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2009届全国名校高三数学模拟试题分类


2009 届全国名校高三数学模拟试题分类 汇编(上) 03 数列
三、解答题 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知数列的首项为 a 1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,且 5 * 对任意的 n ? N ,当 n≥2 时,an 总是 3Sn-4 与 2- Sn 的等差中项 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? ( n ? 1) a n , T n 是数列 {b n } 的前项和, n ? N 求 T n ;
*

(Ⅲ)设 c n ?

3an 4?2 ? 3
n n ?1

? an

* ,Pn 是数列 { c n } 的前项和, n ? N ,试证明:Pn ? ,

3 2



2、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, S n 表示该数列 的前 n 项和.若已知 a n ? 2 S n ?1 ?n ? N ? , n ? 2 ? (1)求证:数列 ?S n ? 是等比数列; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式.

3 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 已 知 奇 函 数
f (x) ? a?2 ? a ? 2
x

2 ?1
x

, ( x ? R ).

(Ⅰ)试确定实数 a 的值,并证明 f(x)为 R 上的增函数; (Ⅱ)记 a n ? f [log 2 ( 2 n ? 1)] ? 1, S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n , 求 S n ; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? ? 在(-∞,0)上有解,试证 ? 1 ? 3 f (? ) ? 0

4 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 数 列 ? a n ? : 满 足
a1 ? 2, a n ? 1 ? a n ? 6 a n ? 6 ( n ? N ).
2 ?

(Ⅰ) 设 C n ? lo g 5 ( a n ? 3) ,求证 ? C n ? 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅲ)设 b n ?
1 an ? 6 ? 1 an ? 6an
2

,数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n ,求证: ?

5 16

? Tn ? ?

1 4

.

5 、 ( 湖 北 省 武 汉 市 教 科 院 2009 届 高 三 第 一 次 调 考 ) 已 知 二 次 函 数
f ( x ) ? x ? ax ? a ( a ? 0 , x ? R ), 不等式 f ( x ) ? 0
2

的解集有且只有一个元素, 设数列

{a n }

的前 n 项和

S n ? f ( n )( n ? N *) {a n }
an 3
n

(1)求数列
bn ?

的通项公式;

(2)设

,求数列

{b n }

的前 n 项和 Tn;
{c n }

(3) (理科) 设各项均不为 0 的数列

中, 所有满足
( n ? N *)

c m ? c m ?1 ? 0

的正整数 m 的个数,

称为这个数列

{c n }

cn ? 1 ?

a an

的变号数,若

,求数列

{c n }

的变号数。

6、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1 (n≥2,n∈N*) ,若数列 { a n ? 1 ? ? a n } 是等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? 4 ; k ?1
ak a k ?1 3

(Ⅲ)求证:

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 2

( n ? N *).

7 、 (2008 年 重 庆 一 中 高 2009 级 第 一 次 月 考 ) 设 数 列 ? a n ? 前 n 项 和 为 S n , 且
( 3? m S n ? m a n ? m ? ) 2 3( N n?
*

) 。其中 m 为实常数, m ? ? 3 且 m ? 0 。

(1)求证: ? a n ? 是等比数列; (2)若数列 ? a n ? 的公比满足 q ? f ( m ) 且 b1 ? a 1 , b n ? 通项公式; (3)若 m ? 1 时,设 T n ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ( n ? N ) ,是否存在最大的正整数 k ,
*
* 使得对任意 n ? N 均有 T n ?

3 2

f ( b n ? 1 )( n ? N , n ? 2 ) ,求 ? b n ? 的
*

k 8

成立,若存在求出 k 的值,若不存在请说明理由。

8、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,且
2 S n ? na n ? n ( n ? 1, 2 , 3 , ? ) ,等比数列 ?b n ? 中 b 1 ? a 1 ,且 b 2 , b 3 的等差中项为 b 1 .

(1)求证:数列 ?a n ? 为等差数列; (2)请选择一个符合已知条件的且满足 a 1 ? a 2 的数列 ?a n ? ,并求数列 ?a n ? b n ? 的前 n 项和 Tn.

