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浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学理试题(word版)


浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试理 数学(理科)试题
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大題共 1O 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題给出的四个选项中, 只有一項符合題目要求.
2 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x -1<0},B={y|y= x }则 A ? ( C U B ) =(▲)

A. (-1,0) B. (-1,O] C. (0,1) D. [0,1) 2“ m ?
A

5 ”是“直线 x-2y + m=O 与圆 x +y =1 相切”的(▲)

2

2

.充分不必要条件 B.必要不充分条件 充分必要条件
D

C.

.既不充分也不必要条件
0 0

3.在Δ ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c,若 A = 30 ,B=105 ,a=1. 则 c = ( ▲ ) 角 B, b, A- 1 B.
2

C.

3

D. 2

4. 若某几何体的二视图如图所示,则此几何体的体积是( ▲) A- 2 B.
3 2

C. 3

D.

5 2

5. 下列命题正确的是( ▲) A. 若平面 a 不平行于平面β .则β 内不存在直线平行于平面 a B. 若平面 a 不垂直于平面β .则多内不存在直线垂直于平面 a C. 若直线 l 不平行于平面 a 则 a 内不存在直线平行于直线 l D. 若直线 l 不垂于平面 a.则 a 内不存在直线垂直于直线 l 6. 已知 2a=3b=6c 则有(▲) A
a ?b c ? ( 2 ,3 ) ? ( 4 ,5 )

B

a ?b c

? (3,4 ) ? (5 ,6 )

C

a ?b c

D

a ?b c

7. 已知三个不全相等的实数 a,b,c 成等比数列.则可能成等差数列的是( ▲) A. a , b , c B. a2, b2 ,c2

第1页

C. a3,

b3 ,c3 D.

a,

b,

c

8. 以下函数中满足 f(x+1)>f(x)+1 的是( ▲ ) A. f(x) = lnx B. f(x)=e
x

C.f(x) = e -x

x

D. f(x) =e +x

x

?x ? 2 y ? 2 ? 9. 若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 , 则 3|x-1|+y 的最大值是(▲ ) ? x ? y ? ?1 ?

A. 2

B. 3

C. 4

D

.

5

10.抛物线 y 2 =2px( p> 0)的准线交 x 轴了点 C ,焦点为 F . A.B 是抛物线的两点.己知 A. B, C 三 点 共 线 , 且 | AF| , | BF | 成 等 差 数 列 , 直 线 AB 的 斜 率 为 k, 则 有 ( ▲ )
1 4
3 4

A

k

2

?

B k2 ?

C k

2

?

1 2

D k2 ?

3 2

非选择题部分(共 100 分)

二、填空题:本大題共 7 小題,每小題 4 分,共 28 分. 11. i 是虚数单位,a,b∈R,若
a ? bi a ?i ? i 则 a+b=▲ .

12.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为▲ . 13. 设 x6= a0 +a1(1 + x) + a2(1 +x)2+?+a6(1 + x)6.则 a1 + a2 +…+ a6 = ▲ .

14. 己知正 Δ ABC 的边长为 1, AD ? DB , AE ? 2 EC .则
BE .CD =▲

第2页

15. 有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将礼物集中在一个袋子中, 每人从 中随机抽取一件礼物.设恰好抽到自 己 准备的礼物的人数为 ? ,则 ? 的数学期望 E ? = _ __ __.
y b
2 2

16. 己知 F1,F2 分别是双曲线 x 2 ?

? 1 的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内

的点,若 |AF2|=2 且 ? F1AF2=450.廷长 AF2 交双曲线右支于点 B,则 Δ F1AB 及的面积 等于___▲
? ? ?a 17. 设函数f(x)= ? ? ?a ? 1 ?1 1 ? 2 ( x ? 1 ), ( x ? a )

若存在l1,l2 使得 f ( t 1 ) ?
( x ? 2 ), ( x ? a )

1 2

, f (t 2 ) ?

