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专题一 第二讲


思想解读

专题一 第二讲

第二讲 数形结合思想

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1.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与 形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用 包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学 问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数 学

问题的本质; (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使 形更加精确.

思想解读

专题一 第二讲

2.数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题:其实质 是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来, 关键是代数问 题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何
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问题代数化, 在运用数形结合思想分析和解决问题时, 要注 意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲 线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意 义又分析其代数意义;第二是恰当设参,合理用参,建立关 系,由数思形,以形思数,做好数形转化;第三是正确确定 参数的取值范围.

思想解读

专题一 第二讲

3.实现数形结合,常与以下内容有关: (1)实数与数轴上的点的对应关系;
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(2)函数与图象的对应关系; (3)以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复 数、三角函数等; (4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式 (x-2)2+ (y-1)2= 4,表示坐标平面内以 (2,1)为圆心,以 2 为半径的圆.

真题感悟

专题一 第二讲

1.(2013· 重庆)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2
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+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴 上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 ( )

解析 设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2, - 3) , 那 么 |PC1 | + |PC2 | = |PC1′| + |PC2 |≥|C1′C2| = ?2-3?2+?-3-4?2=5 2.

真题感悟

专题一 第二讲

而|PM|=|PC1 |-1,|PN|=|PC2|-3,
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∴|PM |+|PN|=|PC1 |+|PC2 |-4≥5 2-4.

答案 A

真题感悟

专题一 第二讲

2.(2011· 大纲全国)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向 量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( C ) 2 A.1 B.2 C. 2 D. 2
解析 如图,设 O A =a,O B =b,O C =c, 则 C A =a-c,C B =b-c.由题意知 C A ⊥C B ,∴O、A、C、B 四点共圆.∴当 OC 为圆的直径时,|c|最大,此时,|O C |= 2.

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真题感悟

专题一 第二讲

3.(2013· 山东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式 组 ?2x- y- 2≥ 0, ? ?x+ 2y- 1≥ 0, ?3x+ y- 8≤ 0 ?
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所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜 ( C )

率的最小值为 A.2
解析

B.1

1 C.- 3

1 D.- 2
得 A(3,-1).

1 此时直线 OM 的斜率最小,且为-3.

?x+2y-1=0, ? 如图,由? ? ?3x+y-8=0

真题感悟
4.(2013· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数

专题一 第二讲
?- x2+ 2x, x≤ 0, ? f ( x) = ? ? ?ln? x+ 1?,x>0.

若 )

|f(x)|≥ ax,则 a 的取值范围是 A.(-∞, 0] B.(-∞, 1]
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(

C.[- 2,1]

D.[- 2,0]

解析 函数 y=|f(x)|的图象如图.
①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立. ②当 a>0 时,只需在 x>0 时,

ln(x+1)≥ax 成立.
比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度.

真题感悟

专题一 第二讲

显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立.
③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x2-2x≥ax 成立.
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即 a≥x-2 成立,∴a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选 D. 答案 D

真题感悟

专题一 第二讲

|x2-1| 5.(2012· 天津)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图 x-1 (0,1)∪(1,4) 象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是_____________.
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解析 根据绝对值的意义, |x2-1| y= x-1
? ?x+1?x>1或x<-1?, =? ? ?-x-1?-1≤x<1?.

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.

根据图象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

题型与方法

专题一 第二讲

题型一
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数形结合解决方程的根的个数问题 (2012· 福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b= 设 f(x)= (2x-1)*(x- 1), 且关于 x 的方程

例 1

?a2- ab, a≤ b, ? ? 2 ? ?b - ab, a>b.

f(x)=m(m∈ R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.
审题破题 本题以新定义为背景,要先写出 f(x)的解析式, 然后将方程 f(x)=m 根的个数转化为函数 y=f(x) 的图象和直 线 y=m 的交点个数.

题型与方法
解析
?? 2x- 1? x,x≤ 0, ? 由定义可知,f(x)=? ? ?-? x- 1? x,x>0.

