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山西省朔州市平鲁区李林中学2013届高三2月月考数学(理)试题


(考查时间:120 分钟) 命题人:王会平 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

审核:高三数学组

1.已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? x y ? lg(2 x ? x 2 ) , M ? N 为( A. (1, 2)
x

?

?

>
?

?

)

B. (1, ??)

C. [2, ??)

D. [1, ??)

2.命题“ ?x ? R,e ? x ”的否定是( ) x x A、 ?x ? R,e >x B、 ?x ? R,e ≥ x C、 ?x ? R,e x ≥ x D、 ?x ? R,e x>x 3.已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,各项和为 210,则此等差数列的项数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务” 、 “进敬老院” 、 “参观工厂” 、 “民俗调查” 、 “环保宣 传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环 保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天, “民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是( ) A.48 B.24 C.36 D.64 5.设 f (sin ? ? cos ? ) ? sin ? cos ? ,若 f (t ) ?

1 ,则 t 的值为 ( 2
D. ?



A.

2 2

B. 2

C. ?

2 2

2

x?2 ) ? a 在区间 ?1, 2 ? 内有零点,则实数 a 的取值范围是( x A. (?1,? log 3 2) B. (0 , log 3 2) C. (log 3 2 ,1) D. (1, log 3 4) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7.已知点 P 是 ?ABC 所在平面内一点,则 PA ? PB ? PC ? AB 是点 P 在线段 AC 上的(
6.设函数 f ? x ? ? log 3

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设 a, b, m 为整数 (m ? 0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a ? b(mod m) .
1 2 3 20 已知 a ? 1 ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ? ? C20 ? 219 , b ? a (mod10) ,则 b 的值可以是(



A.2015

B.2011 C.2008 D.2006 ? x ? y ≥1 ? 9.若 x, y 满足 ? x ? y ≥ ?1 且 z ? ax ? 2 y 仅在点 (1, 0) 处取得最小值,则 a 的取值范围是( ?2 x ? y ≤ 2 ? A. (?1, 2) B. (?2, 4) C. (?4, 0] D. (?4, 2) 10. 已 知 函 数 f ( x) ?

)

x ? ? ? 的 定 义 域 为 (? , ) , 当 xi ? (i ? 1,2,3) 时 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , 2 2 cos x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ? 0 , f ( x3 ) ? f ( x1 ) ? 0 则有(
B. f ( x1 ? x2 ? x3 ) ? 0 D. x1 ? x2 ? x3 ? 0 ) D.2

A. x1 ? x2 ? x3 ? 0 C. f ( x1 ? x2 ? x3 ) ? 0

11.设 A, B, C , D 是半径为 2 的球面上四个不同的点,且满足 AB ? AC ? 0 , AD ? AC ? 0 , AB ? AD ? 0 , 则 S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD 的最大值为( A.16
2

??? ? ????

???? ????

??? ? ????

B.8
2

C.4

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T ,延长 FT 交双曲 2 a b 线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点, O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为( )
12.从双曲线 A. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a D.不确定.

O ,D OP AB ? ? BC ? kPA

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.已知实数 x ? [1,9] ,执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为 .

开始 输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 Y

14 . 设 函 数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x 2 ? ? ? an x n ?1 , 若 已 知 且 数 列 {an } 满 足 f (1) ? n 2 an (n ? N * ) , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式

f (0) ?

1 , 2

an ? __________.
15. 已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 交于不同的两点
2 2

??? ? ??? ? ??? ? A 、 B , O 是坐标原点, OA ? OB ? AB ,那么实数 m 的

N 输出 x
(第 13 题)

取值范围是________. 16. 给出下列六个命题: ①函数 f ( x) ? ln x ? 2 ? x 在区间 (1, e) 上存在零点; ②若 f ?( x 0 ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处取得极值; ③若 m ? ?1 ,则函数 y ? log 1 ( x ? 2 x ? m) 的值域为 R ;
2 2

结束

a ? ex ④“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件; 1 ? ae x ⑤函数 y ? f (1 ? x) 的图像与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于 y 轴对称;
⑥满足条件 AC ? 3 , ?B ? 60 , AB ? 1 的 ?ABC 有两个. 其中正确命题的序号是 。 三、解答题:
?

17.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? (I)求角 C 的大小; (II)若 ?ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

sin A ? sin B . cos A ? cos B

18.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那么 至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

19( 本 小 题 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , , 点 分别是 AC 、PC 的中点, (I)求证: OD // 平面PAB

, 底面 ABC

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成的角的正弦值; 2 (Ⅲ)当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心?
(II)当 k ?

? ???? ? 线 PQ ,垂足为 Q ,点 M 满足 PM ? ?
(I)求曲线 C 的方程;

20.(本小题满分 12 分)已知两定点 E ? 2, 0 , F

???? ? 2 ? 1 MQ ,点 M 的轨迹为 C .

?

? ?

??? ? ??? ? 2, 0 ,动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂

?

