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第8节 抛物线


1.(文)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程及 简单几何性质. (理)理解抛物线的定义、几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质.

2.理解数形结合的思想,了解抛物线的简单应 用.

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 相等 的点的轨 迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物 线的

准线 ,定点F不在定直线l上.

[思考探究] 当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是什么图形? 提示:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是过点F且 与直线l垂直的直线.

2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)





2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 性 质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x轴

x轴 F( ,0) F(-
x=

焦点坐标
准线方程

,0)

x=-

标准方程 焦半径 公式

y2=2px(p>0) |PF|= x0+

y2=-2px(p>0) |PF|= -x0+


质 范围

x≥ 0

x≤ 0

标准方程 顶点

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

原点(0,0) 坐标 性质 离心 率e e=1

标准 y2=-2py(p>0) 方程 y2=2py(p>0)





标准方程 对称轴 性 质

y2=-2py(p>0) y轴

y2=2py(p>0) y轴

焦点坐标
准线方程

F(0 , -
y=

)

F(0 , )
y=-

标准方程 焦半径 公式 性 质 范围

y2=-2py(p>0)

y2=2py(p>0)

|PF|= -y0+

|PF|= y0+

y ≤0

y≥0

标准方程 顶点

y2=-2py(p>0)

y2=2py(p>0)

原点(0,0)

坐标
性质

离心
率e

e=1

1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上点 P(-3,m)到焦点F的距离为5,则抛物线方程为 ( A.y2=8x B.y2=-8x )

C.y2=4x

D.y2=-4x

解析:设抛物线方程为y2=2px(p<0), 由抛物线定义知,|- +3|=5,解得p=-4,

∴抛物线方程为y2=-8x. 答案:B

2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为

(

)

A.
C. 8

B.-
D.-8 y, .

解析:方程y=ax2化为x2= ∴准线方程为- 答案:B

=2,∴a=-

3.(2009· 湖南高考)抛物线y2=-8x的焦点坐标是 ( A.(2,0) C.(4,0) B.(-2,0) D.(-4,0) =2,

)

解析:由抛物线方程y2=-8x得2p=8,∴ 从而抛物线的焦点为(-2,0). 答案:B

4.(2010· 泰州模拟)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x

的焦点,则实数a=________.
解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点F(1,0)在直线ax-y +1=0上,∴a+1=0,a=-1.

答案:-1

5.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l,交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|AB|等于________. 解析:|AB|=y1+y2+p=6+2=8. 答案:8

1.抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的
距离等于到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦半径、 焦点弦问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点 到准线之间的距离,这样就可以使问题简单化. 2.焦半径|PF|=|x|+ 或|PF|=|y|+ ,它们在解

题中有重要作用,注意灵活运用.

(1)在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+

|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及此时
的最小值. (2)已知抛物线y2=2x和定点A(3, ),抛物线上有动点

P,P到定点A的距离为d1,P到抛物线准线的距离为d2, 求d1+d2的最小值及此时P点的坐标.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)如图(1),点A在抛物线y2=4x的内部,由

抛物线的定义可知,
|MA|+|MF|=|MA|+|MH|, 其中|MH|为M到抛物线的准线的距离. 过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则 |MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4,

当且仅当点M在M1的位置时等号成立.
此时M1点的坐标为(1,2).

(2)如图(2),点A(3, )在抛物线y2=2x的外部,由抛物线

的定义可知,d1+d2=|PA|+|PF|≥|AF|=
物线的焦点).此时P点的坐标为(2,2).

(其中F为抛

由例1,(1)条件中,求点P到点A(-1,1)的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值. 解:如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x= -1,由抛物线的定义知: 点P到直线x=-1的距离

等于点P到焦点F的距离.

于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A (-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小. 显然,连AF交曲线于P点时有最小值为 ,即 .

