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5.1平面向量的概念及其线性运算


第五章
§ 5.1
要点梳理 1.向量的有关概念 名称 向量 定义

平面向量
自主学习

平面向量的概念及其线性运算 基础知识

备注 平面向量是自

既有 大小 又有 方向 的

量;向量的大小叫做向 由向量 量的 长度 (或称 模 )


零向量

长度为 零 的向量;其方 向是任意的 长度等于 1个单位 的 向量 方向 相同 或 相反 的非 零向量 零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向相反的 向量

记作 0 非零向量 a 的单位向 a 量为 ± |a| 0 与任一向量平行或

单位向量

平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

方向相同或相反 的非 共线
两向量只有相等或 不等,不能比较大小 0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何 意义) 运算律

(1)交换律: 加法 求两个向量 和的运算
平行四边形 三角形

a+b=b+a . (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c).

求a与b的相 减法 反向量-b的 和的运算叫 做a与b的差
三角形 法则

a-b=a+(-b)

(1)|λa|=|λ||a|. 求实数λ 与向量a 算 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b=λa . (2)当λ>0时,λa的方 λ(μa)=λμa ; 向与a的方向相同 ; (λ+μ)a= 数乘 的积的运 当λ<0时,λa的方向 λa+μa ; 与a的方向相反 ;当 λ(a+b)= λa+λb . λ=0时,λa= 0 .

[难点正本

疑点清源 ]

1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时, 与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量 是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说, 即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况, 而直线平行不包 括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线 平行,必须说明这两条直线不重合.

基础自测 → - QP → +MS → -MQ → 的结果等于 ________ → 1.化简OP . OS

→ -QP → +MS → -MQ → =OP → +PQ → -(SM → +MQ →) 解析 OP → -SQ → =OQ → +QS → =OS →. =OQ
2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定 不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线. 其中不正确命题的序号是①②③ _______.

解析

①错,如单位向量与 0 不相等;②错,如方向相

同,长度不等的向量;③错,如都平行于零向量,则不 共线.④对.

→ =c,AC → =b.若点 D 满足BD → =2DC →, 3.在△ABC 中,AB 2 1 b+ c → =__ 3 ______( 3 则AD 用 b、c 表示).

解析 如图所示, 2 → → → → 可知AD=AB+ (AC-AB) 3 2 =c+ (b-c) 3 2 1 = b+ c. 3 3

4.如图,向量 a-b 等于( C ) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2
解析 依题意结合三角形法则可知 a-b=e1-3e2.

→ =a+2b,BC → =-5a+6b,CD →= 5.已知向量a,b,且AB 7a-2b,则一定共线的三点是 A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D → =BC → +CD → =(-5a+6b)+(7a-2b) 解析 BD (
A

)

→, =2a+4b=2(a+2b)=2AB → 与AB → 共线. ∴BD 又∵有公共点 B,∴A、B、D 三点共线.

题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念 例 1 给出下列命题: ①若 |a|= |b |,则 a= b;②若 A, B, C, D 是不共线的四 → = DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 点,则AB 件;③若 a= b,b= c,则 a= c;④ a= b 的充要条件是 |a | = |b|且 a∥ b;⑤若 a∥ b,b∥ c,则 a∥ c.其中正确的序号 是 ________.

解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不 一定相同. → =DC → ,∴|AB → |=|DC → |且AB → ∥DC →, ②正确.∵AB 又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平 → ∥DC → 行四边形; 反之, 若四边形 ABCD 为平行四边形, 则AB → |=|DC → |,因此,AB → =DC →. 且|AB ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得 到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必 要不充分条件.⑤不正确.应考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.

答案

②③

探究提高 关键.

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的

(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解 题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系是: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

变式训练 1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明 理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且 |a|= |b |,则 a>b; (2)若 |a |= |b |,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若 |a |= |b |,且 a 与 b 方向相同,则 a= b; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量 a 与向量 b 平行, 则向量 a 与 b 的方向相同或相反; → 与向量CD → 是共线向量,则 A,B,C,D 四点在 (6)若向量AB 一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等.



(1)不正确,因为向量只讨论相等和不等,而不能比

较大小.(2)不正确,因为向量模相等与向量的方向无关. (3)正确.(4)不正确,因为规定零向量与任意向量平行. (5)不正确,因为两者中若有零向量,零向量的方向是任 → 与CD → 共线,而 AB 与 CD 可以 意的.(6)不正确,因为AB 不共线即 AB∥ CD.(7)正确.(8)不正确,因为零向量可以 与它的相反向量相等.

题型二

平面向量的线性运算 → =a,OB → =b 为边 例 2 如图,以向量OA 1→ → 1→ → 作?OADB,BM= BC,CN= CD,用 3 3 → 、ON → 、MN →. a、b 表示OM

→ +BC → =AC → ,AB → =OB → -OA →. 思维启迪:利用公式:AB 1→ 1 1 → → → → 解 ∵BA=OA-OB=a-b,BM=6BA=6a-6b, 1 5 → → → → =a+b, ∴OM=OB+BM= a+ b.又OD 6 6 1→ 1→ 1→ 2→ 2 → → ∴ON=OC+3CD=2OD+6OD=3OD=3(a+b). 2 2 1 5 1 1 → → → ∴MN=ON-OM=3a+3b-6a-6b=2a-6b. 1 5 2 2 1 1 → → → 即OM=6a+6b,ON=3a+3b,MN=2a-6b.