(II)若线段 AB 是曲线 C 的一条动弦,且 AB ? 2 ,求坐标原点 O 到动弦 AB 距离的最大值. 21(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0且x ? 1) ln x (I)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (II)若 ?x1 , x2 ? [e, e 2 ] ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? 足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上的动点,P 点满 ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A ,与 C2

三、解答题: 17、解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . ??????4 分 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? . ????6 分 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , ?????7 分

故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? .??10 分 ? 2? 3 3 2 ? ? 由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 , 3 3 3 3 2 2 2 3 3 故 ? a ? b ≤ .???????????12 分 4 2 18、解: (1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

8 2 = 20 5

根据茎叶图,有“甲部门”人选 10 人, “乙部门”人选 10 人。

2 2 “乙部门”人选有 10 ? =4 人--------3 分 =4 人, 5 5 19 解:方法一: (Ⅰ)∵O、D 分别为 AC、PC 中点,? OD∥PA 又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB …………(2 分) (Ⅱ)? AB ? BC,OA ? OC, ? OA ? OB ? OC,
所以选中的“甲部门”人选有 10 ?
P 又 ? OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC. 取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE D 作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC F . (5 分) ? ?ODF 是OD与平面PBC所成的角.. O C A 又 OD∥PA , E B ? PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF , OF 210 在Rt ?ODF中, sin ?ODF ? ? , OD 30 210 ? PA与平面PBC所成的角为 arcsin . ……………(8 分) 30 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, OF ? 平面PBC , ∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影 ∵D 是 PC 的中点,若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD, . (10 分) ? OB ? PC ,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1 ………. 反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心…………. . (12 分) 方法二:? OP ? 平面ABC , OA ? OC , AB ? BC ,? OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP. 以 O 为 原 点 , 射 线 OP 为 非 负 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz ( 如 图 ) 设 AB ? a, 则

? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 , A? a , 0, 0 , B 0, , 0 , C ? , 0, 0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 设 OP ? h ,则 P ? 0, 0, h ?
(Ⅰ)? D 为 PC 的中点,? OD ? ? ? 又 PA ? ?

??? ?

? ? ?

? 2 1 ? a , 0, h? ? 4 ?, 2 ? ? ? ??? ? ? ???? 2 1 ??? ,? OD∥平面PAB a, 0, ?h ? , ? OD ? ? PA , ? OD // PA ? 2 2 ? ????

??? ? ? 2 1 7 7 ? ,即 PA ? 2a,? h ? a,? PA ? ? a , 0, ? a? ? 2 ?, 2 2 2 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? PA ? n 210 1? ? ? ? 可求得平面 PBC 的法向量 n ? ? 1, ?1, ? ,? cos? PA, n? ? ??? , ? ? ? 30 7 | PA | ? | n | ? ?
(Ⅱ)? k ?

设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos? PA, n? |? (Ⅲ)?PBC 的重心 G ? ?

??? ? ?

210 , 30
P D

? 2 2 1 ? , ? 6 a, 6 a, 3 h ? ? ? ? ???? ??? ? ? OG ? 平面PBC ,? OG ? PB ,
A

z

???? ? 2 2 1 ? , ? OG ? ? ? ? 6 a, 6 a, 3 h ? ? ? ?
C


x

O B

y

??? ? ? ? 1 2 1 2 ? ???? ??? 2 2 PB ? ? 0, a , ? h , ? OG ? PB ? a ? h ? 0,? h ? a, ? ? 2 ? 6 3 2 ? ?

? PA ? OA2 ? h 2 ? a ,即 k ? 1 , 反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心

21 解: (1)因 f(x)在 (1, ??) 上 为减函数,
1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. 故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)

??????2 分

所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)

? 1 ?a, ? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 2? 4
2

2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . ln x 2 4 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 ?????6 分

(2)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e,e2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. ???7 分

由(1) ,当 x ? [e,e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e,e2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4 , f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数, 10 当 a ? 1 时,由(1) 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

???8 分

???10 分
2

20 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 4 ln x 2

?

? a 在 [e,e ] 上为增函数, ? ?1 4
2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 (i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合. 4 ??12 分

(ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?

x0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e2 ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合. ???15 分 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e ????????16 分

? ? (23)解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?, ?2 2?
x y x ? ?2=2cosα , 由于 M 点在 C 上,所以? y ?2=2+2sinα . ?
1

从而 C2 的参数方程为?

?x=4cosα , ? ?y=4+4sinα . ?

(α 为参数) 。 。 。 。 。 。 。5 分

π (2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4sinθ , 曲线 C2 的极坐标方程为ρ =8sinθ .射线θ = 与 C1 的交点 A 的极 3 π 径为ρ 1=4sin , 3 π π 射线θ = 与 C2 的交点 B 的极径为ρ 2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 3 x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .

故不等式 f ? x ? ? 3 x ? 2 的解集为 ? x | x ? 3或x ? ?1? .。 。 。 。 。 。5 分

(Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?

x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3x ? 0 ?x ? a ?x ? a ? ? 即 ? 或? a a x? x?? ? ? ? 4 ? 2 a? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2? ? a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 2


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