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2009届全国名校高三数学模拟试题分类


2009 届全国名校高三数学模拟试题分类 汇编(上) 03 数列
三、解答题 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知数列的首项为 a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,且 5 * 对任意的 n ? N ,当 n≥2 时,an 总是 3Sn-4 与 2- Sn 的等差中项 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (n ? 1)an , Tn 是数列 {bn } 的前项和, n ? N 求 Tn ;
*

(Ⅲ)设 cn ?

3 3an * ,P ,n ? N ,试证明:Pn ? . n 是数列 {cn } 的前项和, n ?1 2 4 ? 2 ? 3 ? an
n

2、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, S n 表示该数列 的前 n 项和.若已知 an ? 2S n?1 n ? N ? , n ? 2 (1)求证:数列 ?S n ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

?

?

3 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 已 知 奇 函 数

f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 , ( x ? R). 2x ?1

(Ⅰ)试确定实数 a 的值,并证明 f(x)为 R 上的增函数; (Ⅱ)记 an ? f [log2 (2 n ? 1)] ? 1, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 求 Sn ; (Ⅲ)若方程 f ( x) ? ? 在(-∞,0)上有解,试证 ? 1 ? 3 f (? ) ? 0

4 、 ( 河 南 省 实 验 中 学 2008-2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 数 列 ?an ? : 满 足
2 a1 ? 2, an?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ).

(Ⅰ) 设 Cn ? log5 (an ? 3) ,求证 ?Cn ? 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

5 1 1 1 ? Tn ? ? . ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? ? 2 16 4 an ? 6 an ? 6an

5 、 ( 湖 北 省 武 汉 市 教 科 院 2009 届 高 三 第 一 次 调 考 ) 已 知 二 次 函 数

f ( x) ? x 2 ? ax ? a(a ? 0, x ? R),不等式f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,设数列 {an }
的前 n 项和

S n ? f (n)(n ? N*) {an } 的通项公式;
an 3 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn;

(1)求数列

(2)设

bn ?

(3) (理科) 设各项均不为 0 的数列

{cn } 中,所有满足 cm ? cm?1 ? 0 的正整数 m 的个数,
a (n ? N *) {c } an ,求数列 n 的变号数。

称为这个数列

{cn } 的变号数,若

cn ? 1 ?

6、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1 (n≥2,n∈N*) ,若数列 {an?1 ? ?an } 是等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? 4 ; a k a k ?1 3k ?1 (Ⅲ)求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (n ? N *). a1 a 2 an 2

7 、 (2008 年 重 庆 一 中 高 2009 级 第 一 次 月 考 ) 设 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn , 且

( 3? m S ) n ? ma 2 n ? m? 3 n( ? N * 。其中 ) m 为实常数, m ? ?3 且 m ? 0 。
(1)求证: ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?an ? 的公比满足 q ? f (m) 且 b1 ? a1 , bn ? 通项公式; (3)若 m ? 1 时,设 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan (n ? N * ) ,是否存在最大的正整数 k ,
* 使得对任意 n ? N 均有 Tn ?

3 f (bn ?1 )(n ? N * , n ? 2) ,求 ?bn ? 的 2

k 成立,若存在求出 k 的值,若不存在请说明理由。 8

8 、 ( 黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考 ) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且

2S n ? nan ? n(n ? 1,2,3,?) ,等比数列 ?bn ? 中 b1 ? a1 ,且 b2 , b3 的等差中项为 b1 .
(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列; (2)请选择一个符合已知条件的且满足 a1 ? a 2 的数列 ?an ? ,并求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn.

9、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)如图,把正 ?ABC 分成有限个全等的小 正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形 组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行, . . . ,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11, ? ,第 i 行中第 j 个数为 aij (1 ? j ? i) .若 a11 ? 1, a 21 ? (1)求 a31、a32、a33 ; (2) 试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式 (用 n、m 表示) ; (3)记 S n ? an1 ?a n2 ?? ? anm (n ? N * ) ,求

1 1 , a 22 ? . 2 4

1 1 1 4n ? 1 证: n ? ? ??? ? (n ? N * ) S1 S 2 Sn 3

10、 (湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)已知定义在 [0, ?? ] 上的函数 f ( x ) 满 足: f (0) ? 0, 且x ? ( n ? 1, n] 时, f ( x ) ? n[ x ? (n ? 1)] ? f ( x ? 1) ,其中 n ? N * 。 (1)求 lim[
n??

