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2013届高考数学一轮复习讲义 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数


一轮复习讲义

任意角和弧度制及任意 角的三角函数

要点梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广

忆一忆知识要点

①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 . ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 . (2)终边相同的角 与角 α 相同终边的角的集合为{β|β=α+k· 36

0°(k∈Z)}. (3)弧度制

长度等于半径的圆弧所对的圆心角 叫做 1 ①1 弧度的角:
弧度的角.

要点梳理

忆一忆知识要点

②规定:正角的弧度数为 正数 ,负角的弧度数为负数 ,零角 的弧度数为 零 ,|α|= 圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 比值r与所取 的 r 的大小无关 ,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360° 2π 弧度;180° π 弧度. = = ⑤弧长公式: l=|α|r ,
1 1 2 lr 扇形面积公式:S 扇形= 2 = 2|α|r .
l r ,l 是以角 α 作为圆心角时所对

要点梳理
2.任意角的三角函数

忆一忆知识要点

(1)任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它 与原点的距离为 r (r>0),那么角 α 的正弦、余弦、正切分 别是:sin α=

y r

x ,cos α= r ,tan α=

y x ,它们都

是以角为自变量 ,以比值为 函数值 的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、 三正切、四余弦.

要点梳理
3.三角函数线

忆一忆知识要点

设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边 与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos α,sin α),即 P(cos α,sin α),其中 cos α= OM ,sin α= MP ,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A, 单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α= AT .我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的 余弦线 、 正弦线 、 正切线 .

要点梳理

忆一忆知识要点

(Ⅰ) 三角函 数线

(Ⅱ)

(Ⅲ) 线;有向线段 AT 为正切线

(Ⅳ)

有向线段 MP 为正弦线; 有向线段 OM 为余弦

[难点正本

疑点清源]

1.对角概念的理解要准确 (1)不少同学往往容易把 “小于 90° 的角”等同于“锐 角”,把“0° ~90° 的角”等同于“第一象限的角”.其实 锐 角 的 集 合 是 {α|0° <α<90° , 第 一 象 限 角 的 集 合 为 } {α|k· <α<k· +90° 360° 360° ,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终 边相同的角的同一三角函数值相等.

2.对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制) 的集合到一个比值的集合的函数,也可以看成是以实数为 自变量的函数,定义域为使比值有意义的角的范围. y 如 tan α=x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x, y)的横 坐标不等于零,也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合,故正 ? ? π ? ? ?α|α≠kπ+ ,k∈Z?. 切函数的定义域为 2 ? ? ? ?

3.三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下 为负. (2)余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时,点 T 与点 A 重合,此时正 切线变成了一个点,当角 α 的终边在 y 轴上时,点 T 不 存在,即正切线不存在. (4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还 可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表 示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的 地方.

求与已知角终边相同的角
例 1 已知角 α=45° , (1)在区间[-720° ,0° ]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β; ? ? k ? ? +45° ,k∈Z?, (2)设集合 M=?x|x=2×180° ? ? ? ? ? ? k ? ? ?x|x= ×180° +45° ,k∈Z?, N= 那么两集合的关系是什么? 4 ? ? ? ?

从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 α 有 相同终边的角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整 数 k,代入求出所求解.



(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为:

β=45° +k×360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k×360° ≤0° , 得-765° ≤k×360° ≤-45° , 765 45 解得- ≤k≤- ,从而 k=-2 或 k=-1, 360 360 代入得 β=-675° β=-315° 或 .

(2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个 象限的平分线上的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四 个象限平分线上的角的集合,从而:M ? N.

探究提高
第(1)小题与 α 角终边相同的角(连同角 α 在内),可以表示为 β =k· +α,k∈Z.第(2)小题也可对整数 k 的奇、偶数情况展 360° 开讨论.

变式训练 1
(1)如果 α 是第三象限的角,那么-α,2α 的终边落在何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (3)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的 7 3 终边相同的角.
(1)由 α 是第三象限的角得 3π π+2kπ<α< +2kπ (k∈Z) 2 3π ?- -2kπ<-α<-π-2kπ (k∈Z), 2 π 即 +2kπ<-α<π+2kπ (k∈Z). 2 解 ∴角-α 的终边在第二象限;

3π 由 π+2kπ<α< +2kπ (k∈Z), 2 得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. π (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3

∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 π {α|α= +kπ,k∈Z}. 3 6π θ 2π 2kπ (3)∵θ= +2kπ (k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π?- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2, 即在[0,2π)内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21

三角函数的定义
3 例 2 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 6 1 求 sin α+ 的值. tan α

1 先根据任意角的三角函数的定义求 x,再求 sin α+ 的值. tan α
解 ∵P(x,- 2) (x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.
3 x 3 又 cos α= x,∴cos α= 2 = x. 6 x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3.