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知

条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.
2.对于和抛物线有两个交点的直线问题,“点差法”是常 用方法.如若A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px上两 点,则直线AB的斜率kAB与y1+y2可得如下等式:由 2px1①; =2px2②.②-①得 =2p(x2-x1), =





, ∴kAB=

.

[特别警示] 抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦

点到准线的距离,焦点的非零坐标是一次项系数的

.

(1)(2010· 合肥二检)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦

点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的
中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是 A.y2=12x C.y2=6x B.y2=8x D.y2=4x ( )

(2)(2008· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A、 B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的 面积等于________.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)如图,分别过点A、

B作抛物线准线的垂线,垂足分别
为M、N,由抛物线的定义知,|A M|+|BN|=|AF|+|BF|=|AB|=8, 又四边形AMNB为直角梯形,故AB中点到准线的距离即为梯 形的中位线的长度4,而抛物线的准线方程为x=- ,

所以4=2+

?p=4,故抛物线的方程为y2=8x.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
?(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2) ? =1.

∴线段AB所在直线方程为y-2=x-2,即y=x. ?x2-4x=0?x=0,x=4. ∴A(0,0),B(4,4).

∴|AB|=

=4

. .

F(1,0),F到线段AB的距离d= ∴S△ABF= |AB|d=2.

[答案] (1)B

(2)2

1.直线与抛物线的位置关系

设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线Ax+By+C=0,将
直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程 my2+ny+q=0, (1)若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个公共点; 当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;

当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.

(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与

抛物线的对称轴平行.
2.焦点弦问题 已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物 线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)y1· y2=-p2,x1· x2= (2)|AB|=x1+x2+p= (3)S△AOB= ; ; (θ为直线AB的倾斜角);

(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

过抛物线y2=2px的焦点F的

直线和抛物线相交于A,B两点,如
图所示. (1)若A,B的纵坐标分别为y1,y2, 求证:y1y2=-p2; (2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C.

求证:BC∥x轴.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)法一:由抛物线的方程可得焦点的坐标为 F .设过焦点F的直线交抛物线于A,B两点的坐标

分别为(x1,y1)、(x2,y2).
①当斜率存在时,过焦点的直线方程可设为 y=k 由 ,

消去x,得ky2-2py-kp2=0.

(*)

当k=0时,方程(*)只有一解,∴k≠0,
由根与系数的关系,得y1y2=-p2; ②当斜率不存在时,得两交点坐标为 ∴y1y2=-p2. 综合两种情况,总有y1y2=-p2. 法二:由抛物线方程可得焦点F 设直线AB的方程为x=ky+ , ,

并设A(x1,y1),B(x2,y2),

则A、B坐标满足

消去x,可得y2=2p
整理,得y2-2pky-p2=0, ∴y1y2=-p2.



(2)直线AC的方程为y=
∴点C坐标为

x,
,yc= .

∵点A(x1,y1)在抛物线上,



=2px1.又由(1)知,y1y2=-p2,
=y2,∴BC∥x轴.

∴yc=

抛物线在高考中一般以选择题或填空题的形式
考查学生对抛物线的定义、标准方程以及几何性质等 基础知识的掌握情况,而以解答题的形式出现时,常 常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身,与其 他圆锥曲线或其他章节的内容相结合,考查学生分析

解决综合问题的能力.

[考题印证] (2009· 浙江高考)(14分) 已知椭圆C1: =1(a>b >0)的右顶点为A(1,0),过C1的

焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程; (2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处 的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的 横坐标相等时,求h的最小值.

【解】
从而

(1)由题意,得
因此,所求的椭圆方程为 +x2=1.

┄┄(4分)
(2)如图,设M(x1,y1),N(x2, y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点 P处的切线斜率为y′|x=t=2t,直

线MN的方程为:y=2tx-t2+h.
┄┄(6分)

将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4

=0.
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①┄┄(8分) 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点, 所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.② 设线段MN的中点的横坐标是x3,

则x3=

.
.

设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4= 即t2+(1+h)t+1=0.