1 1 1 ? ??? ] 的值; f (1) f (2) f (n)

(2)由函数 y ? f ( x ) 的图象, x 轴及直线 x ? a (a ? 0) 所围成的平面图形的面积记为 S (a ) ,
1 试比较 S ( n) ? S ( n ? 2) 与 f (n ? )(n ? 2) 的大小。 4

11、(江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设数列 已知对 ?n, m ? N ,当 n ? m 时,总有 ⑴ 求证:数列{
?

?an ?的前 n 项和为 S n , d 为常数,

S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d

an }是等差数列; S n ? S k 与 2S m 的大小,并说明理由!

⑵ 若正整数 n, m, k 成等差数列,比较 ⑶ 探究 :

p : “对 ?n, m ? N ? ,当 n ? m 时,总有 S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d ”

是 q : “数列{

an }是等差数列”的充要条件吗?并给出证明!由此类比, bn }是等比数列(公比为 q ,且 q ? 0 )的充要条件吗?

你能给出数列{

12、(北京五中 12 月考)已知函数

f ( x) ?

2x ? 3 1 , 数列{an }满足a1 ? 1, an?1 ? f ( ), n ? N * . 3x an

(1)求为数列 {an } 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ? ? (?1) 2n?1 a2n a2n?1 , 求Tn . ( 3 ) 令 bn ?

1 m ? 2008 对一切 (n ? 2), b1 ? 3, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 若S n ? an?1an 2

n ? N * 成立,求最小正整数 m.

13、(北京市东城区 2009 届高三部分学校月考)已知数列

{an }的前n项和S n 满足S n?1 ? kSn ? 2, 又a1 ? 2, a2 ? 1.
(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n .

14、(北京市东城区 2009 届高三部分学校月考)已知等差数列

{an }的首项a1 ? 1, 公差d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二
项、第三项、第四项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 n(an ? 3)

(n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 是否存在最大的整数 t , 使得

对任意的 n均有 S n ?

t 总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由. 36

15、(甘肃省兰州一中 2008—2009 高三上学期第三次月考)已知定义域为 R 的二次函数

f ( x)的最小值为 0, 且有f (1 ? x) ? f (1 ? x), 直线

g ( x) ? 4x ? 4被f ( x)的图像截得的弦长为 4 17 ,数列 {an }满足a1 ? 2,

(an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0(n ? N * ).
(I)求函数 f ( x) ; (II)求数列 {an } 的通项公式;
1

(III)设 bn ? g (an ) ? 4nf 2 (an ), 求数列 {bn }的前n项和Tn .

16、 (广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)数列 ?bn ? n ? N 增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4 . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? log2 bn ? 3 ,求证数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a46 ,求 m 的最大值.
2

?

?

? 是递

17 、 ( 河 北 省 衡 水 中 学 2008 — 2009 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试 ) 已 知 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 1, 且an?1 ? pan ? 2n .设数列 {an } 的前 n 和为 S n
(1) 若 p ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式 an ; (2) (理)当 p ? 3 时,求 lim

Sn 的值. n ?? a n

(文)当 p ? 3 时,求 S n .

18 、 ( 大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试 ) 已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? 1, S n?1 ? 4an ? 2(n ? N*) 。
(1)设

bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列 ?bn ?是等比数列;
cn ? an 2 n ,求证: ?cn ?是等差数列;

(2)设 (3)求

Sn 。

19、(大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试)已知

f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? an x n , 且 a1 , a2 , a3 ,?, an 组成等差数列( n 为偶数) ,又
f (1) ? n 2 , f (?1) ? n .
(1)求数列的通项

an ;

1 f( ) (2)试比较 2 与 3 的大小,并说明理由.