当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, - 2 6 1 10 有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α - 2 2 3 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ; tan α 6 6
6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ = . tan α 6

探究提高
任意角的三角函数值与终边所在的位置有关, 与点在终边上的位 置无关,故要首先判定 P 点所在的象限,确定 r,最后根据定义 求解.

变式训练 2
已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.
解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,

∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|,
当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sin α=r = =- ,cos α= r = = , 5t 5 5t 5 y -3t 3 tan α=x= =- ; 4t 4

当 t<0 时,r=-5t, y -3t 3 sin α=r= = , -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α= r = =- ,tan α=x= =- . 5 4t 4 -5t
3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- 5 5 4 3 4 3 或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4

三角函数值的符号及判定
例3 (1)如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角

θ 所在的象限. sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号是什么? cos?sin 2θ?

(1)由点 P 所在的象限,可知 sin θ、cos θ 的符号,进而判断 θ 所在的象限. (2)由 θ 可判断 cos θ,sin 2θ 的范围,把 cos θ,sin 2θ 看作一个 角,再判断 sin(cos θ),cos(sin 2θ)的符号.

(1)因为点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, ?sin θ>0 ? 所以 sin θcos θ<0,2cos θ<0,即? , ?cos θ<0 ? 解 所以 θ 为第二象限角. π (2)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), 2
∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin 2θ<0, ∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. sin?cos θ? sin?cos θ? ∴ <0.∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ?

探究提高
(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键. (2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时,注意终 边相同的角.

变式训练 3
已知 sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点 P(tan θ,cos θ)在第几 象限?

解 方法一 由 sin 2θ<0, 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z), 得 π kπ+ <θ<kπ+π (k∈Z). 2
当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限;

当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限.

又因 cos θ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的终边在第二象限. 所以 tan θ<0,cos θ<0,点 P 在第三象限.

方法二

由|cos θ|=-cos θ 知 cos θ≤0,

① ②

又 sin 2θ<0,即 2sin θcos θ<0
?sin θ>0 ? 由①②可推出? ?cos θ<0 ?

因此 θ 在第二象限,P(tan θ,cos θ)在第三象限.

扇形的弧长、面积公式的 应用
例 4 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形 的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时, 该扇形有最大面积?

(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到;(2)建立 关于 α 的函数.

设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π 10π (1)α=60° ,R=10,l= ×10= = (cm), 3 3 3 1 10π 1 π 2 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×10 ×sin 2 3 2 3 ?π 50 50 3 3? ? = π- =50? - ? (cm2). 3 2 2? ?3 ? C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 2 1 ? C ?2 ? ? ∴S 扇= α· = α· R 2 2 ?2+α? ? ? C2 1 C2 1 C2 = α· = · ≤ . 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+α
C2 当且仅当 α =4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16
2



探究提高
(1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、 简捷. (2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式 或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 1 1 2 (3)记住下列公式:①l=αR;②S= lR;③S= αR .其中 R 是扇 2 2 形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.

变式训练 4
若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形 的周长取到最小值?
设扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l, 1 根据已知条件 lR=S 扇, 2 2S扇 2S扇 则扇形的周长为: l+2R= R +2R≥4 S扇, 当且仅当 R =2R, l 即 R= S扇时等号成立,此时 l=2 S扇,α=R=2, 解
因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

思想与方法
数形结合具体体现三角函数线的应用
(14 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

审题视角
(1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数 线求解. (2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定. ②sin , 2 2 θ θ cos ,tan 不能求出确定值,但可以画出三角函数线.③借 2 2 助三角函数线比较大小.

规范解答 3 解 (1)∵3-4sin x>0,∴sin x< , 4 3 3 ∴- <sin x< . [2 分] 2 2
2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示), ? π π? ∴x∈?kπ-3,kπ+3 ?(k∈Z). ? ? (2)∵θ 是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角. 2

[6 分]

[8 分]

(如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ ①当 是第一象限角时, 2 θ θ θ sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; [10 分] 2 2 2 θ ②当 是第三象限角时, 2 θ θ θ sin =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 得 sin <cos <tan .[12 分] 2 2 2 θ θ θ θ 综上所得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan . [14 分] 2 2 2 2

批阅笔记

1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函 数图象,也可以用三角函数线,用三角函数线更方便.2.第(2)小 题比较大小,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直 θ 观的表示.3.本题易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到应 2 用三角函数线.原因在于概念理解不透,方法不够灵活.

