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2013


成都市 2013 届高中毕业班第二次诊断性检测 数学(文史类) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集 U ? ?1, 2 ,3, 4 ,5, 6? ,集合 M ? ?1,3,5? ,则 C U M ? ( A. )

?2 , 4 ,6?

B. ?1,3,5?
2

C. ?1, 2 ,

3, 4 ,5, 6? 对应的点位于( C.第三象限

D. ? ) D.第四象限 )
2

2. 在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

1? i

B. 第二象限

3. 命题“ ? x ? R ,都有 ln( x 2 ? 1) ? 0 ”的否定为( A. ? x ? R ,都有 ln( x ? 1) ? 0
2

B. ? x 0 ? R ,使得 ln( x ? 1) ? 0 D. ? x 0 ? R ,使得 ln( x ? 1) ? 0
2

C. ? x ? R ,都有 ln( x ? 1) ? 0
2

4. 函数 f ( x ) ? log A. ( 0 ,1)

2

x?

1 x

的零点所在区间为( C. ( 2 , 3 ) D. ( 3 , 4 )



B. (1, 2 )

5.已知直线 l 和平面 ? ,若 l // ? , P ? ? ,则过点 P 且平行于 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 ? 内 B.有无数条,一定在平面 ? 内 C.只有一条,且在平面 ? 内 D.有无数条,不一定在平面 ? 内 6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为( ) A. 1 B.
3 3

C.

3

D.

2 3 3

7.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A (1, 2 ) , P 是抛物线 y ? 2 x 上一动点, P 到 y 轴 若 则
2

的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为( ) A.
5

B.

17 2

C.

17 ? 1 2

D.

17 ? 1 2

8. 某算法的程序框图如图所示,执行该算法后输出的结果 i 的值为( A. 4 B.5 C.6 D.7



9.函数 f ( x ) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的最小值为( )
2 2

A. 0

B. ?

C. ?

2

D. ? 2

? ?2 x ? y ? 4 ? 0? ? ? ? ??x, y ? ? x ? y ? 0 ? ? ?x ? y ? 0 ? 10. 已 知 集 合 ? ? ? 表示的平面区域为 ? ,若在区域 ? 内任取一点
P ( x , y ) ,则点 P 的坐标满足不等式 x ? y ? 2 的概率为(
2 2



A.

3? 32

B.

3? 16

C.

?
32

D.

?
16

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 在某大型企业的招聘会上,前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共 2000 人, 各类毕业生人数统计如图所示,则博士研究生的人数为 。

12.已知 sin ? ? cos ? ?

2 3

,则 sin 2? 的值为

。 。

13.若直线 ( a ? 1) x ? 2 y ? 0 与直线 x ? ay ? 1 互相垂直,则实数 a 的值等于

14.已知 G 为 ? ABC 的重心,? ABC 所在平面内一点 P 满足 2 PB ? 2 PC ? AP ,则 值等于 。

AP AG



15. 对 于 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f ( x ) , 若 满 足 对 ? x , x ? D , 且 x1 ? x 2 时 都 有 1 2 。若 f ( x ) 为区间 [ 0 ,1] 上的“非 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则称函数 f ( x ) 为区间 D 上的“非增函数” 增函数”且 f ( 0 ) ? 1, f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1 ,又当 x ? [ 0 , ] 时, f ( x ) ? ? 2 x ? 1 恒成立。则下
4 1

列命题: ① ? x ? [ 0 ,1], f ( x ) ? 0 ; ②若 x1 , x 2 ? [ 0 ,1] ,且 x1 ? x 2 时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;
1 ③对 ? x ? [ 1 , 3 ] 时,都有 f ( x ) ? ; 4 4 2

④函数 f ( x ) 的图像关于点 ( , ) 对称;
2 2

1 1

其中你认为正确的所有命题的序号为 。 三、解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) ? 16.在 ? ABC 中,三内角为 A , B , C ,且 2 sin A sin( B ? ) ? sin( A ? B ) 。
4

(1)求 A 的大小;

(2)求 sin B sin C 的取值范围;

17.某中学甲、乙两班共有 25 名学生报名参加了一项测试。这 25 名学生的考分编成如图所 示的茎叶图,其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用 x 来表示) ,但他清楚 地记得两班学生成绩的中位数相同。 (1)求这两个班学生成绩的中位数及 x 的值; (2)如果将这些成绩分为“优秀” (得分在 175 分以上,包括 175 分)和“过关” ,若学校 再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出 3 名代表学校参加比赛,求这 3 人中甲班至多 有一人入选的概率。

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中, AC ? AA 1 ? 2 AB ? 2 , ? BAC ? 90 ,点 D 是侧
0

棱 CC 1 延长线上一点, EF 是平面 ABD 与平面 A1 B1C 1 的交线。 (1)求证: EF ? A1C ;
3 14 14

(2)当直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

时,求三棱锥 D ? EFC 1 的体积。

19.设数列 ?a

n

? 的前 n 项和为 S
n

n

,点 ( a n , S n ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N 。
*

(1)证明数列 ?a

? 为等比数列并求出通项公式 a
2

n


1 2

(2) 设直线 x ? a n 与函数 f ( x ) ? x 的图像交于点 A n , 与函数 g ( x ) ? log
B n ,记 b n ? OA n ? OB n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n 。

x 的图像交于点

20.已知椭圆 E :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 以抛物线 y ? 8 x 的焦点为顶点,且离心率为
2

1 2



(1)求椭圆 E 的方程。 (2) F 为椭圆 E 的左焦点, 若 直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于 A , B 两点, 与直线 x ? ? 4 相 交于点 Q ,点 P 是椭圆 E 上一点且满足 OP ? OA ? OB ,证明: OP ? FQ 为定值并求出该 值。

21.已知函数 f ( x ) ? x ?

1 x

, g ( x ) ? a ln x ,其中 x ? 0 , a ? R ,令函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x )

(1)若函数 h ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 单调递增,求 a 的取值范围。 (2)当 a 取(1)中最大值时,判断方程 h ( x ) ? h ( 2 ? x ) ? 0 在 ( 0 ,1) 上是否有解,并说明理 由。 (3)令函数 F ( x ) ?
1 x ? 2 ln x ,证明不等式: ? ( ? 1) f [1 ? ( ?
k k ?1 2n

1 2

) ] ? 1( n ? N ) 。
k *


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