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浙江省衢州二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省衢州二中高一(上)期中数学试卷
一.选择题: (12×3=36 分) 1. (3 分)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩(?NB)=() A.{1,2,3} B.{1,3,9} C.{1,5,7} D.{3,5,7} 2. (3 分)已知集合 A= A.{y|﹣2≤y≤2} B.{x|x≥﹣1}
﹣2

,则 A∩B=() C.{y|﹣1≤y≤2} , D.{x|x≥2}

3. (3 分)已知 a=0.3 , A.a>b>c B.a>c>b

,则 a,b,c 的大小关系是() C.c>b>a D.b>a>c

4. (3 分)关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< ,则 m 的取值范围是() A.m< B.m>0
|x|

C.0<m<

D.0<m<2

5. (3 分)函数 f(x)=2 +ax+1 为偶函数,则 a 等于() A.a=﹣1 B.a=0 C.a=1 ,x∈[0,+∞)的值域为() B.(﹣1,1] C.[﹣1,+∞) ,则 f(4)=() C. 9

D.a>1

6. (3 分)函数 y= A.[﹣1,1)

D.[0,+∞)

7. (3 分)若 g(x)=1﹣2x,f[g(x)]= A. B.﹣27

D.

8. (3 分)已知函数 f(x)=

,若 f(x)≤9,则 x 的取值范围为()

A.(﹣∞,2]

B.[﹣2,3]

C.[﹣3,2]

D.[2,3]

9. (3 分)a,b∈R,记 min 值()

,函数 f(x)=min{2﹣x ,x}(x∈R)的最大

2

A.1

B.
2

C.

D.2

10. (3 分)已知函数 f(x)=mx ﹣2(3﹣m)x+4,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x) 与 g(x)至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是() A.(0,3] B.(0,9) C.(1,9) D.(﹣∞,9] 11. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是 ()

A.

B.

C.

D.

12. (3 分)已知 f(x)=x ﹣2|x|,则满足 f[f(x)]=﹣ 的实数 x 的个数为() A.2 B. 4 C. 6 D.8

2

二.填空题: (5×3=15 分) 13. (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f(﹣1)]=.

14. (3 分)函数

的单调增区间是.

15. (3 分)若奇函数 f(x) (x∈R)满足 f(2)=2,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)的值 是. 16. (3 分)若 x>0,y>0,且满足 4x+y=xy,则 x+y 的最小值为. 17. (3 分)已知函数 f(x)=x +x,当 x∈[3,6]时,不等式 f(x +6)≥f[(m﹣3)x+m]恒成 立,则实数 m 的最大值为.
3 2

三.解答题(8+9+10+10+12=49 分) 18. (8 分)计算下列各题:

(Ⅰ)求值:

; (Ⅱ)若 x= ,求值: .

19. (9 分)设集合 A={x|

<16},B={x|

>0},C={x|x ﹣2mx+m+2=0},

2

(Ⅰ)求 A∩(?RB) ; (Ⅱ)若 A∩C=?,求实数 m 的取值范围. 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x.现已画出 函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,并根据 (1)写出函数 f(x) (x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x) (x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]) ,求函数 g(x)的最小值.
2

21. (10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,f(1)=2,且不等式 f(x)≥3x﹣1 对 x∈R 恒成立. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; 2 (Ⅱ)若方程 f(x)=2kx﹣k +3 的两根为 x1,x2,且满足 x1+1=2x2,求实数 k 的值. 22. (12 分)已知函数 .

(1)若 a=6,写出函数 f(x)的单调区间,并指出单调性; (2)若函数 f(x)在[1,a]上单调,且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立,求 a 的取值范围; (3)当 a∈(1,6)时,求函数 f(x)的最大值的表达式 M(a) .

2014-2015 学年浙江省衢州二中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题: (12×3=36 分) 1. (3 分)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩(?NB)=() A.{1,2,3} B.{1,3,9} C.{1,5,7} D.{3,5,7} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求 B 的补集,再求交集. 解答: 解:A∩?NB={1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,…}={1,5, 7}. 故选:C. 点评: 本题考查了集合的运算,属于基础题. 2. (3 分)已知集合 A= A.{y|﹣2≤y≤2} B.{x|x≥﹣1} C.{y|﹣1≤y≤2} ,则 A∩B=() D.{x|x≥2}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解函数的定义域和值域化简集合 A 与 B,然后直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A={x|
2

}={x|x≤﹣2 或 x≥2},

B={x|y=x ﹣2x}={y|y≥﹣1}, ∴A∩B={x|x≥2}. 故选:D. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了函数的定义域和值域的求法,是基础题.
﹣2

3. (3 分)已知 a=0.3 , A.a>b>c B.a>c>b



,则 a,b,c 的大小关系是() C.c>b>a D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵
﹣2



<1,

a=0.3 >1, ∴a>c>b, 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数的单调性,属于基础题.

