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=8[1].线面角


线面角的计算 例题 1、求边长都相等的正四面体与正四棱锥的侧棱与底面的夹角.

练习 1 、 PA, PB, PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60 ,那么直线

0

PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是

?ACB ? 120 , 例题 2、 如图,DC ? 平面 ABC ,EB / / DC ,AC ? BC ? EB ? 2DC ? 2 ,
?

P, Q 分别为 AE , AB 的中点.
(I)证明: PQ / / 平面 ACD ; (II)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

练 习 1 、 如 图 , 在 四 棱锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD是 矩 形 , PA ? 平 面 ABCD, PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成角的正切值; P (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.
M

A

D

O B C

例题 3、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的余弦 值为

练习 1、 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 各棱长相等, 侧掕垂直于底面, 点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30
?

)

B. 45

?

C. 60

?

D. 90 .

?

练习 2、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

练习 3、如图,组合体的底面 ABCD 为正方形,PD ? 平面ABCD ,EC//PD,PD=2EC 求证:BE//平面 PDA 若

PD ? 2 , 求DE与平面PDB所成角的正弦值。 AD
P

E

D

C B

A

AC ? 6 3, BC ? CD ? 6 , 练习 7、 如图, 在三棱锥 A—BCD 中, ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? ,
设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . (1)求证:BC=DE; (2)求 CE 与平面 ACD 所成角的大小。

练习 8、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°,E 为线段 AB 的中线,将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE,使平面 A′DE⊥平面 BCD,F 为线段 A′C 的中点. (Ⅰ)求证:BF∥平面 A′DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值.

例题 4、在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是正方形,AF ? 平面 ABCD,DE//AF,AB=DE=2 (1)求证:BE ? AC; (2)点 N 在棱 BE 上,点 BN 的长度为多少时,直线 CN 与平面 ADE 成 30°的角?

E

F

D

C

A

B

练习 1、在四棱锥 P-ABCD 中,PD ? 平面 ABCD,四边形,ABCD 为菱形,AC=6,BD= 6 3 ,E 是 PB 上任意一点。 (1)求证:AC ? DE; (2)当 ? AEC 面积的最小值为 9 时, 在线段 BC 上是否存在点 G, 使 EG 与平面 PAB 所成角的 正切值为 2?若存在求出 BG 的值,若不存在,说明理由

练习 2、已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 为正三角形, AA1 ? 平面 ABC ,

BC ? 2 BB1 ? 2 2 , O 为 BC 中点. (Ⅰ)求证: A1 B / / 平面 AOC1 ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 AOC1 所成角的正弦值.

A

A1

B
O C

B1

C1

练习 3、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且

PA ? AD ? 1 , AB ? 2 , ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? ,
(Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
P

D

C

A

B

练习 4、在多面体 ABCDE 中,AE ? 平面 ABC,AE//BD,AB=BC=CA=BD=2AE=2. (1)求证:平面 EDC ? 平面 BDC; (2)设 F 为 AB 的中点,求直线 CF 与平面 EDC 所成角的正弦值。

D E F A C B


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