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[4]1.1.1任意角3


三 角 函 数
1.1.1任意角

回忆初中学习角的定义是什么?角的范围是 什么?

B

由一个顶点出发的两条射 线所组成的图形.

角 的 范 围?0?, ? ? : 360
O A

思考: 如果你的手表慢了5分钟,你是怎样将它 校准的?如果你的手表快

了1.25小时,你应当 如何将它校准?当时间校准后,分针旋转了多 少度?
12

顺时针: 30
3

0

9

6

逆时针:

450

0

“角”的定义:
B B 角α终边

α
O

A

顶点O

始边

A

(1)由一个顶点发出的两条射线所组成的图形

(2)一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
位置 所组成的图形.

角的分类
逆时针旋转: 顺时针旋转: 不发生旋转: 注意: 正角 负角 零角
O O

B

正角
A A

负角
B

1:角的正负由旋转方向决定
2:角可以任意大小,

在坐标系中讨论角——象限角
Y 角α终边
α
O

角α始边 X

终边

y o

终边
x 始边

? ?Ⅰ ? ? Ⅱ ? ?Ⅲ ? ? Ⅳ

终边

终边

要点: 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴, 终边落在第几象限就是第几象限角

坐标轴上的角:
如果角的终边落在了坐标轴上,就认为 这个角不属于任何象限。
例如:角的终边落在X轴或Y轴上。

练习1:在同一坐标系中作出下列各角,并指出分 别是第几象限角? 2100, 1500, 6600 ? ?
第一象限角

第三象限角

第三象限角

y

锐角一定是第一象限角?

第一象限角一定是锐角?
x

第一象限角一定小于第二象限角? 小于90°的角都是锐角?

2.课本第5页第1、2、3题

探究:在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一 的一条终边与之对应.反之对与直角坐标系中 任意一条射线,以它为终边的角是否唯一? 不唯一 那么终边相同的角有什么关系?
0 0 0

y

o

x

?32 ,328 , ?392 0 ? ?320 ? 0 ? 3600 ?32 0 0 0 328 ? ?32 ? 360 ? ?320 ? 1? 3600 0 0 0 0 0 (-1) 360 ? ?392 ? ?32 ? 360 ? ?32 ?
?32 ? 2 ? 360
0 0

与-320终边相同的角可表示为: ? 32? ? k ? 360?, k ? Z

……

……

?320 ? (-2) 3600 ?

总结概括:
一般地,所有与角 ? 终边相同的角,连同 角 ? 在内,可构成一个集合 S ? {? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z }. 即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和.

例1. 在 0? ~ 360? 范围内,找出与角 ?950012 ' 终边 相同的角,并判定是第几象限角。
解:与 ?950012 ' 终边相同的角的表示为:

? ? ?950?12? ? k ? 360?(k ? Z )

当k=3时:

? ? ?950?12? ? 3 ? 360? ? 129?48?
所以在 0? ~ 360? 范围内,与角?950012 ' 终边相同的角是 129?48? ,它是第二象限角.
练习:P5:4

例2

写出终边落在y轴上的角的集合。

解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} {偶数}∪{奇数} ={整数} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 900+K?3600 终边落在y轴负半轴上的角的集合为 S2={β|β=2700+K?3600,K∈Z} Y ={β|β=900+1800+2K?1800,K∈Z} X O ={β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍} 所以 终边落在y轴上的角的集合为 2700+k?3600 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍}

={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K?1800 ,K∈Z}

练习:终边在x轴上的角的集合
S ? {? ? ? k ? 180?, k ? Z }

终边在坐标轴上的角的集合
S ? {? ? ? k ? 90?, k ? Z }

例3、写出终边在直线y=x上的角的集合,并把S中适 合不等式 ?3600 ? ? ? 7200 的元素? 写出来 解:终边在直线y=x上的角的集合:

S ? {? ? ? 45? ? k ? 180?, k ? Z }
当K=-2,-1,0,1,2,3时符合条件
? S中适合? 360? ? ? ? 720?的元素是:

? 315?,?135?,45?,225?,405?,585?

P5练习:5

? 小结:
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角

1.任意角的概念

负角:射线按顺时针方向旋转形成的角
零角:射线不作旋转形成的角

1)置角的顶点于原点
2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴

终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角 ? 相同的角:

? ? k ? 360?, k ? Z

3、与角

? 终边相同的角的表示:

S ? ?? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z ?

作业:P9A组1、3(1)(2)


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