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2017届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(理)试题(解析版)


2017 届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? ,且 A ? ?1,2,3? ? ?1,2? ,则满足条件的集合 A 的个数是( A. 2 B.4 C.8 D.16 )

>
【答案】 B . 【解析】 试题分析:因为集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? ,且 A ? ?1,2,3? ? ?1,2? , ,所以由子集和交集的概念可得:

A ? {1,2}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,4,5} ,所以满足条件的集合 A 的个数为 4,故应选 B .
考点:1、集合及其基本运算. 2.已知复数满足 1 ? 3i z ? 3i ,则 z ? (

?

?



A.

3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 4 4

D.

3 3 ? i 4 4

【答案】 C .

考点:1、复数及其四则运算. 3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为

?70,90? , ?90,110? , ?110,130? , ?130,150?,若成绩大于等于 90 分的人数为 36,则成绩在 ?110,130? 的人数
为( )

1

A.12

B.9

C.15

D.18

【答案】 A .

考点:频率分布直方图. 4.设函数 y ? f ? x ? , x ? R , “ y ? f x? A.充分不必要条件 【答案】 B . 【解析】 试题分析:当“ y ? f ? x ? 的图象关于原点对称”时,函数 y ? f ? x ? 为奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,所 以 f (? x) ? f ( x) , 所以 y ? f ? x ? 是偶函数; 反过来, 当 “ y ? f ? x ? 是偶函数” 时不能推出 “ y ? f ? x?
2 的图象关于原点对称”例如: y ? x ,此时 y ? x 2 是偶函数,其图像不关于原点对称.所以“ y ? f ? x ? 是

? 是偶函数”是“ y ? f ? x? 的图象关于原点对称”的(
C.充要条件


[

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

偶函数”是“ y ? f ? x ? 的图象关于原点对称”的必要不充分条件,故应选 B . 考点:1、函数的奇偶性;2、充分条件与必要条件. 5.已知 F1 , F2 是双曲线 为( A. 1 ) B.

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点, P 在双曲线上,且满足 ?F1PF2 ? 900 ,则 ?F1PF2 的面积 4

5 2

C.2

D. 5

2

【答案】 A .

考点:1、双曲线的简单几何性质. 【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质,重点考查学生的逻辑推理能力和判断推理能力,属中档 题.其解题的一般步骤为:首先设出 PF 1 ? m, PF 2 ? n 并由定义可得等式 PF1 ? PF2 ? m ? n ? 4 ,然 后结合已知条件可得出另一个等式,再联立两个等式即可求出 mn 的值,最后由三角形的面积计算公式即可 得出所求的结果. 6.要得到函数 f ? x ? ? 2sinxcosx, x ? R 的图像,只需将函数 g ? x ? ? 2cos2 x ?1, x ? R 的图像( )

? 个单位 2 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移 【答案】 D . 【解析】

? 个单位 2 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移

试题分析:对于 A 选项,因为函数 g ? x ? ? cos 2x, x ? R 的图像向向左平移

y ? cos 2( x ?

?
2

? 个单位可得: 2

) ? cos( 2 x ? ? ) ? ? cos 2 x ,所以 A 选项不符合题意;对于 B 选项,因为函数

? ? 个单位可得: y ? cos 2( x ? ) ? cos( 2 x ? ? ) ? ? cos 2 x ,所 2 2 ? 以 B 选项不符合题意;对于选项 C,因为函数 g ? x ? ? cos 2x, x ? R 的图像向向左平移 个单位可得: 4 ? ? y ? cos 2( x ? ) ? cos( 2 x ? ) ? ? sin 2 x ,所以 C 选项不符合题意;对于 D 选项,因为函数 4 2 ? ? ? g ? x ? ? cos 2x, x ? R 的图像向向右平移 个单位可得: y ? cos 2( x ? ) ? cos( 2 x ? ) ? sin 2 x ,所 4 2 4
g ? x ? ? cos 2x, x ? R 的图像向向右平移
以 D 选项符合题意;故应选 D. 考点:1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像及其变换.
3

7.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 x ? (



A.1.25 【答案】C.

B.1.375

C.1.4375

D.1.40625

考点:1、算法与程序框图.

?1? 8.设 x0 是方程 ? ? ? x 的解,则 x0 所在的范围是( ? 3?
A. ? 0, ? 【答案】 B . 【解析】

x



? ?