专题一 第二讲

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作出函数 f(x)的图象,如图所示. 1 由图可知,当 0<m< 时, 4

f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等 的实数根 x1,x2,x3.
不妨设 x1<x2<x3,

易知 x2>0,
1 且 x2+x3=2× =1, 2

题型与方法

专题一 第二讲

1 ∴x2x3< . 4
1 ? ??2x-1?x= , 4 令? ? ?x<0, 1- 3 解得 x= 4 .

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1- 3 1- 3 ∴ 4 <x1<0,∴ 16 <x1x2x3<0.
答案
?1- ? ? 16 ? ? 3 ? ,0? ?

题型与方法

专题一 第二讲

反思归纳 研究方程的根的个数、 根的范围等问题时, 经常采
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用数形结合的方法.一般地,方程 f(x)=0 的根,就是函数 f(x) 的零点,方程 f(x)=g(x)的根,就是函数 f(x)和 g(x)的图象的 交点的横坐标.

题型与方法

专题一 第二讲

变式训练 1 已知函数 f(x)满足下面关系: ①f(x+1)=f(x-1); ②当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程 f(x)=lg x 解的个数是 ( C )
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A.5

B.7

C.9

D.10

解析 由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0,1]的函数. 又 f(x)=lg x,则 x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数 即为解的个数.由图象可知共 9 个交点.

题型与方法
题型二 例 2 数形结合解不等式问题

专题一 第二讲

4 设有函数 f(x)= a + -x2-4x和 g(x) = x + 1 ,已知 3

x∈[-4,0]时恒有 f(x)≤g(x),求实数 a 的取值范围.
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审题破题 x∈[-4,0]时恒有 f(x)≤g(x),可以转化为 x∈[-4,0]时, 函数 f(x)的图象都在函数 g(x)的图象下方或者 两图象有交点.
解 f(x)≤g(x),

4 即 a+ -x -4x≤ x+1, 3
2

4 变形得 -x -4x≤3x+1-a,
2

题型与方法
令 y= -x2-4x, 4 y= x+1-a. 3
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专题一 第二讲
① ②

①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0),
即表示以(-2,0)为圆心,2 为半径的圆的上半圆;②表示斜率 4 为3,纵截距为 1-a 的平行直线系. 设与圆相切的直线为 AT,AT 的直线方程为: 4 y=3x+b(b>0),

|-8+3b| 则圆心(-2,0)到 AT 的距离为 d= , 5

题型与方法

专题一 第二讲

|-8+3b| 2 由 =2 得,b=6 或- (舍去). 5 3
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∴当 1-a≥6 即 a≤-5 时,f(x)≤g(x).

反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题, 可以将 题目中的某些条件用图象表现出来, 利用图象间的关系以形助 数,求方程的解集或其中参数的范围.

题型与方法

专题一 第二讲

变式训练 2 已知不等式 x2+ax-2a2<0 的解集为 P,不等式 |x+1|<3 的解集为 Q,若 P?Q,求实数 a 的取值范围.

解 x2+ax-2a2=(x+2a)(x-a)<0.
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|x+1|<3?Q={x|-4<x<2}. 当-2a<a,即 a>0 时,P={x|-2a<x<a}.

?-2a≥-4, ? ∵P?Q,∴?a≤2, ?a>0. ?

解得 0<a≤2.

题型与方法

专题一 第二讲

当-2a=a,即 a=0 时,P=?,P?Q.
当-2a>a,即 a<0 时,P={x|a<x<-2a},
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?a≥-4, ? ∵P?Q,∴?-2a≤2, ?a<0, ?
综上可得-1≤a≤2.

解得-1≤a<0,

题型与方法
题型三

专题一 第二讲

数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题

例 3 已知函数 f(x)=ax2+ bx-1(a, b∈R 且 a>0)有两个零点, b 其中一个零点在区间(1,2)内,则 的取值范围为 ( ) a+1
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A.(-∞,1) C.(-2,1]
审题破题

B.(-∞, 1] D.(-2,1)

b 先根据图象确定 a, b 满足的条件, 然后利用 a+1

的几何意义——两点(a,b),(-1,0)连线斜率求范围.
解析 因为 a>0,所以二次函数 f(x)的图象开口向上.

题型与方法
?a>0, ? 有?f? 1? <0, ? f? 2? >0, ?
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专题一 第二讲
?a>0, ? 即?a+b-1<0, ?4a+2b-1>0. ?

