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简谐振动(于万堂)


简谐振动
【简介】 :简谐运动是最简单的振动形式,任何复杂的振动都可以分解成若干个简谐振动, 判断一个振动是否是简谐运动的依据,从受力上来看:满 足回复力 F ? ?kx 。该条件是简谐运动的充要条件。 质点以角速度 ? 沿着半径为 R 的圆轨道做匀速圆周运动, 试证明:质点在某直径上的投影的运动是简谐振动。 (提示:从受力分析入手,从而可以分析速度、加速度、 动能、势

能以及总能量)

?

?

y
Fx

F

Fy

x

【数学方法】 从振子振动的起始位置可以很容易知道运动的方程, 如果从正向位移最大处开 始计时,那么运动方程为 x ? A cos ?t (思考如果从正向最大位移的一半的位置开始计时, 运动方程又该如何? 则v ?

dx ? ? A? sin ?t dt

a?

dv ? ?a? 2 cos ?t dt

【总结例 1】一个圆周运动可以分解为两个互相垂直的简谐运动,反之,任何一个简谐振动 也可以回归于某一个匀速圆周运动, 这个圆叫做简谐运动的参考圆, 利用参考圆来描述简谐 运动是我们常用的一种方法。 【利用回复力的特征来判断简谐运动】 例 1、如图所示,假想在地球表面的 A、B 两地之间开凿一直通隧 道, A 处放置一个小球, 在 小球在地球引力的作用下从静止开始在 隧道内运动,忽略一切摩擦阻力,试求小球的最大速度,以及小球 从 A 运动到 B 所需要的时间, 已知地球半径为 R, 地球半径为 R, A 和 B 之间的直线距离为 L,地球内部质量密度均匀, 不考虑地球的 自转.

【类比】 若沿地球两极间的地轴钻一个洞,当一物从北极无初速地落入这无底洞时,物体将如何运 动?到达南极的时间是多少?

例 2、有一粗细均匀的 U 型管中装有一定质量的水,水柱的总长度为 L,受 扰后水在管中振动,忽略管壁对水运动的阻力,求振动的周期

4、单摆 1、等效重力加速度 g
'

确定等效重力加速度 g ? 的方法: ①确定摆球振动的平衡位置 ②确定此时摆线的拉力 F ③等效重力加速度 g ? ?

F m

例 4、例如在一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在水平地面上运动,如 果摆球的质量为m,那么该单摆的简谐振动的周期为多大?

例 5、摆线长为 l 的单摆置于架子上,架子固定在小车上,使小车沿着倾角为 ? 的斜面以加 速度 a 做匀加速运动,求此时单摆振动的周期?

【练习】 1、 质量为 10g 的物体做简谐振动,振幅为 24cm,周期为 4s,当 t=0 时坐标为+24cm。试 求: (1)当 t=0.5s 时物体的位置。 (2)当 t=0.5s 时作用在物体上力的大小和方向。 (3) 物体从初始位置到 x ? ?12cm 处所需的时间。 (4)当 x ? ?12cm 时物体的速度。

2、 一物体在水平面上做简谐振动,振幅为 10cm,当物体离开平衡位置 6cm 时,速度为 24cm/s,(1)周期是多少?(2)当速度为 ? 12cm / s 时,位移是多少? (3)如果在振动的物体上加一小物体,当运动到路程的末端时,小物体相对于物块刚要开 始滑动,求它们之间的摩擦系数。

3、三根长度均为 L ? 2m ,质量均匀的直杆,构成一正三角形框 架 ABC,C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动, 杆 AB 是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动, 现观察到松鼠 正在导轨上运动,而框架静止不动,试论证松鼠的运动是一种什 么样的运动?

C

A

B

4、质量为 m 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上,设轮与木板间摩擦因数为

l ? ,两轮间距离 l ,平衡时长木板重心在 ,若将木板 2
稍微拉过一小段后放手,则木板将在轮上作往复运动, 这种振动是简谐振动吗?若是,求周期?

5、质量为 M 的小平板固定在劲度系数为 k 的轻弹簧上,弹 簧的另一端固定在地上, 有一质量为 m 的小球沿入射 角 ? 方向以速度 v0 射向小平板,并发生完全弹性碰 撞,忽略一切摩擦,求碰撞后小平板的振动方程?


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