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江西省上高二中、宜春一中等四校2016届高三上学期联考试题 数学(理)


2016 届高三联考数学(理科)试卷
命题人:邹风 (宜春一中) 审题人:刘学德(宜春一中)

一.选择题:每小题 5 分,共 12 小题,总分 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1.已知集合 A. 2.“

,集合 B. C.



>,则集合 D. 的切线”的(

等于(



”是“直线

能成为圆 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ;命题

) .

A.充分必要条件 C.必要不充分条件 3 .已知命题 ( A. ) B.

,则下列命题中为真命题的是

C.

D.

4. 已知复数

为纯虚数 (

, 为虚数单位) , 则





A.4 5. 分别是 ( )

B.2 的中线,若

C. ,且

D.0 与 的夹角为 ,则

A.

B.

C.

D.

6.在等差数列 最大的是( )

中,其前 n 项和是 Sn,若

,则在



A.

B.

C.

D.

7.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B) ,直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②OC⊥平面 PAC; ③MO∥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是( ) . A.①② 8. 已知抛物线 ( A. 1 9. 设△ ) B.2 的内角 、 C.3 、 D.4 所对的边分别 , 表示△ 的面积,若 B.①③ 上的两点 C.③④ 满足 D.②④ , 则弦 中点到 轴的最小距离为

, A.90° 10.设 B.60° 是定义在

,则角

等于( C.45° , 都有

) D.30° , 且当 时,

上的偶函数, 对

.若在区间 同实根,则 的取值范围是( A. 11.已知三棱锥 当 与 B.

内关于 的方程 ) C. D.

恰有 3 个不

的顶点 A,B,C 都在半径为 2 的球面上,O 是球心, 的面积之和最大时,三棱锥 的体积为( )



A、

B、

C、

D、

12.已知双曲线 足 A. 2 , B. 3 C.

的左右焦点分别为



,

为双曲线上一点,且满 )

的等比中项,则该双曲线的离心率为( D.

二.填空题:每小题 5 分,共 4 小题,总分 20 分.

13. 设

满足约束条件

,若目标函数

的最大值为

,则

的图

象向右平移

后的表达式为___________.

14.棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,



的最小值为



15.已知数列 一奇数, 16.设过曲线 线

的各项均为正整数, 其前 项和为 ,则 .

, 若





( 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 ,总存在过曲 上一点处的切线 ,使得 ,则实数 的取值范围为 .

三.解答题:本大题共 5 小题,60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本题满分 12 分)已知数列

的首项



(Ⅰ)求证:数列

为等比数列;

(Ⅱ) 记

,若

,求最大正整数 .

18. . (本题满分 12 分)设

,函数

满足

. (Ⅰ)求 的单调递减区间;

(Ⅱ) 设锐角△ 求

的内角

、 、 所对的边分别为 、 、 , 且



的取值范围. 19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 , 是棱 . (Ⅰ)求证: 平面 ,求 ; 的长. 上的动点, 是 中点, 中, ,

(Ⅱ)若二面角

的大小是

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 (Ⅰ)求椭圆 (Ⅱ)设 的方程; ,过点



的离心率为 相切.

,以原点为圆心,

作与 轴不重合的直线 交椭圆





两点,连接



分别交直线





两点,若直线



的斜率分别为



,试问:

是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 在点 处的切线与直线

, 平行.

. 已知曲线

(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 ,使得方程 在 内存在唯一的根?

如果存在,求出 ;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 较小值) ,求 的最大值. (min 表示 中的

四.选做题:本小题满分 10 分。请考生以下三题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一 题记分。 22.如图所示, 是 的直径, 切 于点 , , 交 于点 , 的延长线交 于点 , 的延长线交 于点 . (1)求证: (2)若 的直径 ; ,求 的值.

23.已知直线 的参数方程为 为极轴建立极

( 为参数) ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴

坐标系,圆 (1)求圆

的极坐标方程为 的直角坐标方程;



(2)若 24.设函数 (1)若不等式 (2)若存在

是直线 与圆面 . 的解集为 ,使

的公共点,求

的取值范围.

,求 的值; ,求 的取值范围.

2016 届高三(理科)联考数学试卷参考答案

一.选择题

DACAC
(13)

BCBDA
(14)

BD
(15)4725 (16)

二.填空题 一.解答题

17.试题解析:

(I)

,且

数列

为等比数列.??????????????????????6 分 .

(2) (Ⅱ)由(I)可求得











??????????????12 分

18.试题解析:

(I)

???? 2 分



得:

,∴

????????4 分



????????5 分



得:





的单调递减区间为:

????????6 分

(II)∵

由余弦定理得: 即 ,

,????????????????7 分

由正弦定理得:

,???????????8 分



,∴

9分

∵△

锐角三角形,∴



??????11 分

∴ 19.试题解析: (Ⅰ)证明:∵三棱柱 又∵ ∵ 又∵ ∩ 平面 ,

的取值范围为



?????????? 12 分

是直棱柱,∴ ,∴ , . 是 中点,∴ .

平面





, ∴

平面

????????????????5 分

(Ⅱ)以 系 则 设 则

为坐标原点,射线 , , ,平面 , , . 的法向量 .



轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标







.于是

所以 ∵ 三棱柱 又∵ ∴ ∴ ∵二面角 平面 .∵ 平面



,则 是直棱柱,∴ ,∴ ∩ .∴ 的大小是 , 是平面 , 的法向量, . .∵ 平面 . ,

∴ ????????????12 分

20.试题解析: (I)由题意得

解得

故椭圆

的方程为

.??????????????????????5 分

(Ⅱ)设 得



,直线 .

的方程为

,由





,????????????????6 分







三点共线可知,

,所以



同理可得 ????????????????????????8 分

所以 因为

.??????????9 分 ,

所以 所以

. 是定值????????????????????????????12 分

21.试题解析: (Ⅰ)由题意知,曲线 在点 处的切线斜率为 ,所以 ,

又 (Ⅱ) 时,方程

所以

.????????????????????3 分 在 内存在唯一的根.

设 当 时, .

又 所以存在 ,使 .

因为 , 所以当 所以 时, 时,方程

所以当

时,

, 当

时,

单调递增. 在 内存在唯一的根.??????????7 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程



内存在唯一的根

,且

时,

, 当 时,若

时,

,所以







可知





时,由 时,

可得 单调递减;

时,

单调递增;

可知





综上可得:函数

的最大值为

.??????????????????12 分 ,从而得到 ,进而证得

22. 试题分析: ( 1 )由弦切角定理得

; (2)由切割线定理,得 得 ,再结合(1)求得 为 的切线, ,

,从而求得 的值,即为 是弦,∴

的长,又根据 的值. ,



试题解析: (1)∵ ∵ ,∴△





∵ (2)∵

,∴ 切 于点

.????????????????????????5 分 , 为 的割线,则有 ,



,∴





,∴







的直径,∴∠

,由(1)中证得





中,

.????????????????????10 分

23 . 试 题 解 析 :( 1 ) 因 为 圆

的 极 坐 标 方 程 为

, 所 以

,又 以 ,所以圆 的普通方程 ?????5 分

,所

(2) 由 是直线 与圆面 , 最小值是 24. 试题解析: (1)由题意可得

, 解得 的公共点,∴点 在线段

, 上,∴

∵ 的最大值是

,∴ 可化为

的取值范围是

.????10 分 ,

,解得

???????????????????????????5 分

( 2 )令 值为 ,

,所以函数

最小

根据题意可得

,即

,所以 的取值范围为

???????10 分 .


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