1? 3?

B. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ?

?2 ? ,1? ?3 ?

?1? ?1? 试题分析:构造函数 f ( x) ? ? ? ? x ,所以 f (0) ? ? ? ? 0 ? 1 ? 0 , ? 3? ? 3?
1 ? 1 ?3 1 ? 1 ?3 ? 1 ?2 1 ?1?2 1 ?1?2 ? 1 ?2 f( )?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0,f ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 所以由零点的存在性 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? 2 ?3? 2 ?3? ?2?
4
1 1 1 1 1 1

x

0

定理可得函数 f ( x) ? ? ? ? 考点:1、函数与方程.

?1? ? 3?

x

?1 1? x 在 ? , ? 上存在零点,故应选 B . ?3 2?

9.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(



A. 6 ? 2 2 ? 6 【答案】 D .

B. 6 ? 2 2

C.3

D.

8 3

考点:1、三视图;2、简单组合体的体积. 10.把长为 80cm 的铁丝随机截成三段,则每段铁丝长度都不小于 20cm 的概率是( A. )

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

3 16

【答案】 A . 【解析】

?20 ? x ? 试题分析:设把长为 80cm 的铁丝随机截成三段的长度分别为 x,y,80-x-y,则由题意知: ?20 ? y , ?20 ? 80 ? x ? y ?
所以包含事件每段铁丝长度都不小于 20cm 所表示的面积为 区域的面积为

1 ? 20 ? 20 ? 200 ,而基本事件所表示的平面 2

1 ? 80 ? 80 ? 3200 ,所以由古典概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于 20cm 的概 2
5

率P ?

200 1 ? ,故应选 A . 3200 16

考点:几何概型. 11.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 4, E, F , H 分别是棱

PB, BC , PD 的中点,则过 E , F, H 的平面截四棱锥 P ? ABCD 所得截面面积为(
A. 2 6 B. 4 6 C. 5 6 D. 2 3 ? 4 6



【答案】 C .

考点:1、线面平行和垂直的判定定理;2、线面平行和垂直的性质定理. 【思路点睛】本题考查了线面平行和垂直的判定定理和线面平行和垂直的性质定理,考查学生综合运用知 识的能力和空间想象能力,属中档题.其解题的一般思路为:首先运用空间公理正确找出过 E , F, H 的平面 分别交直线 PA,CD 于 M , N 两点,然后运用空间线线关系和线面关系得出 M , N 两点的位置,进而得出过

E , F, H 的平面截四棱锥 P ? ABCD 所得截面,最后得出所求结果即可.
12.设函数 f ? x ? ? 围是( A. ? ) B. ?

1 3 x ? 3x 2 ? ? 8 ? a ? x ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范 3

? 1 1? , ? ? 15 6 ?

? 1 1? , ? ? 15 4 ?

C. ?

? 1 1? , ? 6 4? ?

D. ? ,

?1 5 ? ? ? 4 18 ?

【答案】 A . 【解析】

1 3 x ? 3 x 2 ? 8 x ? 5 ,h( x) ? a( x ? 1) ,则由存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 可 3 1 3 2 知存在唯一的正整数 x0 ,使得 g ( x) ? x ? 3 x ? 8 x ? 5 在 h( x) ? a( x ? 1) 的下方,因为 3
试题分析: 设 g ( x) ?

g ' ( x) ? x 2 ? 6 x ? 8 ,所以当 4 ? x ? 2 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? 4 时, g ' ( x) ? 0 ;由题意结合图像可知,
存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 需满足: h(1) ? g (1), h(4) ? g (4) 即

1 1 ? a ? ,故应选 A . 15 6
6

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的极值;3、导数的综合应用. 【思路点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值和导数的综合应用, 考查学生综合知识能力,渗透着数形结合和转化的数学思想,属中档题.其解题的一般思路为:首先设

1 3 x ? 3 x 2 ? 8 x ? 5 , h( x) ? a( x ? 1) ,然后将所求的问题转化为存在唯一的正整数 x0 ,使得 3 1 g ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 8 x ? 5 在 h( x) ? a( x ? 1) 的下方,进而结合函数的图像及其性质即可得出满足题意所 3 g ( x) ?
包含的条件,最后得出所求的结果.

