当前位置:首页 >> 数学 >> 利用变式进行板块式教学提高复习效率——高三数学复习课“平面向量的数量积”教学实录

利用变式进行板块式教学提高复习效率——高三数学复习课“平面向量的数量积”教学实录


上海中学数学?2014年第12期



利用变式进行板块式教学提高复习效率
——高三数学复习课“平面向量的数量积’’教学实录
215011

江苏省苏州高新区第一中学

赵睿英

在高三数学的专题复习中,如何真正做到精讲 精练、有实效,是高三数学教师面对的一个重要课 题.从典型的基础问题人手,提炼易错点,并通过一 题多解触类旁通,或一题多变举一反三,由特殊到一 般,将特殊解法与通法进行对比,使学生遇到某类题 马上在头脑中呈现出相关网络图,清楚共有几种解 决途径,哪一种最简便.笔者以自己的一节高三专题 复习课“平面向量的数量积”为例,通过对例题的多 解多变,引导学生进行自主探究、总结方法. 1课堂教学实录与反思 1.1一题多解,一题多变。由特殊到一般。整体 与局部分析相结合 例1 在/kABC中,角A,B,C所对边为a,b, c,其中盘一3,6=4.

算,从两项提取公因式进行向量加法运算达到数量 化的目的.上述方法是从“数”的角度处理,同学们能

否从“形”出发解决呢?三个向量A百,Be,砑之间
有什么关系?

生3:利用三角形法则盈+蔚+蔬卣,平方 化简后得盔?前+蔚?蕊+蕊?蕊一一妻(口z


-q-b2+c2).

师:非常好!本题从特殊到一般j从局部攻克到 整体分析,用多种方法分析解决.同时同学们也体会 到了数形结合的思想方法在向量中的灵活运用,数 形结合的方法开阔了我们的思路,借助于图形的确 可以快速解题,也说明我们掌握了向量的本质. 变式1 AABC的外接圆的圆心为O,3 O万+

4商+5砣苟,则cOSLB=



=——, (2)若c一3,则蕊.前+赢.蕊+蕊.蕊 =——,
(3)若c_6,则商.蔚+蔚.商+蕊.商
. .

(1)若c一5,则蕊?蔚+蔚.宓+魂?蕊

师:角B是三角形的内角,首先思考角B与圆 O中哪一个角有关系? 生4:角B是一个圆周角,它是么AOC的一半, 而要求LAOC必须先求O万?Oe,这样就会想到将 0秀移项孤立出来得一4∞一3 OA+5 0e,平方后



求得蕊?砣.
师:生4的分析相当到位,本题隐含条件有lO万I

师:这是选自某刊的三基小题中的题目,请问如 何求解? 生1:因为各个向量的模都已知,所以由余弦定 理每两个向量夹角的余弦值也可求,依次求出每两 个向量的数量积再求和即可,但要注意每两个向量 的夹角不是三角形的内角而是相对应的外角. 师:很好!本小题复习了向量数量积的定义,并 且非常容易出错的地方就是求夹角,一定注意要先 移至共起点再求角. 师:随着三角形形状由直角三角形、等腰三角形 到一般的非特殊三角形,上述解题思路的运算过程 也相应变得复杂.能否使运算简单化?是否可以不 求夹角?

—I硇I—IOel,而它又是一道与模和夹角有关的
问题,必然会联想到向量的数量积,根据例题所提及 的思路,将已知条件平方使向量问题数量化,得到两 个向量的数量积,本题关键环节是求O万?Oe,所以 必须孤立0露.从这个例题可以看出,向量的数量积

的定义涉及到了两个基本量——模与夹角,所以同
学们在分析题目时要有的放矢,当条件或所求中涉 及到模、夹角、向量的数量积中的量时,要想到用定 义分析求解,当题目已知条件中有向量的线性运算 式,要想办法进行数量化,途径一般有平方法或等式 两边同乘向量等. 变式2 o是△ABC的外心,AB一1,AC一2,

B--芒(蕊+蕊)一一凳,

生2:先看前两项,发现蕊?蔚+葡?蕊一

A-A--6一z窟+竺≯赢(z∈R,z≠o),求AABC中


则同理葡?蔬+蕊?蕊一一商z,蕊?盔 +蕊.蔚一一蕊z,

BC的边长. 师:我们一起分析一下,三角形中已知两边求第 三边还需要一个什么量? 众生:求cosA. 师:那么如何利用已知条件求cosA呢? 生5:构造A百?Ae,将已知式子左右两边同乘

