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1.4 全称量词与存在量词


1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 1.4.2 全称量词 存在量词

我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生 参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件:
(1)所有学生都来自高二年级;

(2)至少有30名学生来自高二一班;
(3)每一个学生都有固定表演路线. 这里,“所有”,“至少有”,“每一个”等短语,在逻辑上称为量 词.

预习教材,回答下列问题:

问题1:新课导入的引例中出现了“所有”、“每一个”等
词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样

的词叫做 全称 量词,用符号“
词的命题,叫做 全称 命题.

?

”表示,含有 全称 量

问题2:引例中用到了“至少有30名”这样的词语,
这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 存在 量词。并 用符号“

? ”表示.含有 存在

量词的命题叫做 特称 命

题(或存在命题).

1
目 标 4

全称量词与全称命题

2

存在量词与特称命题

3

怎样判断全称命题的真假

怎样判断特称命题的真假

全称量词与全称命题

定义:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 问题:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4) 全称量词,用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫 之间有什么关系? 做全称命题.

(1) x ? 3 ;

不是命题 是命题

(2)2 x ? 1是整数;
不是命题 (3)对所有的 x ?R,x ? 3 ;

(4)对任意一个x ?Z, 2 x ? 1是整数. 是命题

例如,命题(1):对任意的n∈Z ,2n+1是奇数; (2): 所有的正方形都是矩形。 都是全称命题.

全称命题的一般形式:
对M中任意一个 x, 有p( x)成立

用符号可以简记为:?x ? M , p( x)

全称命题的真假

问题 1

试判断以下命题的真假:

(1)?x∈R, x2+2>0; (2)?x∈ N,x4≥ 1.
解 (1)由于?x∈R,都有 x ≥0,因而有 x +2≥2>0, 即 x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题.
2 2

(2)由于 0∈N,当 x=0 时,x ≥1 不成立,所以命题 4 “?x∈N,x ≥1”是假命题.

4

问题2 怎样判定一个全称命题的真假? 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定 集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定 全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一

个x0,使得p(x0)不成立即可.

典例展示
判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数 ;

假命题

反例:2是素数,但2不是奇数. (2) ?x ?R,x2 ?1?1 ; 真命题

(3) 对每一个无理数x,x2 也是无理数 .

假命题

) ? 2 是有理数. 反例:2 是无理数,但( 2
2

判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; 真命题
(2)任何实数都有算术平方根; 假命题 反例:-2是实数,但-2没有算术平方根.

存在量词与特称命题

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 不是 (1)2x+1=3 存在量词 (3)(4) 不是 (2)x能被2和3整除; 特称命题 是 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 关系: (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值
进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行 限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

一.特称命题 1.存在量词及表示:
定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做 存在量词。 表示:用符号“?”表示

2.特称命题及表示: 定义:含有存在量词的命题,叫做特称命题.
表示:特称命题“存在M中的一个x0 ,使 p(x0) 成立”可 用符号简记为? x0∈M , p(x0) 读作:“存在M中的一个x0 ,使 p(x0) 成立”.

典例展示
例如:命题(1)有的平行四边形是菱形;
(2)有一个素数不是奇数. 都是特称命题.

例2.设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题

“? x0 ∈R,q(x0 )”
解: 存在实数x0 ,使x0 2= x0 成立. 至少有一个x0 ∈R,使x0 2= x0 成立.

对有些实数x0 ,使x0 2= x0 成立.
有一个x0 ∈R,使x0 2= x0 成立. 对某个 x0 ∈R,使x0 2= x0 成立.

例3 下列语句是不是全称或特称命题: (1) 有一个实数a , a不能取对数 (2) 所有不等式的解集A,都是A?R 特称命题 全称命题 不是命题 特称命题

(3) 三角函数都是周期函数吗? (4) 有的向量方向不定

二. 如何判断特称命题的真假

方法: 要判断特称命题“? x0∈M , p(x0)”是真命题,
只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可. 如果在集合M中,使p(x0)成立的元素 x0不存在,那

么这个特称命题是假命题.

例4 判断下列命题的真假: (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y),都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示; (4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立.

(1) 真
(3) 假

(2) 真
(4) 假

判断下列命题的真假 (1)?α ,β ∈R,使sin(α +β )=sinα +sinβ 如:α=β=0时,成立 (2)?x,y∈Z,使3x-2y=10 如:x=y=10时,成立





1.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”, 符号简记为: ? x∈M,p(x), 读作:对任意x属于M,有p(x)成立, 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 2.特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”, 符号简记为: ? x0∈M,p(x0), 读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)成立” 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

3.同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同, 可能有不同的表述方法:

命 题

全称命题 ? x ?

M

, p ( x )

特称命题 ? x 0 ? M , p ( x 0 ) ①存在x0∈M,使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0) 成立 ③对有些x0∈M,使p(x0)成立 ④对某个x0∈M,使p(x0)成立 ⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立

表 述 方 法

①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成立 ④任选一个x∈M,p(x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立

1.4 全称量词与存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1
目 标

全称命题的否定

2
3

特称命题的否定

含有一个量词的命题的否定的应用

全称命题的否定

写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形;
否定:并非所有的矩形都是平行四边形, 也就是说,存在一个矩形不是平行四边形.

(2)每一个素数都是奇数;
否定:并非每一个素数都是奇数, 也就是说,存在一个素数不是奇数.

