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数学:2.2《椭圆的定义与方程》课件(苏教版选修2-1)


定义与方程

罐车的横截面

数 学 实 验
? [1]取一条细绳, ? [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 ? [3]用铅笔尖(M)把 细绳拉紧,在板上慢 慢移动看看画出的图 形
观察做图过程:[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定,所以 M 到 两个定点的距离和也固定。

/>
M F1 F2

[一]椭圆的定义
椭圆定义的文字表述: 椭圆定义的符号表述:

? 平面上到两个定点 的距离的和(2a) 等于定长(大于 |F1F2 |)的点的轨 迹叫椭圆。 ? 定点F1、F2叫做椭 圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离 叫做焦距(2C)。

MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? 2 C

M

F1

F2

小结[一]:满足几个条件的动 点的轨迹叫做椭圆?
? [1]平面上----这是大前提 ? [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 和是常数 2a ? [3]常数 2a 要大于焦距 2C

MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? 2 C

[二]椭圆方程推导的准备
[1]建系
[2]列等式

[3]等式坐标化
[4]化简

[5]检验

[二]椭圆的标准方程[1]
x a
2 2

y

?

y b

2 2

?1

(a ? b ? 0)
F1 0

M

F2

x

它表示:[1]椭圆的焦点在x轴 [2]焦点是F1(-C,0)、 F2(C,0) [3]C2= a2 - b2

[二]椭圆的标准方程[2]
y a
2 2

?

x b

2 2

y

?1

(a ? b ? 0)
F2 M 0 x F1

它表示:[1]椭圆的焦点在y轴 [2]焦点是F1(0,-C)、

F2(0,C)
[3]C2= a2 - b2

判定下列椭圆的焦点在?轴, 2、b2,写出焦点坐标 并指明a
x
x
2 2 2

?
2

y
y
2

2

? 1
?1

25
? 144

16
169

答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0)
答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

x m

?

y
2

2

m ?1

?1

答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。

将下列方程化为标准方程,并判定焦 点在哪个轴上,写出焦点坐标
9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

x

2

?

y

2

? 1

25

9

? 2 x ? 3 y ? ?1
2 2

Ax

2

? By

2

? C

A, B , C ? 0

在上述方程中,A、B、C满足什么条件, 就表示椭圆?
答: A、B、C同号,且A不等于B。

写出适合下列条件的椭圆的标准方程
[1] a=4,b=1,焦点在 x 轴

[2] a=4,c=150.5,焦点在 y 轴上
[3]两个焦点的坐标是(-2,0)和(2,0)

并且经过点(2.5,-1.5) 求一个椭圆的标准方程需求几个量? 答:两个。a、b或a、c或b、c
注意:“椭圆的标准方程”是个专有名词,

就是指上述的两个方程。形式是固定的。

[1] 椭圆的标准方程有几个? 答:两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程,怎样判断焦点在哪个轴上

答:在分母大的那个轴上。 [3] Ax 2 ? By 2 ? C 什么时候表示椭圆?
答:A、B、C同号时。 [4]求一个椭圆的标准方程需求几个量?

答:两个。a、 b或a、c或b、c

例 平面内有两个定点的距离是8,写出到这 两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。 解:[1]判断:1]和是常数;2]常数大于两个 定点之间的距离。故,点的轨迹是椭圆。 [2]取过两个定点的直线做 x 轴,它的线段 垂直平分线做 y 轴,建立直角坐标系,从 而保证方程是标准方程。 [3]根据已知求出a、c,再推出a、b
写出椭圆的标准方程。

练习:
[1] 已知三角形ABC的一边 BC 长为6,周 长为16,求顶点A的轨迹方程 答:
x
2

?

y

2

? 1 ( y ? 0)

25

16

例题与练习的求椭圆方程的方法叫做“定义法”

操作程序:[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆
[2]象推导椭圆的标准方程时一样,以 焦点所在直线为一个坐标轴,以焦点所在线段的 垂直平分线为另一坐标轴,建立直角坐标系。从 而保证椭圆的方程是标准方程。 [3]设椭圆标准方程,即用待定系数法 [4]写出椭圆的标准方程


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