20、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)设 ?an ? 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110,且 a1 , a2 , a4 成等比数列。 (1) 证明: a1 ? d ; (2) 求公差 d 的值和数列 ?an ? 的通项公式。

21、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)已知数列 ?an ? 满足

a4 ? 81, an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? 2, n ? N*)
(1) 求数列的前三项 a1 , a2 , a3 的值; (2) 是否存在一个实数 ? ,使得数列 ? 若不存在,说明理由; (3) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。

? an ? ? ? ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; n ? 2 ?

22、(哈尔滨市第九中学 2008—2009 学年度高三第三次月考)已知数列 ?an ? 满足

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N*)
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 (3)证明:
b ?1 b2 ?1

?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N*) ,证明: ?bn ? 是等差数列;

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ? ? n ? (n ? N *) 2 3 a 2 a3 an?1 2

23、 (四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{an}满足 a1=1, a2=3, nπ nπ 且 an+2=(1+2|cos |)an+|sin |,n∈N*. 2 2 (1)证明:数列{a2n}(k∈N*}为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bk=a2k+(-1)k 1λ· 2


a2 k ?1

(λ 为非零整数),试确定 λ 的值,使得对任意 k∈N*都有 bk+1>

bk 成立.

24、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)二次函数

f ( x)符合f ( x) ? 0, 且f ( x) ? 2x2恒成立,f (1) ? 1
(1)求 f (0) 并求 f ( x) 的解析式; (2)若 an ?

f (1) f (2) f (n) 1 ? ??? , bn ? , 求数列 ?bn ? 前n项和Sn . 并求 lim S n . n ?? 1 2 n an

(3)若 cn?1 ? f (cn ), 且c1 ? 2, 记Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn , 求符合 Tn ? 2008 最小自然数 n.

25、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)设数列 ?an ? , ?bn ? 满足
1 , 2nan ?1 ? ( n ? 1) an ,且 bn 2

a1 ?

? ln(1 ? an ) ?

1 2 an , n ? N* . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对一切 n ? N * ,证明
2

2 a ? n 成立; an ? 2 bn

(Ⅲ)记数列 {an }, {bn } 的前 n 项和分别为 An , Bn ,证明 2 Bn ? An ? 4.

26、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知数列 {an } 中,a 2 ? 2 ,前 n 项 和为 S n , 且S n ?

n(a n ? 1) . 2

(I)证明数列 {an?1 ? an } 是等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?
*

k 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2a n ? 1)(2a n ? 1)

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值。

27、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标 原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函 数 y ? f ( x) 的图像上。

(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn ? 使得 Tn ?

3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 an an ?1

m 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m。 20

28、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知数列 ?an ? 满足

a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。

29、(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟)已知数列{an}中,

an ? 2 ?

1 a n ?1

(n ? 2, n ? N * )

(1) 若 a1 ?

3 1 ,数列{bn}满足 bn ? (n ? N * ) ,求证:数列{bn}是等差数列;并 5 an ? 1

求数列{an}的通项公式; (2)若 1<a1<2,求证:1<an+1<an<2.

30、(山东省平邑第一中学 2009 届高三元旦竞赛试题)数列

?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? (1 ? cos 2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

(Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 a2 n?1 Sn ? 2 ? . , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n a2 n

31、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知数列

{an }的前n项和S n ? 12n ? n 2 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |}的前n项和Tn .

32、 (陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考)已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前六 项和为 60,且 a6为a1和a21 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (II)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ),且b1 ? 3, 求数列 {
?

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

33、 (上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)已知 f ?x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函 数,且对于任意的 a, b ? R 都满足 f ?a ? b? ? af ?b? ? bf ?a ? . (1)求 f ?0? 、 f ?1? 的值. (2)判断 f ?x ? 的奇偶性,并证明你的结论.

(3)若 f ?2? ? 2 , u n ?

f ?2 ? n ? n ? N * ,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n . n

?

?