三式相加得2(蕊?蔚+蔚?魂+蕊?
A百)一一(口2+62+C2).最后化简. 师:非常好!这个方法巧妙地避开了繁琐的运

万方数据

10

上海中学数学?2014年第12期 这类题时,学生就能逐步形成系统的知识框架.因 此,高三复习绝不是对已学知识和方法的再现,而应 按照其内在联系,把各单元的、局部的、分散的、零碎 的知识和解题的数学思想、方法和规律进行纵横联 系,从而使其系统化、结构化.“以线串珠”成一个系 统,这样才能使学生依据自己拥有的知识体系,分析 题目信息,检索出解题思路、方法及相应的知识. 1.3一题多变。利用数形结合的思想强化投影 法的解题思路 小试牛刀如图1,△ABC中AB—a,AC—b, BC的中垂线上任意点P,则AP?Be一


砬得劢?商一z盈?赢+旱葡z,f旦如何求


解AO?Ae呢? 师:A0是半径,AC是弦,你想到什么? 生5:构造直角三角形,取AC的中点D,连接

OD,A----6.砬一(商+茄).前一4Z--ez-----2.


师:生5的想法非常好,理解了平面向量数量积 公式的本质.事实上这种方法称为投影法,它可以把 两个向量投影到一个向量上,用共线向量的长度来 计算. 从例1这个最基本的问题出发,通过变式创造了 利用平面向量数量积公式的各个不同的视点,帮助学 生在解决问题过程中系统地理解和掌握公式的本质. 1.2一题多解,一题多变。使求解方法清晰化 例2若等边AABC的边长为1,Be=2 BD, 例2其实和2014年高考题是相似题型,求解这 类题目对学生来说并不困难.学生踊跃发言,归纳方

法,设BC中点为D,则碎?蔚一(劢+井)?贫

=A-A--fi.百L±A下13q-AC.(A----O一压)一掣.


生10:看到与垂直有关的一类问题想到投影

c--a=3魂,求劢?赢.

法有:其一,将蕊,赢两向量作为基底,劢,赢用
两基底表示进行运算得出结果.其二,建立直角坐标
系,坐标化求解.其三,利用AD上BC采用投影法解 决.通过对比发现,利用向量数量积的几何意义,采 用投影法解题大大简化了运算,是很好的方法.

八\
图1 图2

BC的中点,若劢?万确一5,则弦AC的长为
本题目可让学生自己先试着解.有很多学生用 了建立直角坐标系的方法,但字母较多,运算繁琐, 难以进行下去.教师启发:与弦的中点、半径等有关

变式1如图2,已知圆。中弦AB=4,M是弦

变式若等边/kABC的边长为2√3,平面内一

点M满足葡一了1蔬+等蕊,则商?旆=
师:如何求解?你能否想出两种以上的方法?

生6:若用定义求解要首先知道M点的位置, 所以我采用建立直角坐标系的方法求出点M的坐
标再代人求解,答案为一2.

的问题在前面已经涉及过,采用什么方法呢?有些 学生想到用投影法.

生7:将蕊,蔬作为基底可知麻?商一
O 0 O

生11:A----6.劢一劢.(A盈+A----0)一A----6.

({蕊一去蔬).(一iZ啪十了b蔬)=一2.


孕+万乃.孚一A—B2+广AC2—5,解得AC一2.
师:大部分同学在解决本题时还是遇到了一定 的困难,适时启发后抓住了圆的特征,构造出半径、 半弦、圆心与弦中点的连线构成直角三角形,利用投 影法解决. 变式2如图3,四边形ABCD中,AB上BC,
AD上DC,AB—n,AD一6,则Ae?BD一




师:两位同学分别用坐标化、基底化两种方法解 决了上述问题,请问还有其他解决办法吗?

生8:将已知条件商一÷蔬+丢萌化成痢




一告(告商)+丢蕊,则取Bc的中点D,连接AD,





则M是AD的靠近A的三等分点,然后利用定义可
以求解.