第Ⅱ卷(共 90 分) (非选择题共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
0 0 0 ? 13.已知向量 a ? cos15 ,sin15 , b ? cos 75 ,sin 75 ,则 a ? 2b ? ___________.

?

?

?

?

【答案】 3.

考点:1、平面向量的坐标运算;2、平面向量的概念.

? 3 1 ? 14.在 ? 2 x ? ? 的展开式中,各二项式系数的和为 128,则常数项是__________. x? ?
【答案】14. 【解析】

n

? 3 1 ? n 试题分析:因为 ? 2 x ? ? 的展开式中,各二项式系数的和为 128,所以 2 ? 128,即 n ? 7 ,所以 x? ?
7

n

21? r 7 ? 3 1 ? 1 r r 3 7?r r 7?r ) ? C7 2 (?1) r x 2 ,令 21 ? r ? 0 ,则 ? 2x ? ? 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C7 (2 x ) (? 2 x? x ?

n

7

6 r ? 6 ,即常数项是 C7 2 ? 14 ,故应填 14.

考点:1、二项式定理的应用.
2 15.已知抛物线 x2 ? 4 y 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? r ? r ? 0 ? 有公共点 P ,若抛物线在 P 点处的切线与圆 2 2

C 也相切,则 r ? _________.
【答案】 2.

考点:1、抛物线;2、直线与圆的位置关系. 【易错点睛】本题主要考查了抛物线和直线与圆的位置关系,考查了学生综合应用知识的能力和知识的迁 移能力,属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误:其一是不能正确地运用导数的几何意义求抛物线上 点的切线的斜率,进而导致出现错误;其二是不能正确地找出直线与圆的位置关系即切线与过切点的半径 垂直的结论,从而导致无法求解. 16.一艘海监船在某海域实施巡航监视,由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处,然后沿东偏南 30°方向行 驶 50 海里至 N 处, 再沿南偏东 30°方向行驶 30 3 海里至 B 岛, 则 A, B 两岛之间距离是 _________海里. 【答案】70 【解析】 试题分析:连接 AN,则在 ?AMN 中,应用余弦定理可得 cos60 ?
0

502 ? 802 ? AN 2 ,即 AN ? 70 ;应 2 ? 50 ? 80

用 余 弦 定 理 可 得 cos?ANM ?

502 ? 702 ? 802 1 ? , 所 以 在 ?ANB 中 , 应 用 余 弦 定 理 可 得 2 ? 50 ? 70 7
;而

cos?ANB ?

(30 3 ) 2 ? 702 ? BC 2 2 ? 30 3 ? 70

8

cos?ANB ? cos(1500 ? ?ANM ) ? cos1500 cos?ANM ? sin 1500 sin ?ANM ?
所以

3 3 ? 2 ? 70 ? 30 7 , 14

3 3 (30 3 ) 2 ? 702 ? BC 2 ,即 AB ? 70 ,故应填 70 ? 2 ? 70 ? 30 7 ? 14 2 ? 30 3 ? 70
考点:1、余弦定理在解三角形中的应用;2、两角差的余弦公式;3、同角三角函数的基本关系. 【思路点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用、两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关 系,属中档题.其解题的一般思路为:首先作出辅助线连接 AN 构造出三角形,然后在 ?AMN 中连续两次运 用余弦定理可得出 AN 和 cos ?ANM 的值,再由 cos?ANB ? cos( 1500 ? ?ANM ) 即可得出其余弦值,最 后在 ?ANB 中运用余弦定理即可得出所求的结果. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S10 ? 110, S15 ? 240 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

an?1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? an an?1
n n+1
+2n.

【答案】 (Ⅰ)an=2n; (Ⅱ)

9

考点:1、等差数列;2、等差数列的前 n 项;3、裂项求和. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, BC ? PB, ?BCD 为等边三角形,

PA ? BD ? 3, AB ? AD , E 为 PC 的中点.

(1)求 AB ; (2)求平面 BDE 与平面 ABP 所成二面角的正弦值. 7 【答案】(1) AB=1;(Ⅱ) 4 .