4. (3 分)关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< ,则 m 的取值范围是() A.m< B.m>0 C.0<m< D.0<m<2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与二次函数之间的关系,可知 m>0,并且对于方程的两根为 ,解之即可. 解答: 解:由已知关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< , 可得 m>0 并且 ,解得 0<m< ;

故选 C. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法以及三个二次之间的关系,属于基础题. 5. (3 分)函数 f(x)=2 +ax+1 为偶函数,则 a 等于() A.a=﹣1 B.a=0 C.a=1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 运用偶函数的定义,通过计算即可得到 a. |x| 解答: 解:函数 f(x)=2 +ax+1 为偶函数, 则 f(﹣x)=f(x) , 即为 2 ﹣ax+1=2 +ax+1, 即有 2ax=0, 则 a=0, 故选 B. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断和运用,考查运算能力,属于基础题. ,x∈[0,+∞)的值域为() B.(﹣1,1] C.[﹣1,+∞) D.[0,+∞)
|﹣x| |x| |x|

D.a>1

6. (3 分)函数 y= A.[﹣1,1)

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可将原函数转化为部分分式的形式,然后根据函数的定义域,求出相应代数式 的取值范围,得到本题结论. 解答: 解:∵x∈[0,+∞) , ∴x+1≥1, ∴ ,

∴ ∴ ∴函数 y= =

, , 的值域为:[﹣1,1) .

故选 A. 点评: 本题考查了函数的值域,本题难度不大,属于基础题. 7. (3 分)若 g(x)=1﹣2x,f[g(x)]= A. B.﹣27

,则 f(4)=() C. 9 D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 1﹣2x=t,则 x= ,从而 f(t)= ,由此能求出 f(4) . ,

解答: 解:∵g(x)=1﹣2x,f[g(x)]=f(1﹣2x)= 设 1﹣2x=t,则 x= ,

∴f(t)=



∴f(4)=

=

=3



故选:D. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

8. (3 分)已知函数 f(x)=

,若 f(x)≤9,则 x 的取值范围为()

A.(﹣∞,2]

B.[﹣2,3]

C.[﹣3,2]

D.[2,3]

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,分 x≥0 与 x<0 讨论求不等式的解集. 解答: 解:由题意,当 x≥0 时, x 3 ≤9, 故 0≤x≤2;

当 x<0, 则 x ≤9, 则﹣3≤x<0, 综上所述,﹣3≤x≤2; 故选 C. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题.
2

9. (3 分)a,b∈R,记 min 值() A.1 B.

,函数 f(x)=min{2﹣x ,x}(x∈R)的最大

2

C.

D.2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意得出 f(x)= ,运用图象判断即可.

解答: 解:∵a,b∈R,记 min

,函数 f(x)=min{2﹣x ,x}(x∈R) ,

2

∴f(x)=



f(1)=1,

据图象可知最大值为:1. 故选:A 点评: 本题考查了最小值的概念,函数的图象的运用,属于中档题,关键是画图象. 10. (3 分)已知函数 f(x)=mx ﹣2(3﹣m)x+4,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x) 与 g(x)至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是() A.(0,3] B.(0,9) C.(1,9) D.(﹣∞,9] 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由图象可判断 m≤0 时不合题意;当 m>0 时,x>0,g(x)>0 成立,只需 x≤0 时, f(x)>0 即可,分对称轴在 y 轴右侧、左侧两种情况讨论,借助图象可得不等式; 解答: 解:当 m≤0 时,由函数图象可知,不符合题意; 当 m>0 时,当 x>0,g(x)>0 成立, ∴只需 x≤0 时,f(x)>0 即可, ,符合题意,解得 0<m≤3;
2



,即有

,符合题意,解得 3<m<9;

