2=2,a3=2,a4=22,a5 =22,a6=23,a7=23,a8=24,a9=24,故 b8+a9=(a8+a9)+a9=a8+2a9=3×24=48. 答案:C 1 22.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 与 x2-x+b=0(a≠b)的四个根组成首项为 的等差数列,则 4 a+b 的值是( 3 A. 8 ) 11 B. 24 13 C. 24 31 D. 72

解析:设两个方程的根分别为 x1、x4 和 x2、x3. 1 3 5 7 因为 x1+x4=x2+x3=1,所以 x1= ,x4= ,从而 x2= ,x3= . 4 4 12 12 3 35 35 3 3 35 31 则 a=x1x4= ,b=x2x3= ,或 a= ,b= ,∴a+b= + = . 16 144 144 16 16 144 72 答案:D 23.已知点(1,

1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 3

n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -
S n?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ).

?1? (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; an ? ?2 ? ? ; bn ? 2n ? 1 ? 3?
(2)若数列{

n

1000 1 的最小正整数 n 是多少? 112 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1
w.w.w. k. s.

? S 24.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, n ? n
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 11 ? ? 在直线 y ? x ? 上. 2 2 ?

8

(Ⅱ) 设 bn ?

3 k , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 并求使不等式 Tn ? 对 (2an ? 11)(2an ?1 ? 11) 20

一切 n ? N* 都成立的最大正整数 k 的值. 25.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 】 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,

a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * ,函数 f ( x) ? (an ? an?1 ? an?2 ) x ? an?1 ? cos x - an?2 ? sin x ,
满足 f '( ) ? 0

?

2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

2 an ? (Ⅱ)若 bn ? (

1 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2 an

2 an ? (2) bn ? (

1 1 1 ) ?( 2 n ? 1 ? n ?1 ) ?( 2 n ?1 ) ? n an 2 2 2

1 1 ( 1- n ) ( 2 2 ? n ?1 )n 2 2 Sn ? ? 1 2 12

1 2n 1 ? n2 ? 3n ? 1- n 2 =( n n ? 3) ? 12

26.(2012 年高考(四川文) )已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ? 轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

an 与 x 轴正半 2

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1
9

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

1 1 1 与 ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由. f (0) ? f (1)

10


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