当前位置:首页 >> 数学 >> 数理方程公式总结

数理方程公式总结


分离变量法
矩形区域(特征方程形式 X
??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0 )

定界问题中的边 类型 界条件
?u ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u ( l ,t ) ? 0
? u ( 0 ,t ) ? 0 ? ?u x ( l ,t ) ? 0

分离变量后的边 特征值 界条


?X (0 ) ? 0 ? ? X (l ) ? 0 ? X (0) ? 0 ? ? X ?( l ) ? 0
? X ?( 0 ) ? 0 ? ? X (l ) ? 0

特征函数系

(1)

(

n? l

)

2

sin

n?x l
1 2 ) ?x

?
n=1,2,……

(1)若齐次边界条件含 X ( 0 )
? 0) ? 0 (

? 0 ,则本征函数为正弦函数;若齐次

边界条件含 X ?
n=0,1,……
) ?x

,则本征函数为余弦函数
n?x l

(2)

(

n ? 1/ 2 l n ? 1/ 2 l

?)

2

(n ? sin

(2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类),

l
(n ? 1 2

则本征函数的宗量为

(3)

?u x ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u( l,t ) ? 0
?u x ( 0 ,t ) ? 0 ? ? u x ( l,t ) ? 0

(

?)

2

cos

l
cos

n=0,1,……

(4)

? X ?( 0 ) ? 0 ? ? X ?( l ) ? 0
(0 ? x ? l ,

(

n? l

)

2

n?x l

n=0,1,……

? u tt ? a 2 u xx ? 0 ? 齐次波动问题 ? 边界条件如表 ? u ( x , ) ? ? ( x ), 0 ?

t ? 0)

分离变量后产生两个常微分方程: ① X ??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0
u t ( x ,0 ) ? ? ( x )

②?

? ?

2 T ??(t ) ? ? n a T ( t ) ? 0

? 通解 ?

? T ( t ) ? a n cos

? n at ? b n sin

? n at

①式结合边界条件构成特征值问题,得到特征值,特征函数系;②式解出的通解糅合到特征函数系中得到解的通式; 类型
u( x ,t ) ?

解的形式

系数的形式
n ? at l n?x l
1 2 ) ?x
an ? 2
l

(1)

? (a n
n ?1

?

cos

n ? at l

? b n sin

) sin

l

?
0

?( x ) sin
1 2

n?x l
) ?x

dx , b n ?

2

l

n?a

? ? ( x ) sin
0

n?x l

dx
1 2

(2)

n ??

u( x ,t ) ?

? (a n
n ?1

cos

n ? at l

? b n sin

n ? at l

(n ? )sin

l
(n ? 1 2 ) ?x

an ?

2

l

(n ?

l
2

? ?( x ) sin
0

l
(n ? 1 2 ) ?x

dx , b n ?

2

l

(n ?

) ?x

n?a
2
l

? ? ( x ) sin
0

l
1 2 ) ?x

dx

(3)

n ??

u( x ,t ) ?

?

n?a l

( a n cos
n ??

n ? at l

? b n sin

n ? at l

l

(n ?

)cos

n ?1

l

an ?

l

?
0

?( x ) cos
l

l
?( x ) , a n ? dx

dx b n ?
2
l

n?a

? ? ( x ) cos
0

l
2
l

dx
n?x l

(4)

u( x ,t ) ? a 0t ? b 0 ?

?

n?a l

( a n cos

n ? at l

? b n sin

n ? at l

)c os

n?x l

a0 ?

1

l

n ?1

l

dx ? ? (x ) , b0 ?
0

1

l

?
0

l

?
0

?( x ) cos

n?x l

dx b n ?

n?a

? ? ( x ) cos
0

dx

1

? u t ? a 2 u xx ? 0 ? 热传导问题 ? 边界条件如表 ? u( x , ) ? ?( x ) 0 ?

(0 ? x ? l ,

t ? 0)

分离变量后产生两个常微分方程: ① X ??( x ) ? ? n X ( x ) ? 0

?T ?(t ) ? ? n a 2T ( t ) ? 0 ②? 2 ? ?na t ? 通解 ? T ( t ) ? a n e

类型

解的形式
n ??

系数的形式
) t
2

(1)

u( x ,t ) ?

?

?(

n?a l

a ne
1

sin

n? l
1 2

x

an ?

2

l

n ?1

l

?
0

?( x ) sin

n?x l
1 2

dx

(2)

n ??

n?
?(

u( x ,t ) ?

?

a ne

l

2 ? a )2 t

(n ? sin

) ?x

n ?1
n?
?( 1 2 ? a )2 t

l
(n ? 1 2 ) ?x

an ?

2

l

(n ?

) ?x

l
2

?
0

?( x ) sin
(n ?

l
1 2 ) ?x

dx

(3)

n ??

l

u( x ,t ) ?

?

a ne

l

cos
n?a l

n ?1

l
) t
2

an ?
l

l

? ?( x )cos
0

l
2
l

dx
n?x l

n ??

(4)

u( x ,t ) ? a 0 ?

?

?(

a ne

c os

n?x l

a0 ?

1

n ?1

l

dx ? ?( x )
0

,a n ?

l

?
0

?( x ) cos

dx

2

行波法
(一) 自由振动 无限长均匀弦的振动问题
? 2 ? a u ? 0 ?u xx ? tt 0 ? u ( x , ) ? ?( x ), ? ( ?? ? x ? ?

t ? 0)

u (x , ) ? ? (x ) 0 t

变量变换 ? 解的通式:
u( x ,t ) ?
1 2

? x ? at

,?

