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2.2等差数列1


在过去的三百 多年里,人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星:

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 )

你能预测出它在本 世纪回归的大致时 间吗?

通常情况下,从地面 到10公里的高空,气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律, 根据下表估计

一下珠 穆朗玛峰峰顶的温度

8844.43米

高度(km) 温度(℃)

1 28

2 21.5

3 15

4 8.5

5 2

减少6.5




9 -24

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.

你能根据规律在括号内 填上合适的数吗?

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 ) (2) (3) 1,4,7,10,( 13 ),16,… 2, 0, -2, -4, -6,( -8 )…

( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, ( -0.5 )

a a d n? n ? 1?
(n ? 2 )

它们的共同的规律是?
( 1 ) 1682,1758,1834,1910,1986,(2062)

d=76

d=3
( 2) 1,4,7,10,( 13 ),16,… ( 3) 2,0,-2,-4,-6,( -8 ),… ( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, ( -0.5 ).

d=-2 d=-6.5

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项 的差等 于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

探究
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 (1)指出定义中的关键词: 从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数

an?1 ? an ⑵由定义得等差数列的递推公式:

? d (d是常数)

说明:此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.

练习:判断下列数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理由。

(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) ? 3, ?2, ?1,1, 2,3. (4) ? 1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13, , 4n ? 1, .
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2.等差数列的单调性

an - an-1=d(d是常数,n≥2,n∈N*)
已知数列{an}是等差数列,d是公差,则: 当d=0时, {an}为常数列; 当d>0时, {an}为递增数列; 当d<0时, {an}为递减数列;

3.等差数列的通项公式
思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an .

方法一:根据等差数列的定义得到
a2=a +? d, 1 a ? a d 所以有: 2 1

a4 ? a3 ? d, a3 ? a2 ? d, a2 ? a1 ? d,

方法一: a =a a a1 ? d ? ( a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d 3 3? 2+2d, 不完全归纳法 a4=a ,? (a ? 2d ) ? d ? a ? 3d 1+3d a ? a ? d 4 3 1 1 … 由此得到an ? a1 ? (n ?1)d (n ? 2)
?等差数列的通项公式为an ? a1 ? (n ?1)d , n ? N *
当n ? 1时,上面等式两边均为a1,即等式也成立

方法二:
a2 ? a1 ? d, a3 ? a2 ? d, a4 ? a3 ? d,
an ? an?1 ? d

}

n ? 1个
方法二: 叠加法

将所有等式相加得

当n ? 1时,上面等式两边均为a1,即等式也成立

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ?1)d

(n ? 1, n ? N *)

等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d

,n? N *

【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n 任知 3个,可求其余1个.

an ? f ?n? ? dn ? ?a1 ? d ?
等差数列? 一次函数或常数函数
公差d (d ? 0)是一次函数的斜率

4.等差数列的函数特性

4、等差数列的图象
(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● ● ● ●



an ? 2n ? 4

1
0 1 ● ● 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8

(2)数列:7,4,1,-2,…


7
6 5

an ? -3n+10


4
3 2 1 0 1



2

3

4 ●

5

6

7

8

9

10

10 9 8

(3)数列:4,4,4,4,4,4,…

7
6 5

an ? 4
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

4
3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

例1 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项? 如果是,是第几项?
解: ⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5,d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得 n=100,即-401是这个数列的第100项.

例2

在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组,解之得:

解:由题意得:

a1= - 2
d=3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3. 小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立 二元一次方程组。

跟踪训练
在等差数列中, ⑴若a1 ? 2,d ? 3,n ? 10,则an ? 29 .

⑵若a1 ? 3,an ? 21 ,d ? 2,则n ? 10 .

⑶若a1 ? 12,a6 ? 27,则d ? 3 .
⑷若d ? ? 1 ,a7 ? 8,则a1 ? 10 . 3

结论
1、已知等差数列的首项与公差,可求得
其任何一项; 2、在等差数列的通项公式中,a1,d,n, an四个量中知三求一. 3、等差数列的通项是关于n的一次函数 或常数;

5.等差中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三 个数就会成为一个等差数列: (1)2 ,3 , 4 (2)-1, 2 ,5

-6 ,0 (3)-12,

( 4) 0, 0 , 0

若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项

5.等差中项
如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 由等差中项的定义可知, a, A, b 满足关系:

a?b b? A ? A? a ? A ? ? b ? 2 A ? a?( 或a ? 2 A ? b ) 2 意义:
任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时,A = a = b .

例3 (1)在等差数列{an}中,是否有

an ?1 ? an ?1 an ? (n ? 2)? 2
(2)在数列{an}中,如果对于任意的正整数n (n≥2),都有

an ?1 ? an ?1 an ? 2
那么数列{an}一定是等差数列吗?

小结
1、等差数列的定义 an?1 ? an ? d (d是常数).(an ? an?1 ? d (n ? 1, n ? N*)). 2、等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d.

an ? a1 4、d的计算方法 (1)d ? an ? an ?1 (2)d ? n ?1 5.判断等差数列的方法:
(1)定义法:an ? an?1 ? d (常数)(n ? 1) ? {an }为等差数列 (2)递推法(中项公式法):

a?b A ? 3、等差数列的中项 2

2an?1 ? an ? an? 2 (常数)(n ? 1) ? {an }为等差数列

作业

课本P40(A) 1、3、(B) 2


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