学生看到此题后又是 束手无策,无论从建立直角 坐标系还是定义或化归基 底都难以下手,虽涉及垂直A 问题,但如何利用垂直用投 影法解决呢? 有的学生做了如下化
B C

AD可以用投影法,窳.商二窳.(商+魂)
一胍?MD一一2,这样就不用再用定义求了.
向量数量积的方法. 生:有定义法、基底法、坐标法、投影法. 通过例2、变式的分析讲解,学生可以清楚地知 道求解向量数量积的分析和求解方法.这样在解决 师:真是妙法层出不穷,我们一起总结一下求解

生9:像生8那样求出M的位置后,由于BC上

简:葡?商一(蕊+蔚)

图3

?(蔚+商)一商.商+赢.面+蔚z一震. 商+蔚z一一面z+百孝=be一口z.

万方数据

上海中学数学?2014年第12期 师:这位同学基本功相当扎实,能够充分运用向 量的线性运算及题中的垂直条件化简求值,但还是 给人一种思路不清、误打误撞的感觉,从总体上看要 利用垂直及两边长度就要尽量将未知向已知条件上 转化,那么可进行以下化简: 味,但又能注重基础,实现在落实基础之上有所发 展的教学理念. 2.2在教学中实施变式教学应注意的问题 在教学中设置变式时要把握好本质,有针对性 地紧扣大纲,立足教材,选准具有示范性、发散性、重 点突出的典型问题,体现知识的横向联系,使其具有 延伸性,乃至可进行一题多变.这样的问题进行变式 后,能引导学生有意识地从“变”的现象中发现“不 变”的本质,从“不变”中探寻规律,完善学生的认知 结构,从而提高学生发现问题、解决问题的能力.因 此,在变式教学中必须把握好以下几个方面. 2.2.1变式的难度要有“梯度” 变式要循序渐进,要符合学生水平的“最近发展 区”,符合学生的认知规律,逐步深入,层层推进,充 分激发学生的好奇心和求知欲,让学生“跳一跳”才 能“摘到果子”.题太容易不能激发学生的兴趣,太难 会使学生产生畏惧情绪.只有难度适宜的变式才能 培养学生的思维能力,发展学生的智力. 2.2.2变式教学要提高学生的参与度 在教学中,教师要尽量让学生参与到变式的课 堂中,发扬教学民主,师生双方配合交流互动.对于 学生在变式教学中获得的成功,哪怕是一丁点儿,教 师也要肯定表扬.只有这样,才能调动学生的积极 性,点燃学生的思维火花,提高学生参与创新的意 识,让他们感受到“变式”的乐趣,各种能力也会在不 知不觉中得到提升. 2.2.3变式的数量要“适度” 变式的数量要适度,如果过多,只会给学生增加 无效的劳动、加重学生的负担,使学生产生逆反心 理,对解题产生厌烦情绪.要注重变式题的典型性, 不能简单重复.数学练习的数量不能代替数学变式 训练的强度.在教学中,教师往往忽视了后者,而后 者才是具有思维挑战性的训练.如何设置好的变式 需要教师精心准备. 2.2.4变式的内容要有“开阔性” 设计变式要内涵丰富,境界开阔,让学生有足够的 思考空间.因此,所选择范例要有代表性,要注意知识 的横向纵向联系,题目的变化性,条件的变化与结论的 变化等.进行习题的变式训练时,要重视探究问题的变 化,在变化中认清概念的本质,形成比较深刻的理解; 在变化中梳理概念的结构,提炼数学思想、方法;在变 化中提高学生思维的深刻性和灵活性,切勿囫囵吞枣、 机械模仿而忽视独立思考.更重要的是在变化中形成 思维的独创性,培养学生的创新思维能力. 总之,在新课标下,教师要不断更新观念,因材施 教,继续完善变式教学模式,特别是到了高三复习后 期,要有一个由易到难,再由难到易的过程.从例题人 手,运用一题多解,让学生从不同的角度认识问题,采 用不同的方式表达自己的思想,用不同的知识和方法 解决问题,培养学生的创新能力.运用一题多变,变换

赢.商一(商+赢).(劢一商)一蕊. 劢+葡?劢一蕊z一砬.劢一蕊z一劢z一
商2=b2一口2.
师:解决本题可以受“小试牛刀”变式1的启发, 看到两对垂直可以想到什么呢? 生12:由两对相互垂直的直线可联想到四边形 有外接圆,AC是直径,BD是圆的一条弦,如图3,