探究提高

在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四

边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利 用三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的 性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来 求解.

2→ → 变式训练 2 △ ABC 中,AD= AB, 3 DE∥ BC 交 AC 于 E, BC 边上的中 → = a,AC → = b, 线 AM 交 DE 于 N.设AB → 、BC → 、DE → 、DN →、 用 a、 b 表示向量AE → 、AN →. AM

→ ∥BC → ? DE ? 2→ 2 解 2 → ??AE=3AC=3b, → AD=3AB? ? → =AC → -AB → =b-a. BC 2→ 2 → 由△ADE∽△ABC,得DE= BC= (b-a). 3 3

又 AM 是△ ABC 的中线, DE∥ BC, 1→ 1 → ∴DN= DE= (b- a). 2 3 1 → 又AM= (a+b), 2 △ ADN∽△ ABM ? ? → 2→ 1 ??AN= AM= (a+b). 2→ → 3 3 AD= AB ? 3 ?

题型三 例3

平面向量的共线问题

→ = 2e - 8e , → 设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB CB 1 2 → = 2e - e . = e1+ 3e2,CD 1 2 (1)求证: A、 B、 D 三点共线; → = 3e - ke ,且 B、 D、 F 三点共线,求 k 的值. (2)若BF
1 2

→ ,观察AB → 、BD → 的关系,用BD → 思维启迪:(1)求向量BD →. 线性表示AB → 与BF → 共线,可得BD → =λBF → ,构建方程组求解. (2)由BD

解 (1)由已知得 → =CD → -CB → = (2e - e )- (e + 3e )= e - 4e , BD 1 2 1 2 1 2 → = 2e - 8e , ∵AB
1 2

→ = 2BD → ,又AB → 与BD → 有公共点 B. ∴AB ∴ A、 B、 D 三点共线. → = e - 4e ,由BF → = 3e - ke ,且 B、 D、 F (2)由 (1)可知BD 1 2 1 2 → = λBD → ,即 3e - ke = λe - 4λe 三点共线,得BF
1 2 1 2

? ?λ= 3 得? ? ?- k=- 4λ

,解得 k= 12.

探究提高

(1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存

在唯一实数 λ,使 b=λa.要注意通常只有非零向量才能表 示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想 的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有 公共点时,才能得出三点共线.

变式训练 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → =a+b,BC → = 2a+8b,CD → =3(a-b). (1)若AB 求证: A、 B、 D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.
→ =a+b, → =2a+8b, → =3(a-b), (1)证明 ∵AB BC CD → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b) ∴BD →. =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB → 、BD → 共线, ∴AB 又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线.

(2)解

∵ ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ,

使 ka+b= λ(a+ kb),即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴ k2-1=0. ∴k=± 1.

思想与方法 9.用方程思想解决平面向量的线性运算问题 试题:(12 分)如图所示,在△ABO 中, 1→ → 1→ → OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 相交 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 于点 M,设OA →. 表示向量OM

审题视角 中去.

(1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量

解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形 → 能用 a、b 表示,那我们不妨设出 OM → =ma+nb. (2)既然OM (3)利用共线定理建立方程,用方程的思想方法求解.

规范解答 → =ma+nb, 解 设OM → =OM → -OA → =ma+nb-a=(m-1)a+nb. 则AM 1→ → 1 → → → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 → 与AD → 共线. 又∵A、M、D 三点共线,∴AM → =tAD →, ∴存在实数 t,使得AM ? 1 ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2 ? ?m-1=-t ∴? ,消去 t 得,m-1=-2n, t n= ? 2 ? 即 m+2n=1. ①

[2 分]

[4 分]

[6 分]

? 1? 1 → → → 又∵CM =OM-OC=ma+nb- a=?m-4?a+nb, 4 ? ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b. 4 4 → 与CB → 共线. 又∵C、M、B 三点共线,∴CM [8 分]

→ =t CB →, ∴存在实数 t1,使得CM 1 ? ? 1 ? 1? ∴?m-4?a+nb=t1?-4a+b? ? ? ? ? 1 1 ? ?m- =- t1 4 4 ∴? ,消去 t1 得,4m+n=1. ? ?n=t1 1 3 1 3 → 由①②得 m= ,n= ,∴OM= a+ b. 7 7 7 7

②[10 分] [12 分]

批阅笔记

(1)本题考查了向量的线性运算, 知识要点清楚,

但解题过程复杂,有一定的难度. (2)学生的易错点是,找 不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解. (3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一 个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时, 多数习题要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面向 量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视 A、M、D 共线 和 B、 M、 C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题 的关键,要注意体会.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1.将向量用其它向量 (特别是基向量)线性表示,是十分重 要的技能,也是向量坐标形式的基础. → 2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题. 如AB → 且 AB 与 CD 不共线,则 AB∥ CD;若AB → ∥BC → ,则 ∥CD A、 B、 C 三点共线. 失误与防范 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量 的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向 量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所 求向量的相反向量,导致错误.
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