? x ? at

[?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ?

1 2a

z ? at

? ? ( ? )d ?
x ? at

(二) 强迫振动的初值问题 无限长均匀弦的振动问题
? 2 ? a u ? f( x ,t ) ( ?? ? x ? ? ?u xx ? tt u( x , ) ? ?( x ), 0 u (x , ) ? ? (x ) 0 ? t ?

t ? 0)

由叠加原理: I?
? u tt ? a 2 u xx ? 0 ( ?? ? x ? ?

t ? 0)

0 ?u ( x , ) ? ?( x ),

u t ( x ,0 ) ? ? ( x )

通解形式:
u( x ,t ) ?
1 2 [ ?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ? 1 2a
z ? at

d ? ? (? ) ?
x ? at

II ? ?
? ?

?

u

tt

2 ? a u

xx

? f( x ,t )

( ??

? x ? ?

t ? 0)

u( x , ) ? 0 , 0

u (x , ) ? 0 0 t

通解形式:
u( x ,t ) ? 1 2a
t x ? a (t ? ? )

?
0

x ? a (t ? ? )

?

f( ? , ? ) ? d ? d

所以通解为:
u( x ,t ) ?
1 2 [?( x ? at ) ? ?( x ? at )] ? 1 2a
z ? at

?

? (? ) ? ? d

1 2a

t

x ? a (t ? ? )

?

x ? at

0 x ? a (t ? ? )

?

f( ? , ? ) ? d ? d

3

(三) 二阶线性偏微分方程的分类与小结

dy dx

?

a 12 ?

a 12 ? a 11a 22 a 11

2



dy dz

?

a 12 ?

a 12 ? a 11a 22 a 11

2

积分变换法
傅里叶变换在数理方程中的应用 一维热传导方程的初值问题
? u t - a 2u xx ? f ( x ,t ) ? 0 ? u( x , ) ? ?( x ) ( ?? ? x ? ? ,t ? 0 )

变换
? u t ? a 2 ? 2u? ? f? ? ,t ) ? ( ? ? ( 0 ?u? ? , ) ? ?( ? ) (t ? 0 )

方程的通解:
? u ( ? , t) ? e
?a ? t
2 2

a [ ? f? ? ,? ) ( e
0

t

2

? ?

2

d? ? C ]

由初值条件得
? u ( ? , t) ? ?( ? ) ? e
?a ? t
2 2

?

? f?( ? ,? )e
0

t

- a ? ( t - ?)

2

2

d?

逆变换
u( x ,t ) ? ? ( x )? 2a ? 2a 1 1
? (x ? ? ) 4a t
2 2

e

?t
? (x ? ? ) 4a t
2 2

?

? f ( x ,? ) ?
0

t

1 2a
?

?

(x ? ? )
2

2

e

4 a (t ? ? )

? (t ? ? )
(x ? ? )
2 2

d?

?t

?

?

??

?( ? ) e

d? ?
2a

1

?

??
0

t

??

f ( ? ,? ) ? 4 a e t ? ?

(t ? ? )

d?d?

4


更多相关文档:

数理方程公式大全2

数理方程公式大全2。自己总结的梳理方程的公式,希望能给广大同学用Equations of Mathematical Physics and Special Functions 公式大集合 1. 考察两端固定的弦的自由振...

数学物理方程公式小结

16页 1下载券 数学物理方程公式总结 15页 免费喜欢此文档的还喜欢 《数学物理方程》期末复... 44页 免费 数学物理方程资料 6页 免费 数理方程试卷A 10页 免...

数理方程有用公式

数理方程公式总结 暂无评价 4页 免费 数理方程 44页 免费 数理方程 4页 免费...数学物理方程与特殊函数复习资料数学物理方程与特殊函数复习资料隐藏>> 数理方程...

数理方程要记忆的公式

数理方程要记忆的公式_工学_高等教育_教育专区。大学数理方程课程。要...数理方程有用公式 1页 2下载券 数理方程公式总结 暂无评价 4页 免费 ...

数理方程公式大全

6页 免费 数学物理方程公式小结 9页 免费 数理方程有用公式 2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

数理方程公式

数​理​方​程​公​式数理方程公式 ▲一维弦振动的初值问题:达朗贝尔公式 ▲二维波动方程的柯西问题:二维泊松公式 ? ? 2u ? 2u = a 2 2 , (?...

数理方程资料

数学物理方程公式小结 9页 免费 数理方程30题 17页 免费 数学物理方程资料 6...(12 分) 七.判断下列方程所属类型并求其标准形式(8 分) yu xx + xu yy...

学习数学物理方程的心得

数理方程》这门课,我有了一些粗浅的认识,在 此对其作个小结,以便于在下一...在学习中, 那众多的公式以及推导,是前人留给我们的财富,是智慧的结晶。我们对...

数理方程期末 复习

数理方程期末 复习_理学_高等教育_教育专区。1、设 u i 满足线性方程 Lui ?...( x) ? cos x 的无界弦的自由振动所对应的定 解问题,利用达朗贝尔公式求出...

数理方程例题

数理方程例题_理学_高等教育_教育专区。数学物理方程与特殊函数复习资料数学.../ ? 代入并利用三角函数和差化积公式,得 y ( x) ? ? cos( ?x) ? ?...
更多相关标签:
数理方程学习总结 | 数理方程总结 | 数理方程 | 数理方程试卷 | 数理方程小论文 | 数理方程与特殊函数 | 数理方程 季孝达 pdf | 数理方程视频 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com