9、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)如图,把正 ? ABC 分成有限个全等的小 正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形 组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行,.,BC 为第 n 行,记点 ..
? A 上的数为 a 11, ,第 i 行中第 j 个数为 a ij (1 ? j ? i ) .若 a 11 ? 1, a 21 ?

1 2

, a 22 ?

1 4



(1)求 a 31、 a 32 、 a 33 ; (2) 试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式 (用 n、m 表示) ; (3)记 S n ? a n 1 ? a n 2 ? ? ? a nm ( n ? N * ) ,求 证: n ?
1 S1 ? 1 S2 ?? ? 1 Sn ? 4 ?1
n

(n ? N )
*

3

10、 (湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)已知定义在 [0, 足:
f (0 ) ? 0, 且 x ? ( n ? 1, n ] 时, f ( x ) ? n [ x ? ( n ? 1)] ? f ( x ? 1)

? ? ] 上的函数 f ( x )



,其中 n ?

N *



(1)求 lim [
n? ?

1 f (1)

?

1 f (2)

?? ?

1 f (n)

] 的值;
? a (a ? 0)

(2)由函数 y 试比较 S ( n ) ?

? f (x)

的图象, x 轴及直线 x
1 4

所围成的平面图形的面积记为 S ( a ) ,

S (n ? 2) 与 f (n ?

)( n ? 2 ) 的大小。

11、(江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设数列

?a n ? 的前 n 项和为 S n , d 为常数,

? S ? S m ? S n?m ? m (n ? m )d 已知对 ? n , m ? N ,当 n ? m 时,总有 n

⑴ 求证:数列{

an

}是等差数列;
Sn ? Sk

⑵ 若正整数 n, m, k 成等差数列,比较 ⑶ 探究 :
p:



2S m

的大小,并说明理由!

? S ? S m ? S n?m ? m (n ? m )d “对 ? n , m ? N ,当 n ? m 时,总有 n ”

a 是 q : “数列{ n }是等差数列”的充要条件吗?并给出证明!由此类比,

你能给出数列{

bn

}是等比数列(公比为 q ,且 q ? 0 )的充要条件吗?

12、(北京五中 12 月考)已知函数
f (x) ? 2x ? 3 3x , 数列 { a n }满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? f ( 1 an ), n ? N .
*

(1)求为数列 { a n } 的通项公式; (2)令 T n ? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ? a 4 a 5 ? ? ? ( ? 1) (3)令 bn ?
1 a n ?1 a n
2 n ?1

a 2 n a 2 n ?1 , 求 T n .
m ? 2008 2

( n ? 2 ), b1 ? 3 , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , 若 S n ?

对一切

n ? N 成立,求最小正整数 m .
*

13、(北京市东城区 2009 届高三部分学校月考)已知数列
{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? kS n ? 2 , 又 a 1 ? 2 , a 2 ? 1 .

(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n .

14、(北京市东城区 2009 届高三部分学校月考)已知等差数列
{ a n }的首项 a 1 ? 1, 公差 d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二

项、第三项、第四项. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) b n ? 设
1 n ( a n ? 3) ( n ? N ), S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , 是否存在最大的整数
*

t , 使得

对任意的 n 均有 S n ?

t 36

总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由.

15、(甘肃省兰州一中 2008—2009 高三上学期第三次月考)已知定义域为 R 的二次函数
f ( x )的最小值为 0 , 且有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ), 直线
4 17 ,数列 { a n }满足 a 1 ? 2 ,

g ( x ) ? 4 x ? 4 被 f ( x )的图像截得的弦长为

( a n ? 1 ? a n ) g ( a n ) ? f ( a n ) ? 0 ( n ? N ).
*

(I)求函数 f ( x ) ; (II)求数列 { a n } 的通项公式;
1

(III)设 b n ? g ( a n ) ? 4 nf

2

( a n ), 求数列 { b n }的前 n 项和 T n .

16、 (广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)数列 ?b n ? ?n ? N 增的等比数列,且 b1 ? b 3 ? 5 , b1 b 3 ? 4 . (Ⅰ)求数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 a n ? log 2 b n ? 3 ,求证数列 ?a n ? 是等差数列; (Ⅲ)若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ?? ? a m ? a 46 ,求 m 的最大值.
2

?

