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2015高二第一学期高中数学选修2-1测试题


2014-2015 高二第一学期试卷
一、选择题 1 命题: “若 x A.若 x C.若 x 2.抛物线 A.
2 2

? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(
B.若 ? 1 ? D.若 x ) C.



? 1 ,则 x ? 1,或 x ? ?1

x ? 1 ,则 x 2 ? 1

? 1,或 x ? ?1,则 x 2 ? 1

? 1,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

1 y ? ? x 2 的准线方程是( 8 1 x? B. y ? 2 32

y?

1 32


D.

y ? ?2

3.设命题甲为: 0 ?

x ? 5 ,命题乙为 x ? 2 ? 3 ,则甲是乙的(
B.必要不充分条件 C.充要条件

A.充分不必要条件 数的概率为( A. ) B.

D.既不充分又不必要条件

4.五张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,从这五张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上数字之和为奇

3 5

2 5

C.

3 4

D.

2 3

5 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若⊿AB F2 是正三角形,则 这个椭圆的离心率为( )

A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2
( D. 4 )

6.已知 a

? (t ? 1,1, t ), b ? (t ? 1, t,1) ,则 | a ? b | 的最小值为

A.

2

B.

3

C. 2

7.过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 那么

? x2 =6,

AB =(



A. 6

B. 8

C. 9

D. 10 )

8.若样本 a1, a2 , a3 的方差是 a ,则样本 3a1 A.3 a +1 B.9 a +1 C.9 a +3

? 1,3a2 ? 1,3a3 ? 1的方差为(
D.9 a (

9 阅读如下程序框图,如果输出 i

? 4 ,那么空白的判断框中应填人的条件是



A.S<8?

B.S<12?

C.S<14?

D.S<16?

10、动圆与定圆 A: (x+2)2+y2=1 外切,且和直线 x=1 相切,则动圆圆心的轨迹是( (A)直线 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

)

第 1 页 共 8 页

二填空题

11.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示的图形是双曲线,则 k 的取值范围为 2 ? k k ?1



C ( p,3, q ? 2) , 12. 已知空间三点的坐标为 A(1,5,?2) ,B(2,4,1) , 若 A、 B、 C 三点共线, 则
13.设直线 a , b 的方向向量是 e1 , e2 ,平面 ? 的法向量是 n ,则下列推理中

p?q ?



e1∥e2 ? ① ? ? b∥? e1∥n ?
中正确的命题序号是

e1∥n ? ② ? ? a∥b e2∥n ?


e1∥n ? ? ③ b ? ? ? ? b∥? e1⊥e2 ? ?



e1∥e2 ? ? ? b⊥? e1∥n ?

14.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9
x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,此双曲线方程 25 9



15.双曲线的离心率等于 2,且与椭圆 三解答题 16. 设: P: 指数函数



y ? a x 在 x∈R 内单调递减;Q:曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点。如果 p ? q

为真, ? q 也为真,求 a 的取值范围。

17. 如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2

P

2.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 P—CD—B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 PBD 的距离.

A

D

B

C

第 2 页 共 8 页

18 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

3 ,BC=1,PA=2,E 为

19.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样,回答问题统计结果如 图表所示.

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65)

回答正确的 人数 5

回答正确的人数占本 组的概率 0.5 0.9

a
27

x
0.36

b
3

y

(1)分别求出 a , b, x ,

y 的值;

(2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多少人? (3)在(2)的前提下,决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人 获得幸运奖的概率.

第 3 页 共 8 页

20.已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于

不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt ?ANB 面积的最大值.

21、如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶点, a2 b2

已知椭圆 C 上的点 (1, ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

3 2

第 4 页 共 8 页

新课改高二第一学期高中数学选修 2-1 测试题(二)答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 8 D

9.

?k | k ? 1或k ? 2?
9 2
13. x ? 2 y ? 8 ?

10.5

11.②③④ 14. 4.3m

12.

0

15.解:∵ 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0) , 25 9

则可设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) , a 2 b2
c ? 2 ,∴ a
a=2.

∵ c=4,又双曲线的离心率等于 2,即



b2 ? c2 ? a 2 =12.故所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 12

16.当 0<a<1 时,指数函数

y ? ax

在 R 内单调递减;

曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,即 a<

1 2

或 a>

5 2



由题意有 P 正确,且 Q 不正确,因此,a∈(0,1)∩[ [

1 5 ?1 ? , ] 即 a∈ ? ,1? 2 2 ?2 ?

第 5 页 共 8 页

17.方法一:证: (Ⅰ)在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2

2,

∴AB=2,

ABCD 为正方形,因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

解: (Ⅱ)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD,知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . (Ⅲ)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2

2

,设 C 到面 PBD 的距离为 d,

1 1 由 VP ? BCD ? VC ? PBD ,有 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 1 1 1 1 2 2 0 3 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ( 2 2 ) ? sin 60 ? d ,得 d ? 3 2 3 2 3
方法二:证: (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、D(0,2,0) 、P(0,0,2). 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2

z

P

A D y

2,
C

∴AB=2.∴B(2,0,0) 、C(2,2,0) , ∴

AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0)

x

∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 ,即 BD⊥AP,BD⊥AC,又 AP∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 即?

B

? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 ,
故平面 PCD 的法向量可取为 n1

?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 ,∴ ? ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0 ?y ? z

? (0,1,1)

∵PA⊥平面 ABCD,∴

AP ? (0,01) 为平面 ABCD 的法向量.
? n1 ? AP n1 ? AP ? 2 ,∴? = 450 . 2

设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos?

(Ⅲ)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) ,设平面 PBD 的法向量为 n2 则 n2

? ( x, y, z) ,

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 ,∴x=y=z, ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 ,即 ? ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0
第 6 页 共 8 页

故平面 PBD 的法向量可取为 n2

? (1,1,1) .
? n2 ? PC n2 ? 2 3 3

∵ PC ? (2,2,?2) ,∴C 到面 PBD 的距离为 d

18.解法 1: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、B( 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、 3 ,0,0)

P(0,0,2) 、E(0,

1 2

,1) ,

从而

AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2).
,则



AC与PB 的夹角为θ
AC ? PB | AC | ? | PB |

cos ? ?

?

3 2 7

?

3 7 , 14
.

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE⊥面 PAC 可得, 2
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

? 1 ? 3 ? z ? 1 ? 0, ?x ? ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? ∴? 6 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0 . ? ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ?z ? 1 ? 2 ?
3 3 . ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

即 N 点的坐标为 (

19.解: (Ⅰ)由题设知:2a = 4,即 a = 2 将点 (1,
2 1 (3) 3 ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 2 ? 1 ,解得 b2 = 3 2 2 b

∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1

,故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 4 3

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知

A(?2,0), B(0, 3) ,

第 7 页 共 8 页

? k PQ ? k AB ?

3 3 , ∴PQ 所在直线方程为 y ? ( x ? 1) , 2 2

? 3 y? ( x ? 1) ? 2 ? 2 由 得 8y ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1

? y2 ? ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , 2 8

? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

第 8 页 共 8 页


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