综上所述,0<m<9. 故选 B. 点评: 该题考查一次函数、二次函数的单调性,考查不等式的求解,考查分类讨论思想. 11. (3 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是 ()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 去掉 y=f(|x﹣1|)﹣1 中的绝对值,讨论复合函数 y 的增减性. 解答: 解:∵y=f(|x﹣1|)﹣1= 数; ∴当 x≥1 时,y=f(x﹣1)﹣1 是增函数, 当 x<1 时,y=f(﹣x+1)﹣1 是减函数; ∴函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是第二个; ,且 f(x)是 R 上的增函

故选:B. 点评: 本题考查了复合函数的增减性问题,判定 f(g(x) )的单调性,当 f(x) 、g(x)单 调性相同时,f(g(x) )是增函数;当 f(x) 、g(x)单调性相反时,f(g(x) )是减函数. 12. (3 分)已知 f(x)=x ﹣2|x|,则满足 f[f(x)]=﹣ 的实数 x 的个数为() A.2 B. 4 C. 6 D.8
2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)=t,现在来求满足 f(t)= t≥0 时的 t,解出为 t= 解为 f(x)=﹣1﹣ ,或 ,f(x)= ,或 1﹣ 的 t,容易判断 f(t)为偶函数,所以可先求 的 ,

.根据偶函数的对称性知,t<0 时,满足 f(t)= ,f(x)=1

,而接着就要判断以下几个方程:f(x)=1

解的个数,由于 f(x)是偶函数,所以只需判断 x≥0 时以

上几个方程解的个数即可,而 x<0 时方程解的个数和 x≥0 时解的个数相同,最后即可得出满 足 f[f(x)]= 的实数 x 的个数.

解答: 解:易知 f(x)为偶函数,令 f(x)=t,则 f[f(x)]=﹣ 变形为 f(t)=﹣ ; t≥0 时,f(t)= ∵f(t)是偶函数; ∴t<0 时,f(t)=﹣ 的解为,t= 综上得,f(x)=1 当 x≥0 时, ,方程有 1 解; ,方程有 1 解; ,方程无解; ,方程有 2 解; ∴当 x≥0 时,方程 f(x)=t 有 4 解; ∵f(x)是偶函数,∴x<0 时,f(x)=t 也有 4 解; 综上所述,满足 f[f(x)]=﹣ 的实数 x 的个数为 8. 故选 D. , , ,或 ,﹣1+ ; ; ,解得 t= ,或 1﹣ ;

点评: 考查偶函数的概念及偶函数图象的对称性,以及解偶函数方程和判断偶函数方程解 的个数所用到的方法:只需求出 x≥0 时方程的解. 二.填空题: (5×3=15 分) 13. (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f(﹣1)]=2.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f(﹣1)=

=
2



f[f(﹣1)]=f( )=( ) =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用.

14. (3 分)函数

的单调增区间是(0,+∞) .

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用绝对值函数、指数函数、复合函数的单调性即可得出 解答: 解:因为 y= 为减函数,

设 u=﹣|x|+1 的单调减区间为(0,+∞) , 故函数 的单调增区间(0,+∞)

故答案为: (0,+∞) 点评: 本题考查了绝对值函数、指数函数、复合函数的单调性,属于基础题. 15. (3 分)若奇函数 f(x) (x∈R)满足 f(2)=2,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)的值 是 5. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x+2)=f(x)+2 可得 f(﹣1+2)=f(﹣1)+2 即 f(1)=f(﹣1)+2,根据 奇偶性可求出 f(1) ,从而求出所求. 解答: 解:∵f(x)满足 f(x+2)=f(x)+2, ∴f(﹣1+2)=f(﹣1)+2?f(1)=f(﹣1)+2,

因为 f(x)为奇函数,∴f(1)=f(﹣1)+2?f(1)=﹣f(1)+2?f(1)=1. 则 f(5)=f(3)+2=f(1)+4=5, 故答案为:5. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的性质,以及利用递推关系 f(x+2)=f(x)+f(2)进行 求解,解题的关键是求出 f(1)的值,属于中档题. 16. (3 分)若 x>0,y>0,且满足 4x+y=xy,则 x+y 的最小值为 9. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据 y= ,x>1,x﹣1>0,得出 z=x+y=x ,利用均值不等式求解.