? 是递

17 、 ( 河 北 省 衡 水 中 学 2008 — 2009 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试 ) 已 知 数 列 { a n } 中 ,
a 1 ? 1, 且 a n ? 1 ? pa n ? 2 .设数列 { a n } 的前 n 和为 S n
n

(1) 若 p ? 2 ,求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2) (理)当 p ? 3 时,求 lim
Sn an

n? ?

的值.

(文)当 p ? 3 时,求 S n .

18、(大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试)已知数列
a 1 ? 1, S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ( n ? N *)

?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且



(1)设

b n ? a n ?1 ? 2 a n
an 2
n

,求证:数列

?b n ? 是等比数列;

(2)设 (3)求

cn ?

,求证:

?c n ? 是等差数列;

Sn



19、(大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试)已知
f ( x ) ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a n x ,
2 3 n



a1 , a 2 , a 3 ,? , a n

组成等差数列( n 为偶数) ,又

f (1) ? n , f ( ? 1) ? n
2

. ;

(1)求数列的通项

an

1 f( ) (2)试比较 2 与 3 的大小,并说明理由.

20、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)设 ?a n ? 是一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列,它的前 10 项和 S 10 ? 110 ,且 a 1 , a 2 , a 4 成等比数列。 (1) 证明: a 1 ? d ; (2) 求公差 d 的值和数列 ?a n ? 的通项公式。

21、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)已知数列 ?a n ? 满足
a 4 ? 81 , a n ? 2 a n ?1 ? 2 ? 1( n ? 2 , n ? N *)
n

(1) 求数列的前三项 a 1 , a 2 , a 3 的值; (2) 是否存在一个实数 ? ,使得数列 ? 若不存在,说明理由; (3) 求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 。
? an ? ? ? ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; n ? 2 ?

22、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)已知数列 ?a n ? 满足
a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N *)

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若数列 ?b n ? 满足 4 (3)证明:
n 2 ? 1 3 ? a1 a2
b1 ? 1

4

b 2 ?1

?4

b n ?1

? ( a n ? 1)
? n 2

bn

( n ? N *) ,证明: ?b n ? 是等差数列;

?

a2 a3

?? ?

an a n ?1

( n ? N *)

23、 (四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{an}满足 a1=1, 2=3, a 且 an+2=(1+2|cos nπ nπ |)an+|sin |,n∈N*. 2 2

(1)证明:数列{a2n}(k∈N*}为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bk=a2k+(-1)k 1λ· 2 bk 成立.


a 2 k ?1

(λ 为非零整数),试确定 λ 的值,使得对任意 k∈N*都有 bk+1>

24、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)二次函数
f ( x ) 符 合 f ( x ) ? 0, 且 f ( x ) ? 2 x 恒 成 立 , f (1) ? 1
2

(1)求 f (0 ) 并求 f ( x ) 的解析式; (2)若 a n ?
f (1) 1 ? f (2) 2 ?? ? f (n) n , bn ? 1 an , 求数列 ? b n ? 前 n 项 和 S n . 并求 lim S n .
n? ?

(3)若 c n ? 1 ? f ( c n ), 且 c1 ? 2, 记 T n ? c1 ? c 2 ? ... ? c n , 求符合 T n ? 2 0 0 8 最小自然数 n.

25、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)设数列 ? a n ? , ? b n ? 满足
1 2

a1 ?

,

2 n a n ? 1 ? ( n ? 1) a n

,且 b n ? ln (1 ? a n ) ?

1 2

an , n ? N
2

*

.

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)对一切 n ? N ,证明
*

2 an ? 2

?

an bn

成立;

(Ⅲ)记数列 { a n } , { b n } 的前 n 项和分别为 A n , B n ,证明 2 B n ? An ? 4.

2

26、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知数列 { a n } 中,a 2 ? 2 ,前 n 项 和为 S n , 且 S n ?
n ( a n ? 1) 2

.

