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运用韦恩图解题“三层次”


运用韦恩图解题“三层次”
由于图形简明、直观,因此很多数学问题解题往往借助于图形来分 析,下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次:识图——用图—— 构图. 一、识图 是指给出韦恩图形式,用集合的交、并及补等集合的运算表示. 例 1 如 图 , I 是 全 集 , M、 P、 S 是 I 的 3 个 子 )

集,则阴影部分所表示的集合是( (A)

( M∩ P) ∩ S (B) ( M∩ P) ∪ S (C) ( M∩ P) ∩ ? I S (D) ( M∩ P) ∪ ? I S

解 : 阴 影 部 分 是 M 与 P 的 公 共 部 分 (转 化 为 集 合 语 言 就 是 M∩ P), 且 在 S 的 外 部 (转 化 为 集 合 语 言 就 是
?I

S), 故 选 (C).

例 2 用 集 合 A、 B 及 它 们 的 交 集 、 并 集 、 补 集 的 符 号 表 示 阴 影 部 分 的集合,正确的表达式是( (A) (A∪ B)- (A∩ B) (B)
?U


U

(A∩ B)

A

B

(C) (A∩ ? U B)∪ ( ? U A∩ B) (D)
?U

(A∪ B)∩ ? U (A∩ B)

解 :阴 影 有 两 部 分 ,左 边 部 分 在 A 内 且 B 外 (转 化 成 集 合 语 言 就 是 A ∩ ? U B), 边 部 分 在 B 内 且 A 外 (转 化 成 集 合 语 言 就 是 ? U A∩ B), 选 (C). 右 故

二、用图 例 3 设 U 是 全 集 , 非 空 集 合 P、 Q 满 足 P Q U, 若 含 P、 Q 的 一
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个集合运算表达式,使运算结果为空集 _______( 只 要 写 出 一 个 表 达 式 ) . 解 将集合语言用韦恩图表示,

?

,则这个运算表达式可以是

如 图 1, 极 易 得 到 其 多 种 答 案 : ⑴ ?r U Q∩ P; ⑵ P∩ ( ?r U P∩ Q); ⑶ ?r U Q∩ (P∪ Q); 等 等 . 例 4 已 知 全 集 I= N*, 集 合 A={x│ x=2n, n∈ N*}, B={x│ x= 4n, n ∈ N*}, 则 ( (A) (C)
I ? A? B
P

Q
U

图1

) (B) I (D)
? ?I A ? B I ? 痧A? I B
图 2
B

A
I

I ? A ? ?I B

I

解 : 根 据 题 意 , 易 得 B ? A, 画 出 韦 恩 图 (如 图 2), 显 然 I= A∪ ? I B, 故 选 (C). 例 5 设 全 集 U = {x|0< x≤ 10, x∈ N*}, 若 A∩ B= {3}, A∩ ? U B= {1, 5, 7}, ? U A∩ ? U B= {9}, 求 A, B. 分 析 :本 题 关 系 较 为 复 杂 ,由 推 理 的 方 法 较 难 ,而 用 韦 恩 图 ,则 显 得 简捷. 解 :由 U = {1,2,3,? ,9},据 题 意 , 画 韦 恩 图 , 如 右 图 , 易 得 A= {1, 3, 5, 7}, B= {2, 4, 6, 8}.
U
1 7

A
5

B
3
2 6 4 8

9

三、构图 对于某些应用题,若能构造韦恩图求解,可使问题变得简单明了. 例 6 某 班 50 名 学 生 中 , 会 讲 英 语 的 有 36 人 , 会 讲 日 语 的 有 20 人 , 既 会 讲 英 语 又 会 讲 日 语 的 有 14 人 ,问 既 不 会 讲 英 语 又 不 会 讲 日 语 的 有 多 少人?
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解 : 设 全 集 U= {某 班 50 名 学 生 }, A= {会 讲 英 语 的 学 生 }, B= {会 讲 日 语 的 学 生 }, B= {既 会 讲 英 语 又 会 讲 日 语 的 学 生 }, 由 韦 恩 图 知 , A∩ 则 既 不 会 英 语 又 不 会 日 语 的 学 生 有 : 50- 22- 14- 6= 8(人 ).
U

A

? 22 ?

A? B

B

(1 4 )

(6)

(50)

痧A ? U

U

B

例 7

50 名 学 生 做 物 理 、 化 学 两 种 实 验 , 已 知 物 理 实 验 做 得 正 确 有

40 人 , 化 学 实 验 做 得 正 确 有 31 人 , 两 种 实 验 都 做 错 的 有 4 人 , 问 这 两 种实验都做对的有多少人? 解 : 设 全 集 U = {做 理 化 实 验 的 50 名 学 生 }, A= {做 对 物 理 实 验 的 学 生 }, B= {做 对 化 学 实 验 的 学 生 }, A∩ B= {两 种 实 验 都 做 对 的 学 生 }, 并 设 Card(A∩ B)= x, 则 由 韦 恩 图 (图 略 ), 知 40- x+ x+ 31- x+ 40= 50, 解 得 x= 25. 即 两 种 实 验 都 做 对 有 25 人 .

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