3 2

, t1-t2 则

的取值范围是 ▲. 三、解答题:本大題共 5 小題,共 72 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. ( 本题 满分 14 分)

已知 a =(2cosx,sinx), b =(0, ( I )求 f (
?
6 ) 的值

3 cos x ),f(x)=| a + b |

( II )当 x ? ( 0 ,

?
3

) 时,求 f(x )的值域.

19. (本题满分 14 分) 己知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2.当 n ≥ 2 时. S n - 1 +l , an . S n + 1 成筇等差数列. ( I)求证:{ Sn+1}是等比数列:

第3页

(II)求数列{nan}的前 n 项 和.

20.(本题满分 14 分)已知矩形 ABCD 中,AB= 2, AD = 5. E,F 分别在 AD,BC 上. 且 AE=1, BF = 3,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A ? EF B ? ,使点 B ? 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.

(I)求证: A ? D //平面 B ?FC (II)求二面角 A ? -DE-F 的大小

.

21.(本题满分 15 分)如图.直线 l:y=kx+1 与椭圆 C1:

x

2

?

y

2

? 1 交于 A,C 两点,A.

C

16

4

2 2 在 X 轴两侧,B ,D 是圆 C2: X + Y = 16 上的两点. 且 A 与 B. C 与 D 的横坐标相同.纵 坐标同号.

(I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算|AB|-|CD|的取值范围; (II)试问直线 BD 是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.

第4页

22. (本題满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln x x

.

(I)若关于 X 的不等式 F ( X )≤ M 恒成立,求实数 M 的最小值:

(II) 对 任 意 的 x1,x2 ∈ (0,2) 且 x1<x2, 己 知 存 在 .
f ?( x 0 ) ? f (x2 ) ? f (x1) x 2 ? x1

x 0 ? ( x1 , x 2 )

使 得

求证: x 0 ?

x1 x 2

2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案 一项符合题目要求. 题号 1 2 答案 A A

2013.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.2 12.8 13.-1 14.?
1 2

15.1

16.4

17.( ? ? , ?

1 2

)U(

1 2

, ?? )

三、解答题: 18.解: (I) f ( x ) ?
( 2 c o s x ) ? (s in x ?
2

3 cos x)

2

?????????2 分

第5页

?

7 c o s x ? s in x ? 2
2 2

3 s in x c o s x

?

1 ? 3 (1 ? c o s 2 x ) ?

3 s in 2 x ??????????????4 分

?

4? 2

3 s in ( 2 x ?

?
3

) ??????????????6 分

∴f(

?
6

) ?

7

?????????????????????7 分 ∴2x ?
?
3 ?(

(II)∵ x ? ( 0 , ∴ s in ( 2 x ?

?
3

)

?
3

, ? ) ?????????????9 分

?
3

) ? ( 0 ,1] ,

∴2 ? f (x) ?

4? 2

3

∴ f ( x ) ? ( 2 , 3 ? 1] ????????????????????14 分 19. (I)证明:∵ S n ? 1 ? 1 , a n , S n ? 1 成等差数列 ∴ 2 a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ( n ? 2 ) ????????????????2 分 ∴ 2 ( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 ? 2 即 S n ? 3 S n ? 1 ? 2 ???????4 分

∴ S n ? 1 ? 3 ( S n ? 1 ? 1) ( n ? 2 ) ??????6 分 ∴ { S n ? 1} 是首项为 S 1 ? 1 ? 3 ,公比为 3 的等比数列??????7 分
n (II)解:由(I)可知 S n ? 1 ? 3

n ∴ S n ? 3 ? 1 ???????????9 分

n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ? 3

又∵ a 1 ? 2
n ?1 * ∴ a n ? 2 ? 3 ( n ? N ) ??????????????????11 分
n?2 n ?1 2 ? 2n ?3 ∴ T n ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2 ( n ? 1) ? 3

(1)
n

3T n ?