(I)证明数列 { a n ? 1 ? a n } 是等差数列,并求出数列 { a n } 的通项公式; (II)设 b n ?
1 ( 2 a n ? 1)( 2 a n ? 1)

,数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ,求使不等式 T n ?

k 57



一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值。
*

27、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知二次函数 y ? f ( x ) 的图像经过坐标 原点,其导函数为 f ( x ) ? 6 x ? 2 ,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n , S n )( n ? N ? ) 均在函
'

数 y ? f ( x ) 的图像上。

(Ⅰ) 、求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 b n ?
m 20

3 a n a n ?1

, T n 是数列 {b n } 的前 n 项和,求

使得 T n ?

对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m。

28、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知数列 ? a n ? 满足
a1 ? 1, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N ).
*

(I)证明:数列 ? a n ? 1 ? a n ? 是等比数列; (II)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n ( n ? N ), 证明 ? b n ? 是等差数列。
b *

29、(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟)已知数列{an}中,
an ? 2 ? 1 a n ?1
3 5

(n ? 2, n ? N )
*

(1) 若 a 1 ?

,数列{bn}满足 b n ?

1 an ? 1

( n ? N ) ,求证:数列{bn}是等差数列;并
*

求数列{an}的通项公式; (2)若 1<a1<2,求证:1<an+1<an<2.

? a n ? 满 足 a1

30、(山东省平邑第一中学 2009 届高三元旦竞赛试题)数列 2 n? 2 n?
? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? co s 2 ) a n ? sin 2

, n ? 1, 2, 3, ? .

(Ⅰ)求 a 3 , a 4 , 并求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
a 2 n ?1 a2n , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n . 证明:当 n ? 6时 , n ? 2 ? S
1 n

.

31、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知数列
{ a n }的前 n 项和 S n ? 12 n ? n .
2

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求数列 {| a n |}的前 n 项和 T n .

32、 (陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考)已知各项都不相等的等差数列 { a n } 的前六 项和为 60,且 a 6 为 a 1 和 a 21 的等比中项. (I)求数列 { a n } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n ; (II)若数列 { b n }满足 b n ? 1 ? b n ? a n ( n ? N ), 且 b1 ? 3 , 求数列 {
?

1 bn

} 的前 n 项和 Tn .

33、 (上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函 数,且对于任意的 a , b ? R 都满足 f ? a ? b ? ? af ?b ? ? bf ? a ? .

(1)求 f ? 0 ? 、 f ?1 ? 的值.

(2)判断 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论.

(3)若 f ? 2 ? ? 2 , u n ?

f 2 n

?

?n

? ?n ? N ? ,求数列 ?u ? 的前 n 项和 S
*
n

n

.

34、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)如图,
P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), ? , Pn ( x n , y n ), (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C : y
2

? ? 3 x ( y ? 0 ) 上的 n 个点, Ai ( a i , 0) ( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 在 x 轴的正半轴上, Ai ? 1 Ai Pi 点

是正三角形( A 0 是坐标原点) . (Ⅰ) 写出 a 1 , a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求出点 A n ( a n , 0)( n ? N *) 的横坐标 a n 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 b n ?
1 6

1 a n ?1

?

1 an?2

?

1 an?3

?? ?

1 a2n

,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ? 1,1 ? 时,不等

式t ? 2mt ?
2

? b n 恒成立,求实数 t 的取值范围.

35、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)已知 ? a n ? 是一个等差数 列,且 a 2 ? 1 , a 5 ? ? 5 . (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项 a n ; (Ⅱ)求 ? a n ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

36、 (重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn, Sn=2(1 且 -3n) (1)求证:{an}为等比数列。 分) (6 (2) ?a n ? 的公比为 q, f ( x ) ?
qx 3 ? qx ( x ? ? 1, x ? 0 ) 若数列 ?b n ? 满足

? 1 ? b1 ? 3 , b n ? f ( b n ?1 ), ( n ? 2 ) ,求 ? ? 的前项和。 分) (8 ? bn ?

37、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数列{an}中,a1 = 1,当 n ? 足 S n2
? an (S n ? 1 2 )

2

时,其前 n 项和满

(1)求 Sn 的表达式; (2)设 b n
? Sn 2n ? 1



数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

38、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数轴上有一列点 P1,P2,P3,…,Pn,…,已知 当 n ? 2 时, Pn 是把线段 Pn – 1 Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点, 点 设线段 P1P2, P2P3,…,Pn Pn + 1 的长度分别为 a1,a2,a3,…,an,其中 a1 = 1. (1)写出 a2,a3 和 an( n ? 2 , n ? N * )的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 +…+an < 3( n ? N * ) ; (3)设点 Mn( n,an)(n > 2, n ? N * ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数
y ? k ( x ? 1)
2

(k ? 0)

的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理

由.

