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解三角形导学案2


§2.2 解三角形应用举例
导学案 ●教学目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的 面积公式的简单推导和应用 2.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养学生 研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点 利用正弦定理、余弦定理解决简单的面积问题,并能用其求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在 边 BC、 CA、 AB 上的高分别记为 h a 、 hb、 hc , 那么它们如何用已知边和角表示? ? ABC 中, 根据以前学过的三角形面积公式 S=

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入, 可以 2

推导出下面的三角形面积公式 ,大家能推出其它的几个公式吗? S= S= 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的面积 呢? Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求 出三角形的面积。 例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得 到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m, 这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 例 3、在 ? ABC 中,求证:

1

(1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到 用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k sin A sin B sin C

显然 k ? 0,所以 左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? c2 k 2 sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B =右边 sin 2 C

=

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状, (1)acosA = bcosB (2)sinC =

sin A ? sin B cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” (1) 大家可尝试分别用两个定理进行证明。 (2)(解略)直角三角形 Ⅲ.课堂练习 课本练习第 1,2,3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后 化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用。 Ⅴ.课后作业 课本第 20 页练习第 11、14 题
2


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