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河北省唐山一中2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理


2014—2015 学年度第二学期期末考试
高二年级 说明: 1.考试时间 120 分钟, 满分 150 分。 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上, 将卷Ⅱ答案答在答题纸上。3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号, 不要误填学号,答题卡占后5位说明: 卷Ⅰ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已 知 复 数 z ? ?1

? 2i , 则 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1 在 复 平 面 上 表 示 的 点 位 于 z

数学试卷

A.第一象限

? y ?3 ? ? 3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? 且 M ? N ? ? ,则 a ? 2.已知 M ? ?? x, y ? x?2 ? ?
( ) A.-6 或-2 B.-6 C.2 或-6 D.2

3.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:

x
y

0 2.2 回 ) B.3.5 归 方

1 4.3 程

2 t 是

3 4.8

4 6.7 , 则 t=

且 (

? ? 0.95x ? 2.6 y

A.2.5

C.4.5

D.5.5

? ? 4. 设a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? ”是“| a ? b |? 1 ”的 6 3
( )
1

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 设集合 A ? {x | 则 ( A. 这 ) 个

1 ? 2 x ? 16} , B ? {x | y ? ln(x 2 ? 3x)},从集合 A 中任取一个元素, 4













B















1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

6.下列四个结论: ①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0, 则x ? sin x ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 个 个 B.2 个 D.4 个
2? 0

C.3

7.已知函数 f ?x? ? sin?x ? ? ? , 且 ? 3 f ?x ?dx ? 0 , 则函数 f ?x ? 的图象的一条对称轴 是

(

2

)

A. x ?

x?

?
6

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D.

8.设随机变量 X 服从正态分布 N (3, 4) ,则 P( X ? 1 ? 3a) ? P( X ? a2 ? 7) 成立的一 个 ( ) A. a ? 1 或 2 B . a ? ?1 或 2 C. a ? 2 D. a ?
3? 5 2

















9.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) ·?· (n+n)=2n·1·3·?· (2n-1) ” , 从 ( “ ) B.2(2k+1) C.
2k ? 1 k ?1

k



k+1























A.2k+1

D.

2k ? 3 k ?1

10. ( A. 2

设 )

a?b?0





a?

1 1 ? b a ?b











B.3

C.4

D. 3 ? 2 2

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构 成空间直角坐标系中的点的坐标 ? x, y, z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件 的点的个数为 ( ) A.252 B.216 C.72 D.42

3

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 12.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点的个数为 ? f ( x ? 2), x ?[2, ??) ?2

(

) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

卷Ⅱ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. f ( x) ? (3 ? x)6 ? x(3 ? x)5 的展开式中,含 x 3 项的系数为_________. (用数字 作答) 14. 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) 为 偶 函 数 . 若 f (1) ? 1 , 则
f (8) ? f (9) ? __________



15.函数 f ? x ?=lnx+ax 的图象存在与直线 2 x-y=0 平行的切线, 则实数 a 的取值 范围是______.

16 观察下列等式:
1? 1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6

。 。 。

4

据此规律,第 n 个等式可为____________________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。) 17. (本小题共 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 0 ; (2)若

g ( x) ? ? x ? 3 ? m, f ( x) ? g ( x)

的解集非空,求实数 m 的取值范围.

18.

( 本 小 题 共

12

分 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线

C:? ? 2a cos ? (a ? 0), l : ? cos( ? ?

?
3

)?

3 ,曲线 C 与 l 有且仅有一个公共点. 2

(1)求 a 的值; (2) O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且 ?AOB ?

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

19.(本题满分 12 分) 某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成绩分男女生进行了统计 (满分
150 分) ,其中 120 分(含 120 分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方

图:

5

(I)根据以上两个直方图完成下面的 2 ? 2 列联表:

(II)根据 ?1? 中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之 间有关系?

(Ⅲ)若从成绩在 ?130,140? 的学生中任取 2 人,求取到的 2 人中至少有 1 名女生 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点, DC 垂 直于半圆 O 所在的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ? ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求二面角 D ? AE ? B 的余弦值.
1 . 4

6

21. 已知中心在坐标原点 , 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3) , 且它的离心率
e? 1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点,若椭 圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k 为正常数,设 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x) ,求函数 g ( x) 的最小值; (Ⅲ)若 a ? 0, b ? 0 ,证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b) . 2016-2017 学年度第二学期期末考试答案 数 学 试 卷(理) 一.选择题 1-12 二.填空题 13. –810 14. 1 BACAC BABBC AC

2) 15. (-?,
16. 1 ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

7

三.解答题
2 17. 解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x
2 2 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1

?????2 分

由 x - 1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2
2 2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