39、(重庆一中 2008 学年高三年级上期半期考试)在数列{an}中,a1=1, an=
a n ?1 ca n ? 1 ? 1 ( c 为常数 , n ? N , n ? 2 ). 又 a 1 , a 2 , a 5 成公比不为 1 的等比数列.
*

(Ⅰ)求证{

1 an

}为等差数列,并求 c 的值;
2 3

(Ⅱ)设 { b n } : b1 ?

, b n ? a n ? 1 a n ? 1 ( n ? 2 , n ? N ), S n 为 { b n }的前 n 项和 .求 lim S n
* n? ?

40、(重庆一中 2008 学年高三年级上期半期考试)数列{an}中,a1=1, an+1=
1 2 a n ? a n ? c ( c >1为常数 , n ? N ), 且 a 3 ? a 2 ?
2 *

1 8

.

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)比较 ?
n

1 ak



40 39

a n ? 1 的大小,并加以证明.

k ?1

41、(2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},??,其中第 n 个集合有 n 个元素,每一个集合都由连续正奇数组成, 并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数, (Ⅰ) 求第 n 个集合中最小数 an 的表达式; (Ⅱ)求第 n 个集合中各数之和 Sn 的表达式;
? (Ⅲ)令 f(n)= ? 1 ? ? ? 1
3

? ? Sn ? ?

n

(n ? N )
*

,求证:2≤ f ( n ) ? 3 .

42、(北京市东城区 2008-2009 学年度高三年级部分学校月考)已知数列
{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? kS n ? 2 , 又 a 1 ? 2 , a 2 ? 1 .

(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n .

43、(北京市东城区 2008-2009 学年度高三年级部分学校月考)已知等差数列
{ a n }的首项 a 1 ? 1, 公差 d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的

第二项、第三项、第四项. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ?
1 n ( a n ? 3) ( n ? N ), S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , 是否存在最大的整数
*

t , 使得

对任意的 n 均有 S n ?

t 36

总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由.

44、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)已知等差数列的前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn ,若前 k 项和为 Sk=2550 (1)求 k 的值; (2)求 lim (
n? ?

1 S1

?

1 S2

?

1 S3

... ?

1 Sn

) 的值

45、(福建省德化一中2009 届高三上学期第三次综合 测试)已知等差数列{an}中,
a 3 ? a 6 ? 17, a1 a8 ? ? 38 且 a1 ? a 8

.

(1)求{an}的通项公式; (2)调整数列{an}的前三项 a1、a2、a3 的顺序,使它成为等比数列{bn}的前三项,求{bn}的 前 n 项和.

46、(福建省德化一 中2009 届高三上学期第三次综 合测试)已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f + (x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) ? N ) (n ,其中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn+1; (2)若 x1=4,记 an=lg
xn ? 2 xn ? 2

2

,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;

(3)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

47、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学 2009 届高三期中联考)已知等差数列

? a n ? 的 前 n 项 和 S n, 且 a1

? 1, S 6 ? 3 6 ,

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ? 9 ? ( ?1)
n n ?1

? ?3 ( ? ? N , n ? N ) ,试确定 ? 的值,使数列 ? b n ? 的递增数列.
an * *

48、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 { a n } 的首项
a1 ? 1, a 2 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 、 S n 、 S n ? 1 (n ≥2)分

别是直线 l 上的点 A、 C 的横坐标,A B ? B、

??? ?

2 a n ? 1 ???? B C , b1 ? 1 , n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 1) ? b n . b 设 an

⑴ 判断数列 { a n ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论;
b n ?1 ? 1

⑵ 设 cn ?

4

n ?1

a n a n ?1

,证明: ? C k ? 1 .
k ?1

n

49、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 { a n } 满足
a1 ? 1 ,且 4 a n ? 1 ? a n a n ? 1 ? 2 a n ? 9 ( n ? N )
?

