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数理方程公式总结


分离变量法
矩形区域(特征方程形式 X
??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0 )

定界问题中的边 类型 界条件
?u ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u ( l ,t ) ? 0
? u ( 0 ,t ) ? 0 ? ?u x ( l ,t ) ? 0

分离变量后的边 特征值 界条


?X (0 ) ? 0 ? ? X (l ) ? 0 ? X (0) ? 0 ? ? X ?( l ) ? 0
? X ?( 0 ) ? 0 ? ? X (l ) ? 0

特征函数系

(1)

(

n? l

)

2

sin

n?x l
1 2 ) ?x

?
n=1,2,……

(1)若齐次边界条件含 X ( 0 )
? 0) ? 0 (

? 0 ,则本征函数为正弦函数;若齐次

边界条件含 X ?
n=0,1,……
) ?x

,则本征函数为余弦函数
n?x l

(2)

(

n ? 1/ 2 l n ? 1/ 2 l

?)

2

(n ? sin

(2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类),

l
(n ? 1 2

则本征函数的宗量为

(3)

?u x ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u( l,t ) ? 0
?u x ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u x ( l,t ) ? 0

(

?)

2

cos

l
cos

n=0,1,……

(4)

? X ?( 0 ) ? 0 ? ? X ?( l ) ? 0
(0 ? x ? l ,

(

n? l

)

2

n?x l

n=0,1,……

? u tt ? a 2 u xx ? 0 ? 齐次波动问题 ? 边界条件如表 ? u ( x , ) ? ? ( x ), 0 ?

t ? 0)

分离变量后产生两个常微分方程: ① X ??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0
u t ( x ,0 ) ? ? ( x )

②?

? ?

2 T ??(t ) ? ? n a T ( t ) ? 0

? 通解 ?

? T ( t ) ? a n cos

? n at ? b n sin

? n at

①式结合边界条件构成特征值问题,得到特征值,特征函数系;②式解出的通解糅合到特征函数系中得到解的通式; 类型
u( x ,t ) ?

解的形式

系数的形式
n ? at l n?x l
1 2 ) ?x
an ? 2
l

(1)

? (a n
n ?1

?

cos

n ? at l

? b n sin

) sin

l

?
0

?( x ) sin
1 2

n?x l
) ?x

dx , b n ?

2

l

n?a

? ? ( x ) sin
0

n?x l

dx
1 2

(2)

n ??

u( x ,t ) ?

? (a n
n ?1

cos

n ? at l

? b n sin

n ? at l

(n ? )sin

l
(n ? 1 2 ) ?x

an ?

2

l

(n ?

l
2

? ?( x ) sin
0

l
(n ? 1 2 ) ?x

dx , b n ?

2

l

(n ?

) ?x

n?a
2
l

? ? ( x ) sin
0

l
1 2 ) ?x

dx

(3)

n ??

u( x ,t ) ?

?

n?a l

( a n cos
n ??

n ? at l

? b n sin

n ? at l

l

(n ?

)cos

n ?1

l

an ?

l

?
0

?( x ) cos
l

l
?( x ) , a n ? dx

dx b n ?
2
l

n?a

? ? ( x ) cos
0

l
2
l

dx
n?x l

(4)

u( x ,t ) ? a 0t ? b 0 ?

?

n?a l

( a n cos

n ? at l

? b n sin

n ? at l

)c os

n?x l

a0 ?

1

l

n ?1

l

dx ? ? (x ) , b0 ?
0

1

l

?
0

l

?
0

?( x ) cos

n?x l

dx b n ?

n?a

? ? ( x ) cos
0

dx

1

? u t ? a 2 u xx ? 0 ? 热传导问题 ? 边界条件如表 ? u( x , ) ? ?( x ) 0 ?

(0 ? x ? l ,

t ? 0)

分离变量后产生两个常微分方程: ① X ??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0

?T ?(t ) ? ? n a 2T ( t ) ? 0 ②? 2 ? ?na t ? 通解 ? T ( t ) ? a n e

类型

解的形式
n ??

系数的形式
) t
2

(1)

u( x ,t ) ?

?

?(

n?a l

a ne
1

sin

n? l
1 2

x

an ?

