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扬州中学2013届高三下学期期中考试数学试题


第Ⅰ卷 一、填空题:
1.【题文】设集合 U ? {1,2,3,4,5,6} , M ? {1,2,4} ,则 CU M ? .

【结束】 2.【题文】记 (1 ? 2i) 2 ? a ? bi(a, b ? R) ,则点 P (a, b) 位于第 象限.

【结束】 3.【题文】有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频

数如下: 分组 频数 [1.5,3.5) 6 [3.5,5.5) 14 [5.5,7.5) 16 [7.5,9.5) 20 [9.5,11.5) 10 .

根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是

【结束】 4.【题文】已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3,1) ,则 2a ? b 的最大值为
1

?

?

? ?



【结束】 5.【题文】设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序 号 是 ①.若 ③. 若 .

m // n , m ? ? , 则
m // ? , m // ? , 则

n??;

②.若 m // n ,m // ? , 则 ④.若

n // ? ;

? // ? ;

n??, n ?? , 则

? ??.

【结束】 6.【题文】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛 a 2 b2


物线 y 2 ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的方程为

2

【结束】 7. 【题文】 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 1, a3 ? 4 , Sk ? 63 , 则 k ? ___.

【结束】

? x ? y ? ?1 ? ? 8.【题文】若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是___ ? ? ?3x ? y ? 3
___.

3

【结束】 9.【题文】阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 .

4

考点:本题主要考查程序框图的功能识别。 【结束】 10.【题文】已知 sin ? ?

1 ? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 2 2

cos2? sin(? ? ) 4

?

的值为____ ____.

【结束】

?? x2 ? ax, x ? 1, 11.【题文】已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 x ? 1, ?ax ? 1,
立,则实数 a 的取值范围是 .

5

【结束】 12.【题文】四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上,且底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形, PA ? ABCD , PA ?

2 ,则该球的体积为



【结束】 13.【题文】在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 , P 为线 段 AB 上的点,且 CP ? x ?

CA | CA |

? y?

CB | CB |

,则 xy 的最大值为



以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 P 点坐标为(x,y) ,点 P
6



线



AB







【结束】 14.【题文】我们把形如 y ?

b ?a ? 0, b ? 0? 的函数称为“莫言函数” ,并把其与 y 轴的 x ?a

交点关于原点的对称点称为“莫言点” ,以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公 共点的圆,皆称之为“莫言圆” .当 a ? 1 , b ? 1 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小 值 .

【结束】

第Ⅱ卷
二、解答题
2 15. 【题文】 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A


7

图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形.

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

8

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

【结束】 16.【题文】直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1 ? 分别为 A1C1 、 B1C1 的中点.

1 BC ? a ,?ABC ? 90? , N 、 F 2

(Ⅰ)求证: CF ? 平面 NFB ; (Ⅱ)求四面体 F ? BCN 的体积.

9

∴AB∥A1B1∥NF.

【结束】 17.【题文】提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的 车流 速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过 50 辆/ 千米时,车流速度为 30 千米/小时.研究表明:当 50<x≤200 时,车流速度 v 与车流密度 x 满足 v ( x ) ? 40 ?

k .当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流 250 ? x

速度为 0 千米/小时. (Ⅰ)当 0<x≤200 时,求函数 v(x)的表达式;
10

(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大, 并求出最大值. (精确到个位, 参考数据 5 ? 2.236)

再由已知可知,当 x=200 时,v(0)=0,代入解得 k=2000.

【结束】

11

18.【题文】已知椭圆 C1 : 线

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (2, 3 ) ,且它的离心率 e ? .直 2 2 a b

l : y ? kx ? t 与椭圆 C1 交于 M 、 N 两点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)当 k ?

3 时,求证: M 、 N 两点的横坐标的平方和为定值; 2

(Ⅲ)若直线 l 与圆 C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 相切,椭圆上一点 P 满足 OM ? ON ? ? OP ,求 实数 ? 的取值范围.

得到参数的表达式,应用二次函数性质使问题得解。

12

13

【结束】 19. 【题文】设各项均为正实数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 4S n ? (an ? 1) 2 (n? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设数列

{bn } 的通项公式为

bn ?

an * b an ? t ( t ? N * ) ,若 b1 , b2 , m ( m ? 3, m ? N )

成等差数列,求 t 和 m 的值; (Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为数列 {an } 中 的三项 a n1 , a n2 , a n3 .

14

15

2k1 ? 5 2k1 ? 3 (2k1 ? 3)(2k1 ? 5) (2k1 ? 3) 2 , 整理得 , 所以 k1 ? k 2 , 这与 k1 ? k 2 ? ? 2 2k 2 ? 5) 2k 2 ? 3 (2k 2 ? 3)(2k 2 ? 5) (2k 2 ? 3)
矛 盾 , 因 此 ,

【结束】 20.【题文】[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥BC,点 E , F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF 相交于点

G ,若 B , C , F , E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE .

【结束】 21.【题文】[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ? ?

?1 ?c

b? ? 2? 有 特 征 值 ?1 ? 4 及 对 应 的 一 个 特 征 向 量 e1 ? ? ? , 求 曲 线 ? 2? ?3 ?

16

5 x 2 ? 8 xy ? 4 y 2 ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程.

【结束】 22.【题文】[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 若以直角坐标系 xOy ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2

的 O 点为极点, Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? 2cos(? ? ) .直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .
4

17

【结束】 23.【题文】[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 f ( x) ? x ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ?1) .
2

【答案】 . ? x ? a ?1 ? ( x ? a) ? 2 a ?1? x ? a ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 2(a ? 1)

【结束】 24.【题文】在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题, 已知甲回答对这道题的概率是 的概率是

3 1 ,甲、丙二人都回答错的概率是 ,乙、丙二人都回答对 4 12

1 . 4

(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

18

【结束】 25.【题文】 已 知 数 集 A ? {a1 , a2 ,? ? ?, an } , 其 中 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , 且 n ? 3 , 若 对 ?i, j

19

(1 ? i ? j ? n ) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P . (Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P ,判断数列 a1 , a2 ,?, a8 是否为等差数列, 若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由.

所以该数集具有性质 P .

4分

20

21


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