又 f(0)=-1,所以要使函数 f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则

如图所示的阴影部分是上述不等式组所确 b 定的平面区域,式子 表示平面区域 a+1 内的点 P(a,b)与点 Q(-1,0)连线的斜率.
1-0 而直线 QA 的斜率 k= =1,直线 0-?-1? 4a+2b-1=0 的斜率为-2,显然不等式组所表示的平面区域 不包括边界,所以 P,Q 连线的斜率的取值范围为(-2,1).故选 D.
答案 D

题型与方法
反思归纳

专题一 第二讲
如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,

就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求 解,比较常见的对应有: b- n (1) ?(a, b)、 (m, n)连线的斜率; a- m (2) ? a- m? 2+? b- n? 2?(a, b)、 (m, n)之间的距离; (3)a2+ b2= c2?a、 b、 c 为直角三角形的三边; a+ b (4)f(a- x)=f(b+ x)?f(x)图象的对称轴为 x= .只要具有一 2 定的观察能力, 再掌握常见的数与形的对应类型, 就一定能得 心应手地运用数形结合的思想方法 .

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题型与方法
变式训练 3 已知点 P(x, y)的坐标 则 x2+y2- 6x+9 的取值范围是 A.[2,4]
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专题一 第二讲
?x- 2y+ 1≥ 0, ? x, y 满足? ? ?|x |- y- 1≤ 0,

( B ) D.[4,16]

B.[2,16]

C.[4,10]

解析 画出可行域如图,所求的 x2+y2-6x +9=(x-3)2+y2 是点 Q(3,0)到可行域上的点 的距离的平方,由图形知最小值为 Q 到射 线 x-y-1=0(x≥0)的距离 d 的平方,最大 值为|QA |2=16.
? ∵d2=? ? ?

|3-0-1| ? ?2 2 = ( 2) =2. 2 2? 1 +?-1? ?

∴取值范围是[2,16].

题型与方法

专题一 第二讲

题型四

数形结合解几何问题

例 4 已知点 P 在抛物线 y2= 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,- 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P
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的坐标为 1 A.( ,-1) 4 C.(1,2)

( 1 B.( , 1) 4 D.(1,-2)

)

审题破题 本题可以结合图形将抛物线上的点 P 到焦点的 距离转化为到准线的距离,再探求最值.

题型与方法

专题一 第二讲

解析

定点 Q(2,- 1)在抛物线内部,由抛

物线的定义知,动点 P 到抛物线焦点的距 离等于它到准线的距离,问题转化为当点
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P 到点 Q 的距离和点 P 到抛物线的准线距 离之和最小时,求点 P 的坐标,显然点 P 是直线 y=-1 和抛物线 y2=4x 的交点时,两距离之和取最小 1 值,解得这个点的坐标是( ,-1). 4
答案 A

题型与方法

专题一 第二讲

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反思归纳 在几何中的一些最值问题中, 可以根据图形的性质 结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值.

题型与方法 专题一 第二讲 变式训练 4 已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1
=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心, 求四边形 PACB 面积的最小值. 解 从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0
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向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面 1 1 积 SRt△PAC=2|PA |· |AC|=2|PA |越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越 来越大;
当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值,此时|PC|= |3×1+4×1+8| =3, 2 2 3 +4
四边形 PACB



小,显然,当点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直直线

题型与方法

专题一 第二讲

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从而|PA|= |PC|2-|AC|2 =2 2.
∴(S 四边形 PACB)min 1 =2× ×|PA |×|AC|=2 2. 2

阅卷评析

专题一 第二讲

典例
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(14 分)已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0.

