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函数的极值与导数


函数的极值与导数
1、如果 x0 是 f ' ? x ? ? 0 的一个根, 并且在 x0 的左侧附近 f ' ? x ? ? 0 ,在 x0 右侧附 近 f ' ? x ? ? 0, 那么点 x0 叫做函数 f ? x ? 的极大值点,

f ? x0 ? 叫做函数 f ? x ? 的一个极大值。
2、如果 x0

是 f ' ? x ? ? 0 的一个根, 并且在 x0 的左侧附近 f ' ? x ? ? 0 ,在 x0 右侧附 近 f '? x ? ? 0, 那么点 x0 叫做函数 f ? x ? 的极小值点,

f ? x0 ? 叫做函数 f ? x ? 的一个极小值。
说明: 1 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻 ○ 画的是函数的局部性质。 2 极值点是自变量 (x) 的值,极值指的是函数值 ○

(y) 问题探究: 探究一:函数 f ? x ? 的极值点总是定义域内的点, 因而端点绝不是函数的极值点。 探究二: 函数 f ? x ? 在其定义域内的极值点可能不 止一个,也可能没有。 探究三: 函数 f ? x ? 的极大值与极小值没有必然的 大小关系, 函数的一个极小值不一定比极大值小。 探究四:一般地,当函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续且 有有限个极值点时,

f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极大值点与极小值点
是交替出现的。 探究五: (可导)函数 f ? x ? 的极值点必为导数为 零的点, 但反之, 导数为零的点不一定是极值点。

题型一:求函数的极值

2x ?2 例题: (1) f ? x ? ? x ? e ; (2) f ? x ? ? 2 x ?1
2 ?x

题型二:已知函数的极值求参数 例 题 : 已 知 函 数 f ? x ? ? x3 ? 3ax 2 ? bx ? a 2 在

x ? ?1时有极值 0 , 求实数 a, b 的值。
题型三:函数极值综合应用 例题:已知 f ? x ? ? x3 ? 3ax 2 ? 3 ? a ? 2 ? x ? 1既有 极大值又有极小值, 求实数 a 的取值范围。 例题:已知函数 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? x ? a (1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线

y ? f ? x ? 与 x 轴仅有一个交点;
三个交点呢?


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