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【2014唐山市一模】河北省唐山市2014届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案


唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学
一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小 题给出的四个选项中 ,中有一项是符合题目要求的. 1. 设 (2 ? i ) z ? 3 ? 4i, 则 z= A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i
1 2 3 4 0 0 1 3 2 1 1 8 4 2 6

2.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元) , 则销售额中的中位数是 A.30.5 B.31.5 C.31 D.32 3.己知集合 A= {x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ,B= {x | log 4 x ?  } ,则
2

1 2

A.A∩B=?

B.B?A

C.A∩CRB=R

D.A?B

4. ( 3 x ? )8 二项展开式中的常数项为 A. 56 B. 112 5.执行右边的程序框图,则输出的 S 是 A.5040 B.2450 C. -56 C.4850 D. -112 D.2550

2 x

6.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ?
n n-1 n

S 5 5 , a2 ? a4 ? , 则 n 2 4 an
D.2
n-1

A.4 -1 B.4 C.2 -1 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 C.3 8.若 sin( B.2 3 D.3 3

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ??) ? 6 3 3
7 B.9 2 D.9

7 A.-9 2 C.-9

9.正三棱锥的高和底面边长都等于 6,则其外接球的表面积为 A.8? B.16? C.32? D.64? 10.双曲线 x ? y ? 4 左支上一点 P (a,b) 到直线 y =x 的距离
2 2

为 2 , 则a?b ? A.-2

B.2
→ →

C.-4
→ →

D.4
→ →

11.AD, BE 分别是?ABC 的中线,若| AD |=| BE |=1,且 AD 与 BE 的夹角为 120°,则 AB · AC = 8 A.9 4 B.9 2 C.3 1 D.3

12.各项均为正数的数列 {an } , {bn } 满足: an ? 2 ? 2an ?1 ? an , bn ? 2 ? bn ?1 ? 2bn ( n ? N ? ) ,那
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么 A. ?n ? N ? , an ? bn ? an ?1 ? bn ?1 C. ?m ? N ? , ?n ? m, an ? bn B. ?m ? N ? , ?n ? m, an ? bn D. ?m ? N ? , ?n ? m, an ? bn

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y= log 3(2cos x ?1) , x ? (?

2? 2? , ) 的值域 3 3

.

? ?y≤x+1 14.设变量 x, y 满足约束条件?y≥2x-4, 则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为 ?x+2y≥2 ?

.

15.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 A 到抛物线的准线的距 离为 4,则|AB|= . 16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (? x) ? f ( x) ? x , 当 x<0 时, f ?( x) <x ,则不等式
2

f ( x) +2≥ f (1 ? x) +x 的解集为

1

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且 4bsinA= 7 a . (I)求 sinB 的值; (II)若 a, b, c 成等差数列,且公差大于 0,求 cosA-cosC 的值.

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个,700 个,1050 个,现用分层抽样的方法 随机抽取 6 个零件进行检验. (Ⅰ)从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,已知这两个零件都不是甲车床加工的,求至 少有一个是乙车床加工的概率; (Ⅱ)从抽取的 6 个零件中任意取出 3 个,记其中是乙车床加工的件数为 X,求 X 的分布 列和期望.

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19. (本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, O 是 AC 的中点, A1O⊥平面 ABC, ∠BCA=90°, AA1=AC=BC. (I)求证:A1B⊥AC1; (II)求二面角 A-BB1-C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) P 为圆 A: ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的垂直平分线与半径 PA 相交于
2 2

点 M,记点 M 的轨迹为 ? . (I)求曲线 ? 的方程; 2 2 (II)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 3 时,求点 M 的坐标.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? x) e ? 1. .
x

(I)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ?

f ( x) , 证明 g ( x) 有最大值 g (t ) ,且-2<t<-1. x

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请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4―1:几何证明选讲 如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD⊥OE 于 B、C 两点. (Ⅰ)证明:O,D,B,C 四点共圆; (Ⅱ)设∠DBC=50°,∠ODC=30°,求∠OEC 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4―4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?10 ? t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y ? t
2

极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? sin ? ? 2 ? 0 . (Ⅰ)把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)将直线 l 向右平移 h 个单位,所对直线 l ? 与圆 C 相切,求 h.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a, a ? R, g ( x) ? 2 x ? 1 . (Ⅰ)若当 g ( x) ? 5 时,恒有 f ( x) ? 6 ,求 a 的最大值; (Ⅱ) 若当 x ? R 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 3, 求 a 的取值范围.
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唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:ABDCC DBAAB B 卷:DCABB CDADA 二、填空题: (13)(-∞,1] DC CB (14)6 16 (15) 3 1 (16) -∞, 2

(

]