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图 象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.
规范解答 解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),

当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0, ∴当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);

阅卷评析

专题一 第二讲

当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a或 x> a, 由 f′(x)<0,解得- a<x< a, ∴当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a),( a,+∞);
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单调减区间为(- a, a).
(2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值,

[6 分]

∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0, ∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1, f′(x)=3x2-3,

[8 分]

由 f′(x)=0,

阅卷评析

专题一 第二讲

解得 x1=-1,x2=1. 由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)
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=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3.
因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合如图所示 f(x)的图象可知: m 的取值范围是(-3,1). [14 分]

阅卷评析

专题一 第二讲

评分细则 (1)求出 f′ (x)给 1 分,不写出单调区间扣 1 分; (2)只画图象没有说明极值扣 2 分;(3)没有结论扣 1 分,结论
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中范围写成不等式形式不扣分. 阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合,根据函数的 性质勾画函数的大致图象; (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚,单调性和极值 是勾画函数的前提,然后结合图象找出实数 m 的取值范围.

小题冲关

专题一 第二讲

1.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,
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f(x)=ln x,则有 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3

( 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

)

解析 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直 2-x+x 线 x= 2 =1 对称,又当 x≥1 时, f(x)=ln x,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大,

小题冲关

专题一 第二讲

1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2
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1 1 ∴f( )<f( )<f(2). 2 3

答案 C

小题冲关
?x2+ bx+ c, ? f(x)=? ? ?2,

专题一 第二讲
x≤0, x>0. D.4

2.设函数

若 f(-4)=f(0), f(-2) ( )

=-2,则函数 y=g(x)=f(x)-x 的零点个数为
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A.1
解析

B.2

C.3

由 f(-4)=f(0)

得 16-4b+c=c.

由 f(-2)=-2,得 4-2b+c=-2.
联立两方程解得:b=4,c=2.

小题冲关

专题一 第二讲

?x2+4x+ 2, x≤ 0, ? 于是,f(x)=? ? x>0. ?2,

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在同一直角坐标系内,作出函数 y=f(x)与函数 y=x 的图象, 知它们有 3 个交点,进而函数亦有 3 个零点.
答案 C

小题冲关

专题一 第二讲

3.若方程 x+k= 1-x2有且只有一个解,则 k 的取值范围是 ( D ) A.[-1,1)
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B.k=± 2 D.k= 2或 k∈[-1,1)

C.[-1,1]

解析 令 y=x+k,令 y= 1-x2, 则 x2+y2=1(y≥0). 作出图象如图:
而 y=x+k 中,k 是直线的纵截距,由图知:方程有一个解 ?直线与上述半圆只有一个公共点?k= 2或-1≤k<1.

小题冲关

专题一 第二讲

4.设 a,b,c 是单位向量,且 a· b=0,则(a-c)· (b-c)的最小 值为 A.-2
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( D ) B. 2-2 D.1- 2

C.-1

解析 由于(a-c)· (b-c)=-(a+b)· c+1, 因此等价于求(a+b)· c 的最大值,这个最 大值只有当向量 a+b 与向量 c 同向共线时 取得.由于 a· b=0,故 a⊥b,如图所示,|a+b|= 2,|c|=1, 当 θ=0 时, (a+b)· c 取最大值 2, 故所求的最小值为 1- 2.

小题冲关
1 5.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 ? ? 2 ? 2? ? ? ? A.?0, ? B.? ,1? ? 2? ? ?2 ? C.(1, 2) D.( 2,2)
解析 1 由 0<x≤ ,且 logax>4x>0, 2

专题一 第二讲

(

)

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可得 0<a<1,
1 2 由 4 =loga2可得 a= 2 .
1 2

令 f(x)=4x,g(x)=logax,

小题冲关

专题一 第二讲

若 4x<logax,
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1 则说明当 0<x≤2时,f(x)的图象恒在 g(x)图象的下方( 如图所 2 示),此时需 a> 2 .
综上可得 a
答案 B
? 的取值范围是? ? ?

2 ? ? . , 1 ? 2 ?

小题冲关

专题一 第二讲

1 2 6.已知 P 为抛物线 y= x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 4 5-1 M,点 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________.
解析
本 讲 栏 目 开

1 2 如图,抛物线 y=4x ,即 x2=4y 的

焦点 F(0,1),记点 P 在抛物线的准线 l:y =-1 上的射影为 P′,根据抛物线的定 义知,|PP′|=|PF|,则|PP′ |+ |PA |= |PF| +|PA |≥|AF|= 22+12= 5.

所以(|PA|+|PM|)min=(|PA |+|PP′|-1)min= 5-1.


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