34、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)如图,

P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),?, P n ( xn , yn ),(0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是曲线
点 Ai (ai ,0) (i ? 1, 2,3,?, n) 在 x 轴的正半轴上, ?Ai ?1 Ai Pi C : y 2 ? 3x ( y ? 0) 上的 n 个点, 是正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ) 写出 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求出点 An (an ,0)(n ? N*) 的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ? 式 t ? 2mt ?
2

1 1 1 1 ,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1 ? ? ??? ,1 ? 时,不等 an?1 an? 2 an?3 a2 n

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

35、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)已知 ?an ? 是一个等差数 列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

36、 (重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2(1 -3n) (1)求证:{an}为等比数列。 (6 分) (2) ?an ? 的公比为 q, f ( x) ?

qx ( x ? ?1, x ? 0) 若数列 ?bn ? 满足 3 ? qx

?1? (8 分) b1 ? 3, bn ? f (bn?1 ), (n ? 2) ,求 ? ? 的前项和。 ? bn ?

37、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数列{an}中,a1 = 1,当 n ? 2 时,其前 n 项和满

1 2 足 Sn ? an (Sn ? ) 2
(1)求 Sn 的表达式; S (2)设 bn ? n , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 2n ? 1

38、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)数轴上有一列点 P1,P2,P3,…,Pn,…,已知 当 n ? 2 时, 点 Pn 是把线段 Pn – 1 Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点, 设线段 P1P2, P2P3,…,Pn Pn + 1 的长度分别为 a1,a2,a3,…,an,其中 a1 = 1. (1)写出 a2,a3 和 an( n ? 2 , n ? N * )的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 +…+an < 3( n ? N * ) ; (3)设点 Mn( n,an)(n > 2, n ? N * ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数 k y? (k ? 0) 的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理 ( x ? 1) 2 由.

39、(重庆一中 2008 学年高三年级上期半期考试)在数列{an}中,a1=1, an=

an?1 (c为常数, n ? N * , n ? 2).又a1 , a2 , a5 成公比不为 1 的等比数列. can?1 ? 1
(Ⅰ)求证{

1 }为等差数列,并求 c 的值; an
2 , bn ? a n ?1 a n ?1 (n ? 2, n ? N * ), S n为{bn }的前 n项和.求 lim S n n ?? 3

(Ⅱ)设 {bn } : b1 ?

40、(重庆一中 2008 学年高三年级上期半期考试)数列{an}中,a1=1, an+1=

1 2 1 a n ? a n ? c(c>1为常数 , n ? N * ), 且a3 ? a 2 ? . 2 8

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)比较

?a
k ?1

n

1
k



40 a n ?1 的大小,并加以证明. 39

41、(2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},??,其中第 n 个集合有 n 个元素,每一个集合都由连续正奇数组成, 并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数, (Ⅰ) 求第 n 个集合中最小数 an 的表达式; (Ⅱ)求第 n 个集合中各数之和 Sn 的表达式;

? 1 ? (Ⅲ)令 f(n)= ?1 ? 3 ? ? ? S n ? ?

n

(n ? N * )

,求证:2≤ f (n) ? 3 .

42、(北京市东城区 2008-2009 学年度高三年级部分学校月考)已知数列

{an }的前n项和S n 满足S n?1 ? kSn ? 2, 又a1 ? 2, a2 ? 1.
(1)求 k 的值及通项公式 an. (2)求 S n .

43、(北京市东城区 2008-2009 学年度高三年级部分学校月考)已知等差数列

{an }的首项a1 ? 1, 公差d ? 0 ,且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的
第二项、第三项、第四项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 n(an ? 3)

(n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 是否存在最大的整数 t , 使得
t 总成立 ? 若存在 , 求出 t ;若不存在,请说明理由. 36

对任意的 n均有 S n ?

44、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)已知等差数列的前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn ,若前 k 项和为 Sk=2550 (1)求 k 的值; (2)求 lim(
n ??

1 1 1 1 ? ? ... ? ) 的值 S1 S2 S3 Sn

45、(福建省德化一中2009 届高三上学期第三次综合 测试)已知等差数列{an}中,

a3 ? a6 ? 17, a1a8 ? ?38且a1 ? a8 .
(1)求{an}的通项公式; (2)调整数列{an}的前三项 a1、a2、a3 的顺序,使它成为等比数列{bn}的前三项,求{bn}的 前 n 项和.

