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数列通项公式的求法大盘点


数列通项公式的求法大盘点 各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种 求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数 列类型的题目.
2

例 1.等差数

列 ?a n ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a 5 .求 数列 ?a n ? 的通项公式. 解:设数列 ?a n ? 公差为 d (d ? 0) ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,
2

即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d ? a1d
2 2

∵d ? 0, ∵ S 5 ? a5
2

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ an ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写 出通项。 二、公式法 若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 S n 与 a n 的 关 系 , 求 数 列 ?a n ? 的 通 项 a n 可 用 公 式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 an ? ? 求解。 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 2 例 1、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 12 n ? n ,求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn
变式:已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ? 12 n ,求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn
2
2 ? ?12 n ? n 2

答案: Tn ? ? 练习:

( n ? 6)

?n ? 12 n ? 72 ( n ? 7 ) ?

;变式: Tn ? ?

2 ? ?12 n ? n 2

( n ? 6)

?n ? 12 n ? 72 ( n ? 7 ) ?

1、若数列 {a n } 的前 n 项和 S n 2、 若数列 {a n } 的前 n 项和 S n

? 2 n ,求该数列的通项公式。答案: a n ? ?
? 3 an ? 3 , 求该数列的通项公式。 答案:a n 2

?2 ?2
n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

? 2 ? 3n

3、 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 数列 {S n } 的前 n 项和为 Tn , 满足 Tn 求数列 {a n } 的通项公式。。答案: a n

? 2S n ? n 2 ,

? 3 ? 2 n?1 ? 2

三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或 等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型 1 递推公式为 a n ?1

? a n ? f ( n)

解法:把原递推公式转化为

a n?1 ? a n ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
?

例 3. 已知数列

?a n ? 满足 a

1

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 a n 。 n ?n 2
2

解:由条件知: a n ?1

? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? an ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n * 例 4.已知数列 ?an ? 的首项为 1,且 an ?1 ? an ? 2n(n ? N ) 写出数列 ?an ? 的通项公式.
答案: n 2 ? n ? 1 例 5.已知数列 {a n } 满足 a1 答案: a n ? 4 ?

? 3 ,a n ? a n?1 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1)

1 n

类型 2 (1)递推公式为 a n ?1 解法:把原递推公式转化为

? f ( n) a n

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
2 n , a n ?1 ? an ,求 a n 。 3 n ?1

例 1. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 解:由条件知 之,即

a n ?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘 an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 1 2 3 n ?1 ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ??????? a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n
又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3n 3

练习: 1、在数列 {a n } 中 a1 2、求数列 a1

? 1, a n ?

n ?1 2 a n ?1 (n ? 2) ,求 a n 与S n 。答案: a n ? n ?1 n(n ? 1)

? 1, an ? 2n ? 3 an?1 (n ? 2) 的通项公式。 2n ? 1
an 2n ? 3 a2 1 a3 3 a4 5 an 2n ? 3 ? ,? ? , ? , ? ? ? , an ?1 2n ? 1 a1 5 a2 7 a3 9 an ?1 2n ? 1

解答:由已知当 n ? 2,

N-1 个式子累乘,得到 a n 类型 3 形如 a n ?1

?

3 4n ? 1
2

当 n=1,也满足,所以 a n

?

3 4n ? 1
2

(n ? N ? )

? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型(构造新的等比数列)
A ? c(an ? A) ,利用待定系数法求出 A

-方法如下:设 an?1 ? =特征根法

设已知数列 {a n } 的项满足 a1 ? b, a n ?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。 作 出 一 个 方 程 x ? cx ? d , 则 当 x 0 ? a1 时 , a n 为 常 数 列 , 即

an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , 其 中 {bn } 是 以 c 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即

bn ? b1c n ?1 , b1 ? a1 ? x0 .
例 1.已知数列 {a n } 中, a1 分析:待定系数法构造 an?1 解:由 a n ?1 ? 则 an ?1 ? 1 ?

? 2, a n ?1 ?

? A ? c(an ? A) 构造新的等比数列。

1 1 a n ? , 求通项 a n . 2 2

1 1 1 a n ? , 设 an ?1 ? A ? (an ? A) ,解出 A=-1, 2 2 2

1 1 (an ? 1) 所以数列 {a n ? 1} 构成以 a1 ? 1 ? 1 为首项,以 为公比的等比数列 2 2 1 n ?1 1 ?1. 所以 a n ? 1 ? ( ) n ?1 ,即 a n ? ( ) 2 2 n ?1 练习:1、若数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? 2a n ? 1,求通项公式 a n 。答案: a n ? 2 ? 1
2、若数列 {a n } 中,a1 ? 1 , a n ?1 类型 4 形如 a n ?1 ? (1)若

?

pan ? f (n) 型(构造新的等比数列)

2 n?1 2 a n ? 1 ,求通项公式 a n 。答案:a n ? 3 ? 2 ? ( ) 3 3

f (n) ? kn ? b 一次函数(k,b 是常数, k ? 0 ), 且 则后面待定系数法也用一次函数。

例题. 在数列 { an } 中, a1 ? 解:原递推式可化为 2( an

? kn ? b) ? an?1 ? k (n ? 1) ? b
? bn ?1

3 , 2an ? an ?1 ? 6n ? 3 ,求通项 a n . 2

比较系数可得:k=-6,b=9,上式即为 2bn

所以 ?b n ?是一个等比数列,首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

1 9 ,公比为 . 2 2

? bn ?