由题意,得x3=x4,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分) ③ 由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3. 当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,

则不等式②不成立,所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分) 当h=1时,代入方程③得t=-1, 将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立. 所以,h的最小值为1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)

[自主体验]
(2010· 宣武月考)已知F1、F2分别是椭圆 =1 的左、右焦点,曲线C是以坐标原点为顶点,以F2为焦 点的抛物线,自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的 交点,点P关于x轴的对称点记为M.设 .

(1)求曲线C的方程;
(2)证明: ; (3)若λ∈[2,3],求|PQ|的取值范围.

解:(1)椭圆

=1的右焦点F2的坐标为(1,0),

∴可设曲线C的方程为y2=2px(p>0),
∴p=2,曲线C的方程为y2=4x. (2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1). ∵ y1=λy2, ,∴x1+1=λ(x2+1), ① ②




=λ2
=4x1,

.
=4x2,∴x1=λ2x2. ③

③代入①得λ2x2+1=λx2+λ, ∴λx2(λ-1)=λ-1. ∵λ≠1,∴x2= ,x1=λ,∴ =(x1-1,-y1).

由②知,-y1=-λy2, ∴ 故 =-λ =-λ . =-λ(x2-1,y2)=-λ ,

(3)由(2)知x2=

,x1=λ,得x1x2=1,



=16x1x2=16.

∵y1y2>0,∴y1y2=4, 则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

= =

-2(x1x2+y1y2) -16. , ,得|PQ|∈ .

∵λ∈[2,3],∴λ+ ∴|PQ|2∈

1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
重合,则p的值为 A.-2 C.-4 B.2 D. 4

=1的右焦点
( )

解析:椭圆的右焦点是(2,0),∴ 答案:D

=2,p=4.

2.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2, 则P的轨迹方程为 A.y2=8x C.x2=8y B.y2=-8x D.x2=-8y ( )

解析:由题意知,点P到点F(0,2)的距离与它到直线y +2=0的距离相等,由抛物线定义知点P的轨迹是抛 物线,其方程为x2=8y. 答案:C

3.若双曲线 线上,则p的值为 A.2 C. 4

=1的左焦点在抛物线y2=2px的准 ( B.3 D.4 )

解析:双曲线的左焦点(- 抛物线的准线x=- ∴- , ?p2=16,

,0),

由题意知p>0,∴p=4. 答案:C

4.如果直线l过定点M(1,2),且与抛物线y=2x2有且仅有 一个公共点,那么直线l的方程为____________. 解析:点M在抛物线上,由题意知直线l与抛物线相切于 点M(1,2),∴y′|x=1=4,∴直线l的方程为y-2=4(x- 1),即4x-y-2=0.当l与抛物线相交时,l的方程为x=1.

答案:4x-y-2=0,x=1

5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为 K,点A在C上且|AK|= ________. |AF|,则△AFK的面积为

解析:∵抛物线y2=8x的焦点为
F(2,0),准线为x=-2, ∴K(-2,0).设A(x0,y0),过A点 向准线作垂线AB,如图, 则B(-2,y0), ∵|AK|= = |AF|= |AB| (x0+2),

由|BK|2=|AK|2-|AB|2得

=(x0+2)2,

即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=±4, ∴△AFK的面积为 答案:8 |KF||y0|=8.

6.已知直线y=x+m和抛物线y=2x2.

(1)当实数m为何值时,这两个函数的图象有两个交点?
一个交点?没有交点? (2)当m为何值时,直线被抛物线所截得的线段长度为 两个单位?

解:(1)联立 又Δ=1+8m, 当Δ>0即m>- 当Δ=0即m=-

消去y整理得2x2-x-m=0,

时,这两图象有两个交点; 时,这两图象有一个交点;

当Δ<0即m<-
(2)当m>-

时,这两图象没有交点.

时,由方程组解出交点坐标.

由两点间的距离公式,得

∴ m=

时满足题目要求.


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