2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2 ( n ? 1) ? 3
2 3

n ?1

? 2n ?3

(2)

(1)-(2)得:

? 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? L ? 2 ? 3
2

n ?1

? 2n ?3 ?
n

2 (1 ? 3 )
n

1? 3

? 2n ?3 ? 3 ? 1 ? 2n ?3 n n n

第6页

∴Tn ?

( 2 n ? 1) ? 3 ? 1
n

??????????????????14 分

2

20. (I)∵ A ' E ∥ B ' F , D E ∥ F C ∴ A ' E ∥平面 B ' F C , D E ∥平面 B ' F C ∴平面 A ' E D ∥平面 B ' F C ∴ A ' D ∥平面 B ' F C ??????????????????6 分 (II)方法一: 由(I)可知平面 A ' E D ∥平面 B ' F C ∴二面角 A '? D E ? F 与二面角 B ' ? F C ? E 互补????????8 分 过 B ' 作 B ' K ? E F 于 K ,连结 H K ∵ B ' H ? 平面 C D E F
o

A 'E I DE ? E

∴ B ' H ? EF
o

∴ E F ? 平面 B ' K H

∴ EF ? KH

∵? B ' FE ? 45 ,? B ' K F ? 90 , B ' F ? 3
3 2 2 2 2
o o

∴FK ?

∵EF ? 2 2 ∴EK ?

又∵ ? K E H ? 4 5 , ? H K E ? 9 0 ∵B 'E ?
5

∴ EH ? 1

∴ B ' H ? 2 ????10 分

过 H 作 H L ? C F 交 C F 延长线于点 L ,连结 B ' L ∵ B ' H ? 平面 C D E F ∴B 'H ? CF

∴ C F ? 平面 B ' H L ∴ C F ? B ' L ∴ ? B ' L H 为二面角 B ' ? C F ? E 的平面角??????????12 分 ∵ HL ? 2 ? B ' H ∴? B ' LH ? 45
o
o

∴二面角 A '? D E ? F 的大小为 1 3 5 ??????????????14 分 方法二: 如图,过 E 作 E R ∥ D C ,过 E 作 E S ? 平面 E F C D 分别以 E R , E D , E S 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系????8 分 ∵ B ' 在平面 C D E F 上的射影 H 在直线 D E 上,设 B '( 0 , y , z ) ( y , z ? R ) ∵ F (2, 2, 0) , B ' E ? ∴?
?y ? z
2 2
?

5 ,B 'F ? 3

? 5
2 2

?4 ? ( y ? 2) ? z

?y ?1 ? ? ? 9 ?z ? 2

∴ B '( 0 ,1, 2 ) ????????????10 分

第7页

uuu r

∴ F B ' ? ( ? 2 , ? 1, 2 )
r 1 uuu 2 1 2 F B ' ? (? , ? , ) 3 3 3 3 r 设平面 A ' D E 的法向量为 n ? ( x 0 , y 0 , z 0 ) uuu r

∴ EA ' ?

uuu r

又有 E D ? (0 , 4 , 0 )

1 2 ? 2 r z ? 0 ?? x ? y ? ∴? 3 ? n ? (1, 0 ,1) ?????????????12 分 3 3 ?4 y ? 0 ?

u r

又∵平面 C D E F 的法向量为 m ? ( 0 , 0 ,1) 设二面角 A '? D E ? F 的大小为 ? ,显然 ? 为钝角 ∴ c o s ? ? ? | c o s ? n , m ? |? ?
r u r 2 2

∴ ? ? 1 3 5 ?????????14 分
o

21.(I)证明:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 1 , y 2 ) ,根据题意:
? x1 ? 4 y 1 ? 1 6 2 2 ? y 2 ? 4 y1 ? 2 2 ? x1 ? y 2 ? 1 6
2 2

∵ y 1 , y 2 同号,∴ y 2 ? 2 y 1 ????3 分

设 C ( x 3 , y 3 ), D ( x 3 , y 4 ) ,同理可得 y 4 ? 2 y 3 ∴ | A B | ? | y 1 |, | C D | ? | y 3 | , 由?
? ?x ? 4y
2 2