46、(福建省德化一 中2009 届高三上学期第三次综 合测试)已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f + (x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (n?N ) ,其中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn+1; x ?2 (2)若 x1=4,记 an=lg n ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2 (3)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

2

47、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学 2009 届高三期中联考)已知等差数列

?an ?的前n项和Sn,且a1 ? 1,S6 ? 36 ,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 9n ? ( ? 1) n?1 ? ? 3 n(
a

? ? N* , n ? N* ) ,试确定 ? 的值,使数列 ?bn ? 的递增数列.

48、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 {an } 的首项

a1 ? 1,a2 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ?1 、 Sn 、 S n ?1 (n ≥2)分
别是直线 l 上的点 A、 B、 C 的横坐标,AB ?

??? ?

? 2an ? 1 ??? 设 b1 ? 1 , BC , bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn . an

⑴ 判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论;
bn?1 ?1

n 4 n ?1 ⑵ 设 cn ? ,证明: ? C k ? 1 . an an ?1 k ?1

49、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ( n ? N ? )
(1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)由(1)猜想 {an } 的通项公式,并给出证明.

50、(江苏省南京师大附中2008—2009学年度第一学期高三期中考试)把自然数按上小下大、 左小右大的原则排成如图的三角形数表(每行比上一行多一个数) .设 aij (i, j ? N ) 是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第 j 个数(如 a42 ? 8 ) . 2 ⑴试用 i 表示 aii (不要求证明) ; 7 ⑵若 aij ? 2008 ,求 i , j 的值; 4 5 8 9 ???? 1 3 6 10
?

?1,( n ?1) ? ⑶记三角形数表从上往下数第 n 行的各数之和为 bn ,令 cn ? ? n ,若数列 {cn } ,( n ? 2) ?b ? n ? n
的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

51、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知数列

{an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2)
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

52、(广东省恩城中学 2009 届高三上学期模拟考试)在数列{an}中, a1 ? 2 ,

an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
(1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;
*

(3) 证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.

53、(广东省高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)若数列 {an } 是等比数列, an ? 0 ,公 比 q ? 1 ,已知 lg a2 是 lg a1 和 1+ lg a4 的等差中项,且 a1a2 a3 ? 1 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 (n ? N * ) , Tn ? b1 ? b2 ? ……? bn ,求 Tn n(3 ? lg an )

54、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如 图 6 所示的数表:设 aij (i、j∈N*)是位于这个数表中从上往下数第 i 行、 1 从左往右数第 j 个数. 数表中第 i 行共有 2 (1)若 aij =2010,求 i、j 的值; (2)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann (n ? N*), 试比较 An 与 n ? n 的大小, 并说明理由.
2
i ?1

个正整数.

2 4 8

3 5 6 7 15

9 10 11 12 13 14 ?????????? 图6

55、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)等差数列 {an } 的前 n 项 和记为 Sn ,已知 a10 ? 20, S20 ? 410 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 Sn ? 115 ,求以 n .

56、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)已知函数 f ( x) ? x2 ? x 及两个正整数数列 {an },{bn },若 a1 ? 3, an?1 ? f ?(an ) ,对任意 n ? N 恒成立,且
?

2 2 b1 ? 1, b2 ? ? ,且当 n ? 2 时,有 bn ?1 ? bn?1bn?1 ? bn ? 1 ;又数列 {cn } 满足:

2(?bn ? cn ?1) ? 2n?bn ? an ?1
(1)求数列 {an } 及 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn ; (3)证明存在 k ? N ,使得
?

Cn ?1 Ck ?1 ? 对任意 n ? N 均成立. ? cn ck

57、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 ,

3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

58、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知数列{ an }满足

3Sn ? (n ? 2)an (n ? N*) ,其中 Sn 为前 n 项和, a1 ? 2 ,
(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求数列 {

1 an

} 的前 n 项和 Tn ;
1 10
成立。若存在,请找

(3)是否存在无限集合 M ,使得当 n ? M 时,总有 | Tn ? 1 |? 出一个这样的集合;若不存在,请说明理由。


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