2

l

n ?1

l

?
0

?( x ) sin

n?x l
1 2

dx

(2)

n ??

n?
?(

u( x ,t ) ?

?

a ne

l

2 ? a )2 t

(n ? sin

) ?x

n ?1
n?
?( 1 2 ? a )2 t

l
(n ? 1 2 ) ?x

an ?

2

l

(n ?

) ?x

l
2

?
0

?( x ) sin
(n ?

l
1 2 ) ?x

dx

(3)

n ??

l

u( x ,t ) ?

?

a ne

l

cos
n?a l

n ?1

l
) t
2

an ?
l

l

? ?( x )cos
0

l
2
l

dx
n?x l

n ??

(4)

u( x ,t ) ? a 0 ?

?

?(

a ne

c os

n?x l

a0 ?

1

n ?1

l

dx ? ?( x )
0

,a n ?

l

?
0

?( x ) cos

dx

2

行波法
(一) 自由振动 无限长均匀弦的振动问题
? 2 ? a u ? 0 ?u xx ? tt 0 ? u ( x , ) ? ?( x ), ? ( ?? ? x ? ?

t ? 0)

u (x , ) ? ? (x ) 0 t

变量变换 ? 解的通式:
u( x ,t ) ?
1 2

? x ? at

,?

? x ? at

[?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ?

1 2a

z ? at

? ? ( ? )d ?
x ? at

(二) 强迫振动的初值问题 无限长均匀弦的振动问题
? 2 ? a u ? f( x ,t ) ( ?? ? x ? ? ?u xx ? tt u( x , ) ? ?( x ), 0 u (x , ) ? ? (x ) 0 ? t ?

t ? 0)

由叠加原理: I?
? u tt ? a 2 u xx ? 0 ( ?? ? x ? ?

t ? 0)

0 ?u ( x , ) ? ?( x ),

u t ( x ,0 ) ? ? ( x )

通解形式:
u( x ,t ) ?
1 2 [ ?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ? 1 2a
z ? at

d ? ? (? ) ?
x ? at

II ? ?
? ?

?

u

tt

2 ? a u

xx

? f( x ,t )

( ??

? x ? ?

t ? 0)

u( x , ) ? 0 , 0

u (x , ) ? 0 0 t

通解形式:
u( x ,t ) ? 1 2a
t x ? a (t ? ? )

?
0

x ? a (t ? ? )

?

f( ? , ? ) ? d ? d

所以通解为:
u( x ,t ) ?
1 2 [?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ? 1 2a
z ? at

?

? (? ) ? ? d

1 2a

t

x ? a (t ? ? )

?

x ? at

0 x ? a (t ? ? )

?

f( ? , ? ) ? d ? d

3

(三) 二阶线性偏微分方程的分类与小结

dy dx

?

a 12 ?

a 12 ? a 11a 22 a 11

2



dy dz

?

a 12 ?

a 12 ? a 11a 22 a 11

2

积分变换法
傅里叶变换在数理方程中的应用 一维热传导方程的初值问题
? u t - a 2u xx ? f ( x ,t ) ? 0 ? u( x , ) ? ?( x ) ( ?? ? x ? ? ,t ? 0 )

变换
? u t ? a 2 ? 2u? ? f? ? ,t ) ? ( ? ? ( 0 ?u? ? , ) ? ?( ? ) (t ? 0 )

方程的通解:
? u ( ? , t) ? e
?a ? t
2 2

a [ ? f? ? ,? ) ( e
0

t

2

? ?

2

d? ? C ]

由初值条件得
? u ( ? , t) ? ?( ? ) ? e
?a ? t
2 2

?

? f?( ? ,? )e
0

t

- a ? ( t - ?)

2

2

d?

逆变换
u( x ,t ) ? ? ( x )? 2a ? 2a 1 1
? (x ? ? ) 4a t
2 2

e

?t
? (x ? ? ) 4a t
2 2

?

? f ( x ,? ) ?
0

t

1 2a
?

?

(x ? ? )
2

2

e

4 a (t ? ? )

? (t ? ? )
(x ? ? )
2 2

d?

?t

?

?

??

?( ? ) e

d? ?
2a

1

?

??
0

t

??

f ( ? ,? ) ? 4 a e t ? ?

(t ? ? )

d?d?

4


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