方法与技巧
1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可 能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口 诀:sin α 上正下负;cos α 右正左负;tan α 奇正偶负. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个 小技巧.

失误与防范
1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是 概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区 间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同一个式 =π 子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示.

1. 角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角: ? ? k ? 360? ? ?(k ? Z) (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角.

2. 角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系: 180? ? ?(弧度),1弧度 ? ( 180 )? ? 57?18? ? (3)弧长公式: l ?| ? | ?r S ? 1 lr ? 1 | ? | r 2? n ?r 2 扇形面积公式: 2 2 360

3.几类特殊角的表示方法 (1)与 ? 角终边相同的角的集合: {? | ?=k· 360?+? , k∈Z}, 或 {? | ?=2k?+? , k∈Z}.

(2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: k?360? ?<k?360? , k?Z; < +90?
第二象限角: k?360? <?<k?360? +90? +180? k?Z; ,

第三象限角: k?360? +180? ?<k?360? < +270? k?Z; ,
第四象限角: 2k ? ? 3? ? ? ? 2k ? ? 2?( k ? Z); 2

2k ? ? ? ? ? ? 2k ?( k ? Z). 2

②轴线角
x 轴的正半轴: ? =2k? (k?Z); x 轴的负半轴: ? =2k? +? (k?Z);
? ? 2k ? ? ? (k ? Z); y 轴的正半轴: 2 ? ? 2k? ? 3? (k ? Z); y 轴的负半轴: 2 ? ? 2k ? ? ? ( k ? Z); 2 x 轴: ?=k? (k?Z); ? ? k? ? ? (k ? Z); y 轴: 2 坐标轴: ? ? k ? ( k ? Z). 2

3.任意角的三角函数

y

? 三角函数定义1 y sin ? ? ,cos ? ? x ,
r y tan ? ? x r

?
o
y
?
O
P(x, y)

r

. P(x, y)

x

? 三角函数定义2
sin ? ? y,??cos ? ? x , y tan ? ? . x

x

4.三角函数的符号 y
sin?
tan?

+

o

cos?

x

正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限.

5.三角函数线
有 向 线 段 MP, OM, AT 分别叫做角? 的正弦线、余弦线、正 切线.

y

y

P
Mo y M

P T
Ax o
MA

x

T T

y

o

A x

o

M

Ax
P T

P

6. 同角三角函数的基本关系式:
①平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? tan ? ②商式关系: cos ?
2 2

③倒数关系: tan ? cot ? ? 1

题型一

弧度制的有关计算

例1.已知扇形的周长为定值c(c>0) ,当它的圆心角α为多 少弧度时面积最大? 解:方法一 扇形的周长 ?R ? c ?

??2

1 ?c ? ≤c ? ? ? ? 4 ? 4 ??

2

2

?

?? 4, ?

方法二 扇形的周长

?R ?

c ? ??2

c2 ? 4??2 S ?(? ) ? , 2 2 ? (? ? 4? ? 4)

令 S ?(? ) ? 0, 则? ? 2. (0, 2) ,(2, ??)? ? 2 S (? )max ? S (2) ? c . 16

方法三

扇形的周长 c ? 2 R ? l ? 2 R ? R? ,

?? ? c ? 2 ? R

1 ? R2 ? 1 ( c ? 2)R2? ? R2 ? c R S? ? R ? 2 2 ? ? ( R ? c )2 ? c . 4 16 2 ? S (? )max ? c . 16 此时R ? c , ?? ? c ? 2 ? 2 ? R 4

【1】已知扇形周长为20cm, 则扇形的半径和中心 角各取何值时,才能使扇形面积最大? 解:设扇形中心角为α,弧长为l,半径为 r,

由题意,得 l ? 20 ? 2r?(0 ? r ? 10). l 1 (20 ? 2r )r 扇形面积 S ? α 2 2 O r B ? ?(r ? 5) ? 25. 所以当 r=5 时, S 取最大值 Smax ? 25, l ? 10, 中心角 ? ? 10 ? 2. 此时弧长 5 所以当扇形的半径是5cm,中心角为2时, 扇 形面积最大.