? 16

y ? kx ? 1

? (4k

2

? 1) x ? 8 k x ? 1 2 ? 0
2

∵ A , C 在 x 轴的两侧

∴ y1 y 3 ? 0
1 ? 16k 4k
2 2

∴ ( k x 1 ? 1)( k x 3 ? 1) ? k x 1 x 3 ? k ( x 1 ? x 3 ) ? 1 ?
2

?1

? 0

∴k ?
2

1 16

????6

分 【这里 k 的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 ∴ | A B | ? | C D | ? | y1 | ? | y 3 | ? y 1 ? y 3 ? k ( x1 ? x 3 ) ? 2 ? 分 (II) 解: ∵直线 B D 的斜率 k ? ?
2 y 3 ? 2 y1 x 3 ? x1 ? 2 k ???????????????12

2 4k
2

?1

? (0,

8 5

) ??9

第8页

分 ∴直线 B D 的方程为 y ? 2 k ( x ? x 1 ) ? 2 y 1 ? 2 k x ? 2 ( k x 1 ? y 1 ) ∵ y 1 ? k x1 ? 1 ∴直线 B D 的方程为 y ? 2 k x ? 2

∴直线 B D 过定点 ( 0 , 2 ) ?????????????????????? 15 分 22. (I)解:由 f ? ( x ) ? 分 当 x ? ( 0 , e ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( e , ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴
f m ax ( x ) ? f ( e ) ? 1 e 1 ? ln x x
2

? 0 解得 x ? e ???????????????????2

??????????????????????????4 分

∵关于 x 的不等式 f ( x ) ? m 恒成立 ∴ f m a x ( x ) ? m ∴
1 e m ? 1 e



m











??????????????????????6 分
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

(II)证明:∵对任意的 x 1 , x 2 ? ( 0 , 2 ) ,若存在 x 0 ? ( x 1 , x 2 ) ,使得 f ? ( x 0 ) ?
1 ? ln x 0 x0
2



?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1



1 ? ln x 0 x0
2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ] ? 0 ???????????8 分

令 F (x) ? 分 ∴ F ?( x ) ?

1 ? ln x x
2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 )] ,则有 F ( x 0 ) ? 0 ??????10

2 ln x ? 3 x
3

( x 2 ? x1 ) ,

当 x ? ( 0 , 2 ) 时, 2 ln x ? 3 ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 ,又有 x 2 ? x 1 ? 0

第9页

∴ F ?( x ) ? 0 分

即 F ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 上是减函数 ?????????????12

又∵ F ( x 1 x 2 ) ?

1 ? ln

x1 x 2

x1 x 2 1 ? ln x1 x 2

( x 2 ? x 1 ) ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 )]

?

x1 x 2 1 x1
x2 x1

( x 2 ? x1 ) ? (

ln x 2 x2

?

ln x 1 x1

)

?

(1 ? ln

x1 x2

)?

1 x2

(1 ? ln

x2 x1

)



? t ? 1 ,∴ F (

x1 x 2 ) ?

1 x2

[ t ? (1 ?

1 2

ln t ) ? (1 ?

1 2

ln t ) ]

设 h ( t ) ? t ? (1 ?

1 2

ln t ) ? (1 ?

1 2

ln t ) ,∴ h ? ( t ) ?

t ? t ln t ? 1 2t

设 k ( t ) ? t ? t ln t ? 1 , ∴ k ? ( t ) ? ? ln t ? 0 ( t ? 1 ) ,∴ k ( t ) 在 (1, ? ? ) 是减函数,∴ k ( t ) ? k (1) ? 0 ∴ h ? ( t ) ? 0 ,∴ h ( t ) 在 (1, ? ? ) 是减函数,∴ h ( t ) ? h (1) ? 0
1 x2

∴ F ( x1 x 2 ) ? 14 分

? h (t ) ? 0 ? F ( x0 )

?????????????????

∵ F ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 上是减函数,∴ x 0 ?

x1 x 2 .?????????15 分

第 10 页


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