解答: 解:∵x>0,y>0,且满足 4x+y=xy, ∴y= ,x>1,x﹣1>0 =(x﹣1) +5 =9

∴z=x+y=x

(x=3 时等号成立) 故答案为:9 点评: 本题考查了运用代入法解决两个变量的代数式的最值问题,利用基本不等式求解, 注意变量的范围. 17. (3 分)已知函数 f(x)=x +x,当 x∈[3,6]时,不等式 f(x +6)≥f[(m﹣3)x+m]恒成 立,则实数 m 的最大值为 6. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 利用函数的单调性把当 x∈[3,6]时,不等式 f(x +6)≥f[(m﹣3)x+m]恒成立转化 为
3 2 3 2

(3≤x≤6)恒成立,换元后利用函数的单调性得答案.

解答: 解:∵f(x)=x +x, 2 ∴f′(x)=3x +1>0, 3 ∴函数 f(x)=x +x 为 R 上的单调递增函数. 2 又 x +6≥6, 2 2 ∴不等式 f(x +6)≥f[(m﹣3)x+m]恒成立?x +6≥(m﹣3)x+m, 即 令 x+1=t(t∈[4,7]) , ∴ 在 t=1 时取得最小值 6, (3≤x≤6)恒成立,

∴实数 m 的最大值为 6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,训练了分离变量法,考查 了利用函数的单调性求最值,是中档题.

三.解答题(8+9+10+10+12=49 分) 18. (8 分)计算下列各题: (Ⅰ)求值:

; (Ⅱ)若 x= ,求值: .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)化小数为分数,化带分数为假分数,然后利用有理指数幂的运算性质化简求 值; (Ⅱ)把 x 开方得到 解答: 解: (Ⅰ) ,化简要求值的式子后代入 x 的值得答案.

=

= = =﹣6; (Ⅱ)由 x= ,得 ,



= =x﹣1﹣ =x﹣1﹣ =x﹣1+

= =3. 点评: 本题考查了有理指数幂的运算性质,考查了学生的运算能力,是基础的计算题.

19. (9 分)设集合 A={x|

<16},B={x|

>0},C={x|x ﹣2mx+m+2=0},

2

(Ⅰ)求 A∩(?RB) ; (Ⅱ)若 A∩C=?,求实数 m 的取值范围. 考点: 指数函数单调性的应用;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: (Ⅰ)由题意,化简集合 A,B,从而求 A∩(?RB) ; (Ⅱ)讨论集合 C 是否是空集,从而解得实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴x ﹣5x>﹣4, ∴x>4 或 x<1, 故 A={x| B={x| <16}={x|x>4 或 x<1}, >0}={x|x>5 或 x<2},
2

<16,

故?RB={x|2≤x≤5}, 故 A∩(?RB)=(4,5]; 2 (Ⅱ)①当 x ﹣2mx+m+2=0 无解, 2 即△ =4m ﹣4(m+2)<0, 故﹣1<m<2; 当△ =4m ﹣4(m+2)≥0 时,
2



解得,2≤m≤

. ].

故实数 m 的取值范围为(﹣1,

点评: 本题考查了集合的化简及不等式的解法,属于中档题. 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x.现已画出 函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,并根据 (1)写出函数 f(x) (x∈R)的增区间;
2

(2)写出函数 f(x) (x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]) ,求函数 g(x)的最小值.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;二次函数在闭区间上的 最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的图象关于 y 轴对称,可作出 f(x)的图象,由图象可得 f(x)的 单调递增区间; 2 (2)令 x>0,则﹣x<0,根据条件可得 f(﹣x)=x ﹣2x,利用函数 f(x)是定义在 R 上的 2 偶函数,可得 f(x)=f(﹣x)=x ﹣2x,从而可得函数 f(x)的解析式; (3)先求出抛物线对称轴 x=a﹣1,然后分当 a﹣1≤1 时,当 1<a﹣1≤2 时,当 a﹣1>2 时三 种情况,根据二次函数的增减性解答. 解答: 解: (1)如图,根据偶函数的图象关于 y 轴对称,可作出 f(x)的图象, (2 分) , 则 f(x)的单调递增区间为(﹣1,0) , (1,+∞) ; (5 分) (2)令 x>0,则﹣x<0,∴f(﹣x)=x ﹣2x ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 2 ∴f(x)=f(﹣x)=x ﹣2x ∴解析式为 f(x)=
2 2

(10 分)

(3)g(x)=x ﹣2x﹣2ax+2,对称轴为 x=a+1, 当 a+1≤1 时,g(1)=1﹣2a 为最小; 2 当 1<a+1≤2 时,g(a+1)=﹣a ﹣2a+1 为最小; 当 a+1>2 时,g(2)=2﹣4a 为最小;

∴g(x)=

. (16 分)