则有商?蔚一2 A--6?商一2磕?商,余下解答
同“小试牛刀”部分. 的运算过程,思路清晰,虽然表面看上去两道变式在

师:很好,生12充分利用了图形特征,没有繁琐 已知条件上无任何相关之处,但他能够将两道变式题 中不变的本质抓住,本题让同学们更深刻地意识到数 形结合的重要性和简便性,所以深刻领会向量数量积 的定义和几何意义对此类题目的解答至关重要. 本题组通过强化数形结合的思想,让学生通过 “以形辅数”、“以数解形”、“数形结合”将复杂的问题 简单化,抽象的问题具体化,达到优化解题的目的. 本节课运用“一题多解、一题多变、一题多联”进 行板块式教学,形成知识链、知识网,使学生能做到 解一题,学一法,会一类,掌握对于向量中此类题目 的解题思路、解题技巧. 2运用变式进行板块式教学的思考 2.1变式教学的目的 高三复习不是基础知识的回顾和巩固,而是将 相关联的知识用变式教学的方式整合在一起,以专 题的形式板块式教学,使之系统化形成框架结构. 变式教学是我国传统教学的精华,它是借鉴科 学家发明创造的思想方法,通过对数学问题进行多 角度、多侧面的变式探索,用不同形式的直观材料说 明事物的本质属性,或变换事物的非本质属性突出 本质属性等.具体形式有一题多解、一题多变、一法 多用、多题一解、图形变式等.有意识地引导学生从 “变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质 中探索“变”的规律,有助于学生有层次有步骤多角 度地理解数学概念本质,而且能优化学生的思维品 质.而教师在教学中不但要关注“一题多变”、“图形 变式”、“一题多解”、“一法多用”、“多题一解”等 变式训练,还要关注教法、学法的“变式”,以及数 学思想的“变式”.其目的是通过变式教学,使学生 在理解知识的基础上,把学到的知识转化为能力, 形成技能技巧.变式教学为学生的思维发展提供 了阶梯,重复而不单调,有利于学生构建完整、合 理的概念知识体系.变式的设计,具有创新的意

万方数据

72

上海中学数学?2014年第12期

章节融合式复习策略
810012

青海湟川中学第一分校

赵小卫

每一学期各章节的学习内容都是一本书或整套 教材中相互衔接构成完整知识体系的重要组成部 分,章节复习中,一般要围绕其核心内容和重要的解 题方法对整章内容进行整理和巩固,用以提高认识、 加深理解和促进运用.章节复习是学生数学智力水 平进一步增长和扩展的重要时机,如何发挥一章内 容的地位和作用,使已学的内容从复习中获得新的 支撑?如何通过复习为以后的学习提供新的方向? 从过程来看,所有复习都需经过前期酝酿、中前 期的准备、中期实施和后期的评估与调整四个阶段. 前期酝酿就是要结合日常教学反馈出的问题按教材 体系和目标要求做系统完整的复习规划设计;准备 阶段应多从具体内容和学生的学习状况人手,本着 促进理解、形成能力和提升能力完成对阶段知识的 结构性诠释及对数学内容的问题化设计,使复习兼 有启示、引导与带动作用.实施阶段除了必要的再 现、落实复习计划和运用教学素材以外,还须锤炼学 生的数学思维能力,渗透数学思想,凸显学生自主复 习的主体地位.后期的评估和调整阶段主要是通过 考评对复习的成效做定量和定性两方面的分析,帮 助教师进行总结与反思,为下一阶段的复习与学习 作进一步的调整与改进. 从复习策略来看,为了能更好地促进对知识的理 解和应用,激发学生的想象力和创造力,就需要将同 一章节和不同章节多个知识点进行融会贯通,让学生 逐步形成一个相对完整的知识体系和思维空间. 一、梳理脉络 通过寻找知识的生长点,建立知识结构确立核 心概念、核心命题及常用或重要的数学方法.譬如人 教版七年级下的第八章二元一次方程组,其核心概 念应当是二元一次方程、二元一次方程组以及二者