(3)?x ?R,x -2x ? 1 ? 0.
2

否定:并非任意的实数x都使不等式 x -2x ? 1 ? 0 成立,
2

也就是说, ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 1 ? 0

2

(1)所有的矩形都是平行四边形; 存在一个矩形不是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数;

存在一个素数不是奇数. 2 (3)?x ?R,x -2x ? 1 ? 0. 2 ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 1 ? 0
全称命题p: 它的否定?p:
?x ? M , p( x)

? x0∈M , ? p(x0)

全称命题的否定是特称命题

典例展示 例1 写出下列全称命题的否定:

(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
? p:存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 ;

?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. (3)p:?x ? Z,x 的个位数字不等于3.
2
2 ?p: ?x0 ? Z , x0 的个位数字等于3.

1 .写出下列全称命题的否定:

(1) ?n ? Z,n ? Q;

?n0 ? Z , n0 ? Q
(2)任意素数都是奇数; 存在一个素数,它不是奇数. (3)每个指数函数都是单调函数. 存在一个指数函数,它不是单调函数.

特称命题的否定 写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; 否定:不存在绝对值是正数的实数, 也就是说,所有实数的绝对值都不是正数。 (2)某些平行四边形是菱形;

否定:没有一个平行四边形是菱形, 也就是说,任意一个平行四边形都不是菱形。

(3)?x ?R,x ? 1 ? 0.
2

否定:不存在实数x使不等式

x ?1 ? 0
2

成立,

也就是说,?x ? R,x2 ? 1 ? 0.

(1)有些实数的绝对值是正数; 所有实数的绝对值都不是正数.
(2)某些平行四边形是菱形;

任意一个平行四边形都不是菱形. 2 (3)?x ?R,x ? 1 ? 0. 2 ?x ? R,x ? 1 ? 0.
特称命题p:
它的否定?p:
?x ? M , p( x)
?x ? M , ?p( x)

特称命题的否定是全称命题

例 2.

写出下列特称命题的否定:

(1)p:有的三角形是等边三角形; ? p:所有的三角形都不是等边三角形. (2)p:有一个素数含三个正因数; ?p:每一个素数都不含三个正因数.

(3)p: ?x ? R,x ? 2 x ? 2 ? 0.
2

?p:?x ? R,x 2 ? 2 x ? 2 ? 0.

2.写出下列特称命题的否定: (1)有些三角形是直角三角形; 所有三角形都不是直角三角形. (2)有些梯形是等腰梯形; 所有梯形都不是等腰梯形. (3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.

所有实数的绝对值都是正数.

某些命题的否定形式(总结):

含有一个量词的命题的否定的应用

例3.已知命题p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对于
?x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围. 【解题探究】题中p(x)为假命题,一般应如何转化?

探究提示:
1.特称命题是假命题,其否定是真命题.

2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定
命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.

解:由于命题p(x):对?x∈R,sinx+cosx>m是假命 题 ,则 ? p(x):?x0∈R,sinx0+cosx0≤m是真命题,
? ∵sinx+cosx= 2 sin(x+ 4 )∈[- 2 , 2 ],

∴m≥- 2 即可. 由于q(x):?x∈R,x2+mx+1>0为真命题, 即对于?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,

有Δ=m2-4<0,∴-2<m<2.
依题意,得- 2 ≤m<2.

所以实数m的取值范围是{m|- 2 ≤m<2}.

含有一个量词的命题与参数范围的求解策略:
(1)对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是 不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即 a>f(x)max(或a<f(x)min). (2)对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题,实质 就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大

值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题——特称命题为真 命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题—— 全称命题为真命题解决.

例4.已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x∈R,x3=1-x2. 则下列命题中为真命题的是: A.p?q B.?p?q C. p? ?q D.?p? ?q

提示:p假,q真
答案:B

1.写出下列全称命题的否定, 并判断其真假.

?1? p : 对所有的正实数x, 都有 3 ? 2 ? q : ?x ? R, 2x ? 3x≥17; ? 3? r : ?x ? R, sinx ? cosx≤ 2.
解 : ?1? ?p : ?x ? R ? , 使 x≥x.

x ? x;

?p为真命题.

3 2 ? q : ? x ? R, 使 2x ? 3x ? 17. ?q是真命题. ? ?

?3? ?r : ?x0 ? R,sinx0 ? cosx0 ?
? sinx ? cosx ? 2 sin( x ? ??r是假命题.

?

2.

4

)≤ 2恒成立.

2.写出下列特称命题的否定,并判断其真假.

(1)p:?x∈R,x2+2x+2≤0;
(2)q:至少有一个实数x,使x3+1=0;

(3)r:有些三角形是锐角三角形.
解:(1)?p:?x∈R,x2+2x+2>0, ?p为真命题. (2)?q:?x∈R,x3+1≠0. ∵当x=-1时,有x3+1=0 ∴?q是假命题. (3)?r:所有的三角形不是锐角三角形.

?r为假命题.

含有一个量词的命题的否定
一般地,我们有: “? x ? M , p ( x )”的否定为“? x ? M , ? p ( x )” , “? x ? M , p ( x )”的否定为“? x ? M , ? p ( x )”。

结论:全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
全称量词 存在量词 全称命题 特称命题 特称命题 否定 全称命题

课后练习

课后习题


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