点评: 本题考查函数图象的作法,考查函数解析式的确定与函数的单调性,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 21. (10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,f(1)=2,且不等式 f(x)≥3x﹣1 对 x∈R 恒成立. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; 2 (Ⅱ)若方程 f(x)=2kx﹣k +3 的两根为 x1,x2,且满足 x1+1=2x2,求实数 k 的值. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: (Ⅰ)设函数 f(x)=ax +bx+c,则由 f(0)=0,f(1)=2,求得 f(x)=ax +(2﹣ a)x.再根据 ax ﹣(a+1)x+1≥0 恒成立,故有 得 f(x)的解析式.
2 2

,求得 a 的值,可

(Ⅱ)若方程 f(x)=2kx﹣k +3 的两根为 x1,x2,则由题意可得 得 k +6k﹣27=0,由此解得 k 的值. 2 解答: 解: (Ⅰ)设函数 f(x)=ax +bx+c,则由 f(0)=0,f(1)=2, 2 可得 c=0,a+b=2,∴f(x)=ax +(2﹣a)x. 2 再根据 f(x)≥3x﹣1 对 x∈R 恒成立,可得 ax +(2﹣a)x≥3x﹣1 对 x∈R 恒成立, 即 ax ﹣(a+1)x+1≥0 恒成立,故有
2 2 2

,化简可

,a=1,

∴f(x)=x +x. 2 2 2 (Ⅱ)若方程 f(x)=2kx﹣k +3 的两根为 x1,x2,即 x ﹣(2k﹣1)x+k ﹣3=0 的两根为 x1, x2,
2

则由题意可得

,化简可得 k +6k﹣27=0,解得 k=﹣9,或 k=3,

都满足判别式△ ≥0,故 k=﹣9,或 k=3. 点评: 本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于基 础题.

22. (12 分)已知函数



(1)若 a=6,写出函数 f(x)的单调区间,并指出单调性; (2)若函数 f(x)在[1,a]上单调,且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立,求 a 的取值范围; (3)当 a∈(1,6)时,求函数 f(x)的最大值的表达式 M(a) . 考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=6 时,由 x∈[1,6],化简 f(x) ,用单调性定义讨论 f(x)的增减性; (2)当 x∈[1,a]时,化简 f(x) ,由(1)知,x∈[1,3)时,f(x)单调增,即 a∈(1,3]时, f(x)在[1,a]上单调增,由题意 f(x)max>﹣2,求得 a 的取值范围;

(3)由 1<a<6,将 f(x)化为 f(x)=

,分 1<a≤3 与 3<a

<6 讨论函数的单调性,从而求得 f(x)的最大值 M(a) . 解答: 解: (1)当 a=6 时,∵x∈[1,6],∴f(x)=a﹣x﹣ +a=2a﹣x﹣ ;任取 x1,x2∈[1, 6],且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=(2a﹣x1﹣ )﹣(2a﹣x2﹣ )=(x2﹣x1)+( ﹣ )=(x2﹣x1)

?



当 1≤x1<x2<3 时,x2﹣x1>0,1<x1x2<9,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,∴f (x)是增函数,增区间是[1,3) ; 当 3≤x1<x2≤6 时,x2﹣x1>0,x1x2>9,∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,∴f(x) 是减函数,减区间是[3,6]; (2)当 x∈[1,a]时,f(x)=a﹣x﹣ +a=﹣x﹣ +2a; 由(1)知,当 x∈[1,3)时,f(x)是增函数,当 x∈[3,6]时,f(x)是减函数; ∴当 a∈(1,3]时,f(x)在[1,a]上是增函数; 且存在 x0∈[1,a]使 f(x0)>﹣2 成立, ∴f(x)max=f(a)=a﹣ >﹣2, 解得 a> ﹣1; 综上,a 的取值范围是{a|

﹣1<a≤3}.

(3)∵a∈(1,6) ,∴f(x)=



①当 1<a≤3 时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数,

∴当 x=6 时,f(x)取得最大值 . ②当 3<a<6 时,f(x)在[1,3]上是增函数,在[3,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数, 而 f(3)=2a﹣6,f(6)= , 当 3<a≤ 当 时,2a﹣6≤ ,当 x=6 时,f(x)取得最大值为 .

≤a<6 时,2a﹣6> ,当 x=3 时,f(x)取得最大值为 2a﹣6.

综上得,M(a)=



点评: 本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题,也 考查了分类讨论思想与化归思想,是难题.


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