9 1 n ?1 1 n 1 n ( ) 即: a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) ,故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2 2 2 2 练习:1、已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 , a n ?1 ? 3a n ? 4n ? 2 ,求通项公式 a n
答案: a n (2)若

? 5 ? 3 n ?1 ? 2n

f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即: a n ?1 ? ②若

a n ? q n ,累加即可
a n ?1 q
n ?1

p ? 1 时,即: a n ?1 ? p ? a n ? q n ,后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以 令 bn

q n ?1

. 即:

?

p an 1 ? ? , q qn q

p 1 ? bn ? .然后转化为类型 5 来解, q q q n ?1 2 (n ? N ) .求通项公式 a n 例 1. 在数列 { an } 中,a1 ? ? , an ? ?2an ?1 ? 3 且 5

?

an

n

,则可化为 bn ?1 ?

解:由 a n 设 bn

? 3 n ?1 ? 2a n ?1 (n ? N ) 得
,则 b n ? ?

an an?1 ? ? 2 ? n?1 ? 1 . n 3 3 3 3

?

an 3n

2 1 1 2 1 bn ?1 ? . 即: bn ? ? ? (bn ?1 ? ) , 3 3 5 3 5

所以 ?bn

? ?

1? ? ? 是首项为 b1 ? 1 ? 2 ( 1 ? a0 ) ? 2 ,公比为 ? 2 的等比数列. 5? 5 3 5 5 3

2 n ?1 3 1 2 2 n?1 ? ( )n , ? (? ) = (?1) 5 3 5 5 3 an 2 1 3 1 n ?1 3 ? ( ) n ? ,故 an ? (?1) n?1 ? 2 n ? ? 3n 即: n ? bn ? (?1) 5 3 5 5 5 3
则 bn

?

评注:本题的关键是两边同除以 3 ,进而转化为类型 5,构造出新的等比数列,从而将求 一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 练习: 1 、 已 知 数 列 ?a n ? 中 , a1 ?

n

an ?

n ?1 2 n ?1

1 2



1 2a n ? a n ?1 ? ( ) n 2

, 求 通 项 公 式 an 。 答 案 :

类型 5 形如

a n ?1 ? pan ? qan ?1 (其中 p,q 为常数)型
用转化法

(1)当 p+q=1 时

例 1.数列 { an } 中,若 a1 解:把 a n ? 2 则数列

? 8, a 2 ? 2 ,且满足 a n? 2 ? 4a n?1 ? 3a n ? 0 ,求 a n .

?a n ?1 ? a n ?是以 a
p 2 ? 4q ? 0 时

? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 变形为 a n ? 2
2

? a n ?1 ? 3(a n ?1 ? a n ) .
a n ? 11 ? 3 n .

? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则

a n ?1 ? a n ? ?6 ? 3 n ?1
(2)当

利用类型 6 的方法可得 用待定系数法.

例 2. 已知数列 { an } 满足 a n ? 2 求 an . 解 : 令

? 5a n ?1 ? 6a n ? 0 ,且 a1 ? 1, a 2 ? 5 ,且满足,
, 即

a n ? 2 ? xan ?1 ? y(a n ?1 ? xan )
x? y?5
,故 ?

a n ? 2 ? ( x ? y)a n ?1 ? xyan ? 0 ,与已知
a n ? 2 ? 5a n ?1 ? 6a n ? 0 比较,则有 ? ?
由?

? xy ? 6

?x ? 2 ?x ? 3 或? ?y ? 3 ?y ? 2

?x ? 2 来运算,即有 a n ? 2 ?2a n ?1 ? 3(a n ?1 ? 2a n ) , ?y ? 3

则数列

?a n?1 ? 2a n ? 是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故


a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 3 n ?1 ? 3 n ,即 a n ?1 ? 2a n ? 3 n
由?

?x ? 3 来运算,即有 a n ? 2 ?3a n ?1 ? 2(a n ?1 ? 3a n ) , ?y ? 2
n

则数列

?an?1 ? 3an ?是以 a2 ? 3a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,故


a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ,即 a n ?1 ? 3a n ? 2
由①②可得 a n

? 3n ? 2 n .
? aan?1 ? ban 的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但

评注:形如 a n ? 2

这 种 方 法 比 较 复 杂 , 我 们 采 用 特 征 根 的 方 法 : 设 方 程 ( x ? a) x ? b 的 二 根 为 ? , ? , 设

a n ? p ? ? n ? q ? ? n ,再利用 a1 , a 2 的值求得 p,q 的值即可.
练习:1、若数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a 2 ? 3 , a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n ,求通项公式 a n 答案: a n ? 2
n ?1

?1

2、 若数列 {a n } 中,a1

? 5 , a2 ? 2 ,an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 2) , 求通项公式 a n
1 a n ? [7 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 ? 13] 4

书本 P69 第 6 题,答案: 2 、 已 知 数 列 ?a n ? 中 ,

a1 ? 1 , a n?1 ? 3a n ? 3 ? 2 n , 求 通 项 公 式 a n 。 答 案 :

a n ? 7 ? 3n ?1 ? 3 ? 2 n

对于由递推公式 程x
2

a n? 2 ? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?a n ?,方

? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?a n ? 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当

n x1 ? x 2 时,数列 ?a n ?的通项为 a n ? Ax1n ?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a 2 ? ? 决

定(即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n ? 1,2 ,代入 a n 组);当

n ? Ax1n ?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于 A、B 的方程

n ?1 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?a n ? 的 通 项 为 an ? ( A ? Bn) x1 , 其 中

A,B 由

a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a1 , a 2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 a n ? ( A ? Bn) x1n ?1 ,得
到关于 A、B 的方程组)。


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