综上原不等式的解为 (Ⅱ)原不等式等价于 令 由

?x x ? 1或x ? 0??????5 分
h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m
,所以 h( x) min ? 4 ,

x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空.
,即 ,????8 分

h( x ) ? x - 1 ? x ? 3

x -1 ? x ? 3 ? x -1- x - 3 ? 4

所以 m ? 4 .??????10 分 18. (Ⅰ)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; l 的直角坐标方程为 x+ 3y-3=0. 由直线 l 与圆 C 相切可得 |a-3| =a,解得 a=1. 2 π , 3 ???4 分

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为 θ,B 的极角为 θ+ π ) 3 π ), 6

则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+

=3cosθ- 3sinθ=2 3cos(θ+

???10 分

当 θ=- 19.解: (1)

π 时,|OA|+|OB|取得最大值 2 3. 6

?12 分

成绩性别 男生

优秀 13

不优秀 10
8

总计 23

女生 总计

7 20

20 30

27 50 ?????4 分

50 ? ?13 ? 20 ? 7 ?10 ? (2)由(1)中表格的数据知, K = ≈4.844. ? ? ? ? ? 6 20 ? 30 ? 27 ? 23
2
2

分 ∵ K2≈4.844>3.841 ,∴ 有 95% 的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关 系.? ? ? ? ? 8 分 (3)成绩在 ?130,140? 的学生中男生 50 ? 0.008 ? 10 ? 4 人, 女生有 50 ? 0.004 ? 10 ? 2 人,? ? ? ? ? 9 分
2 从 6 名学生中任取 2 人,共有 C6 =15 种选法, 2 若选取的都是男生,共有 C4 = 6 种选法;? ? ? ? ? 10 分

故所求事件的概率 p = 1 -

2 C4 3 = .? ? ? ? ? 12 分 2 C6 5

20. 解: (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形,
BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD



因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD ???????5 分 (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ?
1 ?1 4



1 1 1 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? V E ? ACD ? ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2

?

1 1 1 4 ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3

当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立

????8 分

9

如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) ,
A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , ??? ? ??? ? 则 AB ? (?2 2, 2 2,0) , BE ? (0,0,1) , ??? ? ??? ? DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,)

?? ???? ? ? ?n1 ? DE ? 0 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? DA ? 0 ? ? 1 ? ? ?2 2 y ? 0 即? ? n1 ? (1,0, 2 2) , ? ?2 2 x ? z ? 0 ? ??? ? ?? ? ? ?n 2 ? BE ? 0 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? AB ? 0 2 ? ?



? ?z ? 0 ? ? ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ? ? ? n1 ?n2 1 2 ? cos n1 , n 2 ? ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n 2

?

? n2 ? (1,1,0)



? ? 可以判断 n1 , n2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补
? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?

2 .???????12 分 6

21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?
所以椭圆的标准方程为:

2 ? ?a ? 8 解得 ? 2 ? ?b ? 6

x2 y2 ? ?1 8 6

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切
10

所以,

t?k 1? k2

? 1 ? 2k ?

1? t2 ( t ? 0) t

把 y ? kx ? t 代入 分

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 8 6

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 x1 ? x 2 ? ?

? ? 8kt ? 6t 因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? , ? (3 ? 4k 2 ) ? (3 ? 4k 2 ) ? ? ? ? ?
又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

? ?2 ?

2t 2 2 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t

因为 t 2 ? 0 所以

所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,
1 e

2)
1 e

22 解:(Ⅰ)∵ f ? ? x ? ? lnx ? 1 ,解 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ;解 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? . ∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? , ?? ? ,单调递减区间是 ? 0, ? . ??3′ e e
? ?1 ? ? ? ? ? 1?

(Ⅱ)∵ g ? x ? ? f ? x ? ? f ? k ? x ? ? xlnx ? ? k ? x ? ln ? k ? x ? ,定义域是 ? 0, k ? . ∴ g ? ? x ? ? lnx ? 1 ? ? ?ln ? k ? x ? ? 1? ? ? ln
k 2

x ??5′ k?x
k 2

由 g ? ? x ? ? 0 ,得 ? x ? k ,由 g ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ?
? ? k? ? ?k ? ? ?

∴ 函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减;在 ? , k ? 上单调递增??7′ 2 2 故函数 g ? x ? 的最小值是: g ? ? ? k ? ln . ??8′ 2 2 (Ⅲ)∵ a ? 0 , b ? 0 ,∴ 在(Ⅱ)中取 x ?
11

?k? ? ?

k

2a ,k ?2 a?b

可得 f ? ? ? f ?2? ? ≥ 2ln1 ,即 f ? ?? f ? ? ≥ 0 .??10′ a?b? ?a?b? ? ?a?b? ?a?b? ∴
2a 2a 2b 2b ∴ alna ? blnb ? ? a ? b ? ln2 ? ? a ? b ? ln ? a ? b ? ≥ 0 . ln ? ln ≥0 , a?b a?b a?b a?b

? 2a ?

?

2a ?

? 2a ?

? 2b ?

即 f ? a ? ? ? a ? b? ln2 ≥ f ? a ? b ? ? f ?b ? .??12′

12


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