A

【2】扇形面积为4cm2 ,则它的中心角为 何值时,扇形周长C最小? 解: 方法一 设扇形的半径为r,弧长为l,中心 A 角为α(α>0), 1 ? r 2 得, ? ? 2 S ? 8 , l 由S? 2 2 r r 2 α l ? ? r?? ? ? r ? ? . O r B ? r r 扇形周长C ? 2r ? l ? 2r ? ? ≥ 2 2r ? ? = 8. r r 当且仅当 2r ? 8 , 即r = 2 时,周长C有最小值. r Cmin ? 8. 此时 ? ? 4 ? 2. 2

【2】扇形面积为4cm2 ,则它的中心角为 何值时,扇形周长C最小? 方法二 设扇形的半径为r,弧长为l,中心角为 α(α>0), A 1 ? r 2 得, ? ? 2 S ? 8 , 由S? l 2 2 r r 2 α l ? ? r?? ? ? r ? ? . ? r O r r B 扇形周长C ? 2r ? l ? 2r ? ? r 2 整理, 得 2r ? Cr ? 8 ? 0, 因为此方程有根, 所以判别式 ? ? C 2 ? 64 ≥ 0, C ≥ 8,(舍去C ≤ ?8). ? Cmin ? 8. 此时 ? ? 4 ? 2. 2

【3】已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则 扇形 的圆心角的弧度数是 1或4 . 设此扇形的半径为r,弧长为l,
? 2r ? l ? 6, ? 则 ?1 ? 2 rl ? 2, ?
? r ? 1, ? r ? 2, 解得 ? 或? ? l ? 4 ? l ? 2.

因而? ? l ? 4 ? 4或? ? l ? 2 ? 1. r 1 r 2

例2.已知角? 是第二象限角, 求2? , ? , ? 各是第几象限? 2 3

题型二

象限角

解:因为角α 是第二象限角,则
90? ? k ? 360? ? ? ? 180? ? k ? 360?, k ? Z
180? ? 2k ? 360? ? 2? ? 360? ? 2k ? 360?, k ? Z

45? ? k ? 180? ? ? ? 90? ? k ? 180?, k ? Z 2 30? ? k ? 120? ? ? ? 60? ? k ? 120?, k ? Z 3

π 【1】若β的终边与 角的终边相同,那么 3 ? 在[0, 2π)范围内,终边与角 的终边相同的 π , 7π , 13π } 3 { 角的集合为__________________. 9 9 9
π , k ? Z, ? ? ? 2kπ ? π , k ? Z, ? ? 2kπ ? 3 3 3 9 π; 当k=0时,得角为 9

当k=1时,得角为 7π ; 9 当k=2时,得角为 13π . 9

题型三 三角函数线及其应用 例3.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范 围,并由此写出角α的集合:
3 ; (2)cos ? ≤ ? 1 . (1)sin ? ≥ 2 2

解 : (1){? | 2k ? ? ? ≤ ? ≤ 2k ? ? 2 ? , k ? Z} 3 3

(2){? | 2k ? ? 2 ? ≤ ? ≤ 2k ? ? 4 ?, k ? Z} 3 3

【1】适合|cosx|>|sinx|的 x 的集合为
{ x | kπ ? π ? x ? kπ ? π , k ? Z} 4 4 > 【2】lg(cos6-sin6) _____0.(填 “>”, “<”)

【3】已知 ? 是第二象限角, < 则 sin(cos?) cos(sin?) _____0.(填 “>”, “<”)

sin (cos ?) 【4】若θ是第二象限角,则 _____ 0. < cos(sin 2?)

? 2k ? ? ? ? ? ? 2k ? ? ?(k ? Z), 2 ? 4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2?,

??1 ? cos ? ? 0, ?1 ≤ sin 2? ? 0,

? sin(cos ?) ? 0,cos(sin 2?) ? 0. sin(cos ?) ? ? 0. cos(sin 2 ?)

sin 例4.求证:当α为锐角时, ? ? ? ? tan ? . 证明:如图,设角α的 y 终边交单位圆于P,过 点P作PM垂直Ox,垂 T P 足 为 M. 过 点 A(1,0) 作单位圆的切线,交 o M A x OP于点T,则 MP ? MP ? sin? ,
AT ? AT ? tan ? ,
连接PA,因为

S 三角形OAP ? S扇形OAP ? S 三角形OAT .
1 1 1 2 ? | OA || MP |? ? | OA | ? | OA || OT | 2 2 2

即 sin? ? ? ? tan ?,
亦即 MP ? ? ? AT .

y P T

? sin ? ? ? ? tan ? .

o

M A

x

解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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