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由 4bsin A= 7a,根据正弦定理得 4sin Bsin A= 7sin A, 7 所以 sin B= 4 . ?4 分 (Ⅱ)由已知和正弦定理以及(Ⅰ)得 7 sin A+sin C= 2 . ① 设 cos A-cos C=x, ② 7 ①2+②2,得 2-2cos(A+C)= 4 +x2. ③ ?7 分 又 a<b<c,A<B<C,所以 0?<B<90?,cos A>cos C, 3 故 cos(A+C)=-cos B=- 4 . ?10 分 7 代入③式得 x2= 4 . 7 因此 cos A-cos C= 2 . ?12 分 (18)解: (Ⅰ)由抽样方法可知,从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为 1,2,3. 从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为 A,事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为 B,则 2 2 C2 C5 5-C3 P (A)=C2,P (AB)= C2 , 6 6 2 P (AB) C2 5-C3 所求概率为 P (B|A)= P (A) = C2 =0.7. ?5 分 5 (Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2. i 3-i C2 C4 P (X=i)= C3 ,i=0,1,2. 6 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 ?10 分
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X 的期望为 E (x)=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1. (19)解: (Ⅰ)因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 A1ACC1,所以 AC1⊥BC. 因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1 是菱形,所以 AC1⊥A1C. 所以 AC1⊥平面 A1BC, 所以 A1B⊥AC1.
z A1 C1

?12 分

?2 分

?5 分

B1

A

O x

C

y

B

(Ⅱ)以 OC 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz, 则 A (0,-1,0),B (2,1,0),C (0,1,0),C1(0,2, 3).

→ AB =(2,2,0),→ BB1 =→ CC1 =(0,1, 3),
设 m=(x,y,z)是面 ABB1 的一个法向量,则 m·→ AB =m·→ BB1 =0, ?2x+2y=0, 即? 取 m=( 3,- 3,1). ?y+ 3z=0, 同理面 CBC1 的一个法向量为 n=(0,- 3,1). m·n 2 7 因为 cos ?m,n?= = 7 . |m||n| 2 7 所以二面角 A-BB1-C 的余弦值 7 .

?10 分

?12 分

(20)解: (Ⅰ)圆 A 的圆心为 A (-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,a= 2,c=1,b=1, x2 曲线 Γ 的方程为 2 +y2=1. ?5 分 2 2 5 2 2 (Ⅱ)由 cos ∠BAP= 3 ,|AP|=2 2,得 P 3 , 3 . ?8 分 2 于是直线 AP 方程为 y= 4 (x+1). x2 2 2 +y =1, 7 由 解得 5x2+2x-7=0,x1=1,x2=- 5 . 2 y= 4 (x+1), 2 由于点 M 在线段 AP 上,所以点 M 坐标为 1, 2 . ?12 分 (21)解:

(

)

? ? ?

(

)

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(Ⅰ)f ?(x)=-xex. 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 所以 f (x)的最大值为 f (0)=0. ?4 分 (1-x)ex-1 -(x2-x+1)ex+1 (Ⅱ)g (x)= ,g ?(x)= . x x2 设 h (x)=-(x2-x+1)ex+1,则 h ?(x)=-x(x+1)ex. 当 x∈(-∞,-1)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减; 当 x∈(-1,0)时,h ?(x)>0,h (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减. ?7 分 7 3 又 h (-2)=1-e2>0,h (-1)=1- e <0,h (0)=0, 所以 h (x)在(-2,-1)有一零点 t. 当 x∈(-∞,t)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增; 当 x∈(t,0)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减. ?10 分 由(Ⅰ)知,当 x∈(-∞,0)时,g (x)>0;当 x∈(0,+∞)时,g (x)<0. 因此 g (x)有最大值 g (t),且-2<t<-1. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 OA,则 OA⊥EA.由射影定理得 EA2=ED·EO. ED EC 由切割线定理得 EA2=EB·EC,故 ED·EO=EB·EC,即BD=EO, 又∠OEC=∠OEC,所以△BDE∽△OCE,所以∠EDB=∠OCE. 因此 O,D,B,C 四点共圆. ?6 分
A

E B

D

O

C

(Ⅱ)连结 OB.因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180?,结合(Ⅰ)得 ∠OEC=180?-∠OCB-∠COE=180?-∠OBC-∠DBE =180?-∠OBC-(180?-∠DBC)=∠DBC-∠ODC=20?. ?10 分 (23)解: (Ⅰ)因为 ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4y+2=0. ?4 分 ?x=h-10+t, (Ⅱ)平移直线 l 后,所得直线 l?的? (t 为参数) . ?y=t 2 2 2t +2(h-12)t+(h-10) +2=0. 因为 l?与圆 C 相切,所以 Δ=4(h-12)2-8[(h-10)2+2]=0,即 h2-16h+60=0, 解得 h=6 或 h=10. ?10 分 (24)解: (Ⅰ)g (x)≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3; f (x)≤6?|2x-a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x≤3. 依题意有,a-3≤-2,a≤1. 故 a 的最大值为 1. ?6 分 (Ⅱ)f (x)+g (x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a, 当且仅当(2x-a)(2x-1)≥0 时等号成立.
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解不等式|a-1|+a≥3,得 a 的取值范围是[2,+∞).

?10 分

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