(1)求 a1 , a 2 , a 3 , a 4 的值; (2)由(1)猜想 { a n } 的通项公式,并给出证明.

50、(江苏省南京师大附中2008—2009学年度第一学期高三期中考试)把自然数按上小下大、 左小右大的原则排成如图的三角形数表(每行比上一行多一个数) .设 a ij ( i , j ? N ) 是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第 j 个数(如 a 4 2 ? 8 ) . 2 ⑴试用 i 表示 a ii (不要求证明) ; 7 ⑵若 a ij ? 2008 ,求 i , j 的值; 4 5 8 9 ???? 1 3 6 10
?

?1, ( n ? 1) ? ⑶记三角形数表从上往下数第 n 行的各数之和为 b n ,令 c n ? ? n ,若数列 { c n } , ( n ? 2) ?b ? n ? n

的前 n 项和为 T n ,求 T n .

51、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知数列
{ a n } , a1 ? a 2 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 2 a n ? 1 ( n ? 2 )

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式 a n (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:
1 a1 ? 1 a2 ? ... ? 1 an
2 *

?3

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ). ( n ? N ) 求证: ?
n

1 f (k ) ? 1

?

1 2

.

k ?1

52、(广东省恩城中学 2009 届高三上学期模拟考试)在数列{an}中, a 1 ? 2 ,
a n ?1 ? 4 a n ? 3 n ? 1 , n ? N .
*

(1)证明数列 ? a n ? n ? 是等比数列;

(2)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ;
*

(3) 证明不等式 S n ? 1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.

53、(广东省高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)若数列 { a n } 是等比数列, a n ? 0 ,公 比 q ? 1 ,已知 lg a 2 是 lg a 1 和 1+ lg a 4 的等差中项,且 a1 a 2 a 3 ? 1 (1)求 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ?
1 n (3 ? lg a n ) ( n ? N ) , T n ? b1 ? b 2 ? … … ? b n ,求 T n
*

54、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如 图 6 所示的数表:设 a ij (i、j∈N*)是位于这个数表中从上往下数第 i 行、 1 从左往右数第 j 个数. 数表中第 i 行共有 2 (1)若 a ij =2010,求 i、j 的值; (2)记 A n ? a 11 ? a 22 ? a 33 ? ? ? a nn ( n ? N*), 试比较 A n 与 n ? n 的大小, 并说明理由.
2

i ?1

个正整数.

2 4 8

3 5 6 7 15

9 10 11 12 13 14 ?????????? 图6

55、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)等差数列 { a n } 的前 n 项 和记为 S n ,已知 a1 0 ? 2 0, S 2 0 ? 4 1 0 , (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 S n ? 1 1 5 ,求以 n .

56、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)已知函数 f ( x ) ? x ? x
2
? 及两个正整数数列 { a n } ,{ b n } ,若 a1 ? 3, a n ? 1 ? f ?( a n ) ,对任意 n ? N 恒成立,且

b1 ? 1, b 2 ? ? ,且当 n ? 2 时,有 b n ? 1 ? b n ? 1b n ?1 ? b n ? 1 ;又数列 { c n } 满足:
2 2

2 ( ? b n ? c n ? 1) ? 2 n ? b n ? a n ? 1

(1)求数列 { a n } 及 {b n } 的通项公式; (2)求数列 { c n } 的前 n 项和 S n ; (3)证明存在 k ? N ,使得
?

C n ?1 cn

?

C k ?1 ck

对任意 n ? N 均成立.

?

57、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且有 a 1 ? 2 ,
3 S n ? 5 a n ? a n ?1 ? 3 S n ?1
(n ? 2) .

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (2)若 b n ? (2 n ? 1) a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .

58、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知数列{ a n }满足
3 S n ? ( n ? 2 ) a n ( n ? N *) ,其中 S n 为前 n 项和, a 1 ? 2 ,
1 an

(1)求数列{ a n }的通项公式;

(2)求数列 {

} 的前 n 项和 T n ;

(3)是否存在无限集合 M ,使得当 n ? M 时,总有 | T n ? 1 |? 出一个这样的集合;若不存在,请说明理由。

1 10

成立。若存在,请找


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