解的意义,主要方法是代入法和加减法,整章体现的 数学思想是化多元为一元的消元思想.其核心与目 标要让学生明白怎样判断和检验一个二元一次方程 或方程组的解,清楚对二元方程组进行代入和加减 的依据和条件,能熟练掌握代入与加减的方法与过 程,具有实际运算和实际应用的能力. 二、对知识点进行横向融合 需要复习的每一章内容都应尽可能和同一册里 的其他各章相互融合,避免彼此孤立,人为切断不同 内容间的内在联系,忽略能相互融合的知识节点,势 必无法构成完整的知识体系和认知结构,所以必须 要让各章各节建立必要的联系,旨在提高学生的 认识水平和综合解题能力.像人教版七年级下中 的二元一次方程组这一章就可以和它前面的第六 章实数、第七章平面直角坐标系以及紧随其后的 第九章不等式与不等式组加以融合,设计出多种 问题. 问题1 已知√(z一2y)2一l,√5z+2y一5x+

2y,求z,Y的值. 问题2直角坐标系中把点(z,y)经先向上沿 Y轴正方向平移5个单位长度,再向左沿z轴负方 向平移3个单位长度,变成了点(3y,z),则平移前 该点的坐标是


问题3计算能使2x—Y一1中Y的值可以大 于l的最小整数z的值. 设计意图:学习内容被问题化的过程中,在不 同内容间通过融合帮助学习者在循序渐进的架构中 既温故也知新.像问题1就可以在兼顾算术平方根 还有立方根的基础上,转换视角给二元一次方程组 的复习提供一种新的支撑,用以提高对方程组的认 识水平以及应用层次.

条件寻求结论的不同之处;变换结论寻求条件的不同 之处;变换提出问题的背景,寻求多题一解等,培养学 生的思维.使学生能利用自己原有认知结构中的有关 经验,去同化和索引当前学习到的新知识,从而在新 旧知识之间建立起联系,并赋予新知识以某种意义. 高考要求对数学知识的整体驾驭和把握,所以进行有 效的变式教学既是我国数学教学的优良传统,也是新 课程背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径.

参考文献
[1]叶军.变式教学在概念教学中的实践与研究[J].数学月
刊,2012,6.

[2]吴莉霞,刘斌.变式教学要把握三个“度,,[J].数学通报,
2006,7.

[3]刘长春,张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].山
东教育出版社,2000.

万方数据


更多相关文档:

高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏

高三数学复习课中,如何真正做到精讲精练,提高复习效率,是高三数学老师所面对的...利用变式进行板块式教学... 4页 免费 2011届高三数学平面向量... 50页 1...

——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

高三数学复习课中,如何真正做到精讲精练,提高复习效率,是高三数学老师所面对的...这种探究方法可以在解决平面向量综合问题中 得到充分应用. 赏析:运用变式教学能...

——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

高三数学复习课中,如何真正做到精讲精练,提高复习效率,是高三数学老师所面对的...这种探究方法可以在解决平面向量综合问题中 得到充分应用. 赏析:运用变式教学能...

——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

高三数学复习课中,如何真正做到精讲精练,提高复习效率,是高三数学老师所面对的...利用变式进行板块式教学... 4页 免费 2011届高三数学平面向量... 50页 1...

——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

高三数学复习课中, 如何真正做到精讲精练, 提高复习效率, 是高三数学老师所...这种探究方法可以在解决平面向量综合问题中得到 充分应用. 赏析: 运用变式教学能...

高三数学复习课教学模式探究案例及其反思

高三数学复习课教学模式探究案例及其反思(2015---2016 学年第二学期) 王新才进入高三阶段,由于各学科知识量大幅增加、知识难度大幅提升,导致学生的学习难度加 大。...

小课题-数学复习中的变式教学

高三数学复习中的变式教学高三数学复习中的变式教学隐藏>> 数学复习课的变式教学 高二数学组 1 数学复习课的变式教学摘要: 变式教学作为教学现象, 在...

高三复习课:平面向量的数量积学案

高三复习课:平面向量的数量积学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三复习课:平面向量的数量积教学目标】 1、理解平面向量的数量积及向量投影的含义 。 2、...

1变式教学与高三数学复习

变式教学与高三数学复习洪秀满 【原文出处】《中学数学》 (江苏) ,1995.10.(10~12) 【作者简介】 洪秀满,浙江省仙居中学(317000) 我们知道,在高三数学复习课...

高三数学一轮复习平面向量的数量积 (3)

高三数学一轮复习 平面向量的数量积复习指导】 本讲复习时, 应紧扣平面向量数量积的定义, 理解其运算法则和性质, 重点解决平面向量的数量积的有关运算, 利用...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com