10

考点:1.线面垂直的判定定理与性质定理;2.空间向量求立体几何问题;3.空间想象能力;4.推理论证能力 【易错点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理、空间向量求立体几何问题、推理论证能力、 空间想象能力和推理论证能力,考查学生综合应用知识的能力和应变能力,属综合题.其解题过程中最容易 出现以下错误:其一是不能准确找出线线关系,尤其是线线垂直、线面垂直的关系,进而不能正确地求出 所得的结果;其二是对于第二问不能正确地运用空间向量求立体几何问题,进而导致失误. 19.(本小题满分 12 分) 甲将要参加某决赛,赛前 A, B, C , D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知 A, B 选择甲 的概率均为 m , C , D 选择甲的概率均为 n ? m ? n? ,且四人同时选择甲的概率为 概率为

9 ,四人均未选择甲的 100

1 . 25

(1)求 m, n 的值; (2)设四位同学中选择甲的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】详见解析.

11

考点:1.相互独立事件的概率;2、离散型随机变量的分布列;3、数学期望. 【方法点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生基本 的统计知识和综合应用知识的能力,属中档题. 对于第一问其解题的关键是正确地运用相互独立事件的概 率公式进行求解;对于第二问利用相互独立事件的概率计算公式可求出随机变量取值的各自的值,进而得 出所求的数学期望即可. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,过椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为左焦点 F , A, B 分别为 E 的右顶 a b
点,上顶点,且 AB / /OP, AF ? 2 ? 1 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过原点 O 做斜率为 k ? k ? 0? 的直线,交 E 于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积 S 的最大值. x2 2 【答案】 (Ⅰ) +y2=1; (Ⅱ)当 k= 时,四边形 ACBD 的面积 S 取得最大值 2. 2 2
12

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.最值问题. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ?2. x

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 y ? f ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,证明: x1 ? x2 ? 2a . 【答案】 (1)当 a≤0 时,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先求出函数 f ? x ? 的导函数,然后利用导数研究函数的单调性与最值,进而得出所求的结 果; (2)首先由函数 y ? f ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 并结合(1)可得 0<x1<a<x2,然后构造函数 g (x)=f (x)-f (2a-x),并利用其导函数求出其函数的单调性,进而得出所证的结果.
13

1 a x-a 试题解析: (Ⅰ)f ?(x)= - 2= 2 , (x>0) ,所以当 a≤0 时,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增; x x x 当 a>0 时,f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)若函数 y=f (x)的两个零点为 x1,x2(x1<x2) ,由(Ⅰ)可得 0<x1<a<x2.令 g (x)=f (x)-f (2a-x), (0<x<a)则 g ?(x)=f ?(x)+f ?(2a-x)=(x-a) 1 [x1 -(2a- ]<0,所以 g (x)在(0,a)上单调递减,g (x)>g (a) x)
2 2

=0,即 f (x)>f (2a-x).令 x=x1<a,则 f (x1)>f (2a-x1),所以 f (x2)=f (x1)>f (2a-x1),由(Ⅰ)可得 f (x) 在(a,+∞)上单调递增,所以 x2>2a-x1,故 x1+x2>2a. 考点:1.利用导函数判断函数的单调性;2.构造函数. 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分 ?ABC ,且

OD / / BC .

(1)证明: A, B, C , D 四点共圆,且 O 为圆心; (2) AC 与 BD 相交于点 F ,若 BC ? 2CF ? 6, AF ? 5 ,求 C , D 之间的距离. 【答案】 (1)详见解析; (2)∠BAC=90° .

14

=AD=2 5. 考点:1.相似三角形;2.圆 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 2 .矩形 ABCD 内接 于曲线 C1 , A, B 两点的极坐标分别为 ? 2, 为原来的一半,得到曲线 C2 . (1)写出 C , D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (2)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围.
?x=2cos θ, 【答案】 (Ⅰ)C(- 3,-1)、D( 3,-1);曲线 C2 的参数方程为? (θ 为参数) ; (Ⅱ)[20,32]. ?y=sin θ
[来

? ?

??

? 5? ? 和 ? 2, 6? ? 6

? ? .将曲线 C1 上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短 ?

2

2

2

2

考点:1. 直线的参数方程;2.圆的极坐标方程;3.直线与圆的位置关系. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? mx ?1 . (1)若 m ? 1 ,求 f ? x ? 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (2)若 f ? x ? ? 2x ,求 m 的取值范围. 【答案】 (1)[-1,1]; (2) (-∞,-1]∪[1,+∞). 【解析】
15

考点:1.含绝对值的不等式的解法;2.集合的包含关系.

16

17


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