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2017高考数学一轮复习第十七章坐标系与参数方程17.1坐标系与极坐标方程对点训练理


2017 高考数学一轮复习 第十七章 坐标系与参数方程 17.1 坐标系 与极坐标方程对点训练 理
1.若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1 -x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) 1 π A.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 2 1 π B.ρ = ,0≤θ ≤ cosθ +sinθ 4 π C.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cosθ +sinθ ,0≤θ ≤ 4 答案 A 解析 由 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,y=1-x 可得 ρ sinθ =1-ρ cosθ ,即 ρ = 1 , cosθ +sinθ

? π? 再结合线段 y=1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知 θ ∈?0, ?. 2? ?
1 π 因此线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρ = ,0≤θ ≤ . cosθ +sinθ 2 2.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标 系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是?
?x=t+1, ? ? ?y=t-3,

(t 为参数),圆 C 的极坐

标方程是 ρ =4cosθ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 C. 2 答案 D 解析 由?
? ?x=t+1, ?y=t-3, ?

)

B.2 14 D.2 2

消去 t 得 x-y-4=0,

C:ρ =4cosθ ? ρ 2=4ρ cosθ ,∴C:x2+y2=4x,
即(x-2) +y =4, ∴C(2,0),r=2. ∴点 C 到直线 l 的距离 d=
2 2 2 2

|2-0-4| = 2, 2

∴所求弦长=2 r -d =2 2.故选 D.

? π? 3.在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ (cosθ + 3sinθ )=6 的距离为________. 3? ?
答案 1

1

? π? 解析 点?2, ?的直角坐标为(1, 3),直线 ρ (cosθ + 3sinθ )=6 的直角坐标方 3? ?
|1+ 3× 3-6| 程为 x+ 3y-6=0,所以点(1, 3)到直线的距离 d= =1. 1+3 4 .在极坐标系中,圆 ρ = 8sinθ ________. 答案 6 解析 圆 ρ =8sinθ 即 ρ =8ρ sinθ ,化为直角坐标方程为 x +(y-4) =16,直线 π |-4| θ = ,则 tanθ = 3,化为直角坐标方程为 3x-y=0,圆心(0,4)到直线的距离为 3 4 =2,所以圆上的点到直线距离的最大值为 2+4=6. 5.已知直线 l 的参数方程为?
? ?x=-1+t, ? ?y=1+t,
2 2 2

上的点到直线 θ =

π (ρ ∈ R) 距离的最大值是 3

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的

3π 5π ? ? 2 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos2θ =4?ρ >0, <θ < ?,则 4 4 ? ? 直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为________. 答案 (2,π ) 解析 直线 l 的普通方程为 y=x+2, 曲线 C 的直角坐标方程为 x -y =4(x≤-2), 故 直线 l 与曲线 C 的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π ).
?x=2+cosα , ? π 6.在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C:? 4 ?y=1+sinα , ?
2 2

(α 为参

数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 直线 l 的极坐标方程是________. 答案 ρ (cosθ -sinθ )=1 解析 曲线 C 的普通方程为(x-2) +(y-1) =1,设直线 l 的方程为 y=x+b,∵弦长 |AB|=2,∴圆心(2,1)到直线 l 的距离 d=0,∴圆心在直线 l 上,∴l:y=x-1,令 x= ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,∴直线 l 的极坐标方程为 ρ (cosθ -sinθ )=1. 7.在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ =4sinθ 和直线 ρ sinθ =a 相交于 A,B 两点, 若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________.
2 2

2

答案 3 解析 由 ρ =4sinθ 可得 ρ =4ρ sinθ ,所以 x +y =4y. 所以圆的直角坐标方程为 x +y =4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;由 ρ sinθ =a, 得直线的直角坐标方程为 y=a,由于△AOB 是等边三角形,所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,若设 AB 的中点为 D(如图). 1 则 CD=CB·sin30°=2× =1,即 a-2=1,所以 a=3. 2 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1) +(y-2) =1,以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面 4 积. 解 (1)因为 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρ cosθ =-2,C2 的极
2 2 2 2 2 2 2 2

坐标方程为 ρ -2ρ cosθ -4ρ sinθ +4=0. π 2 2 (2)将 θ = 代入 ρ -2ρ cosθ -4ρ sinθ +4=0,得 ρ -3 2ρ +4=0, 4 解得 ρ 1=2 2,ρ 2= 2.故 ρ 1-ρ 2= 2, 即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2 π? ? 2 9.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ sin?θ - ?-4=0,求圆 C 的半径. 4? ? 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角 坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ ?
2

2 ? 2 ? sinθ - cosθ ?-4=0, 2 2 ? ?

3

化简,得 ρ +2ρ sinθ -2ρ cosθ -4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x +y -2x+2y-4=0, 即(x-1) +(y+1) =6. 所以圆 C 的半径为 6.
2 2 2 2

2

4


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