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集合与简易逻辑练习题与答案1


一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.(2010· 天津)设集合 A ={x||x-a|<1,x∈R},B ={x||x-b|>2,x∈R}.若 A ?B ,则实数 a,b 必满足( ). B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3

A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 解析

A ={x||x-a|<1,x∈R

}={x|a-1<x<1+a},B ={x||x-b|>2,x∈R}={x|x>2+b 或 x<b

-2}.∵A ?B ,∴b+2≤a-1?a-b≥3 或 b-2≥1+a?a-b≤-3,∴|a-b|≥3. 故选 D
2 2

2. (2011· 湖北)若实数 a, b 满足 a≥0, b≥0, 且 ab=0, 则称 a 与 b 互补, 记 φ ( a, b)= a +b -a-b,那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析 互补. 若 a,b 互补,则 a≥0,b≥0,且 ab=0, 即 a=0,b≥0 或 b=0,a≥0,此时都有 φ(a,b)=0, ∴φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的充要条件. 故选 C ). ).

若 φ(a,b)=0,则 a +b =a+b,两边平方整理,得 ab=0,且 a≥0,b≥0,∴a,b

2

2

3.(2010· 辽宁)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是( 1 2 1 2 A.?x∈R, ax -bx≥ ax 0-bx0 2 2 1 1 B.? x∈R, ax2 -bx≤ ax2 -bx0 2 2 0 1 1 C.?x∈R, ax2 -bx≥ ax2 -bx0 2 2 0 1 1 D.?x∈R, ax2 -bx≤ ax2 -bx0 2 2 0 解析

1 2 a>0,x0 满足关于 x 的方程 ax=b,则 ax0 -b=0,设 f (x)= ax -bx,f ′(x)=ax-b,而 2

f ′(x0 )=0. 当 x<x0 时,f ′(x)<0;当 x>x0 时,f ′(x)>0,∴f(x)在 x0 处取得极小值,又 f(x)只有 1 1 一个极值,故 f (x)min =f (x0 ),即?x∈R,有 f (x)≥f(x0 );反之,?x∈R, ax2 -bx≥ ax2 -bx0 , 2 2 0 1 b ?2 b2 b b 即 f (x)min =f (x0 ),而 f (x)= a? x - - ,当 x= 时,f(x)取得最小值,即 x0 = ,x0 满足方程 ? ? 2 a 2a a a ax=b.

故选

C

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 4.(2011· 安徽)设集合 A ={1,2,3,4,5,6} , B ={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B ≠?的集合 S 的个 数是________. 解析 由 S?A 且 S∩B ≠?可知:元素 4,5,6 中至少有一个是 S 中的元素.S 中的其余元素是从
1 2 3 3

1,2,3 中选 1 个,2 个,3 个或不选.故 S 的个数为(C 3+C 3+C 3)×2 =56. 故填 56

5.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭 集.给出下列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 解析 设 x=a1 +b1 i,y=a2 +b2 i,a1 ,b1 ,a2 ,b2 为整数,则 x+y=(a1 +a2)+(b1 +b2 )i,x-y

=(a1 -a2 )+(b1 +b2)i,xy=(a1 a2 -b1 b2 )+(a1 b2 +a2 b1 )i,由于 a1 ,b1 ,a2 ,b2 为整数,故 a1 ± a2 , b1 ± b2 ,a1 a2 -b1 b2 ,a1 b2 +a2 b1 都是整数,所以 x+y,x-y,xy∈S,故集合 S={a+bi|a,b 为 整数,i 为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若 S 是封闭集,x=y∈S,则根据封闭集的定义, x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合 S={0},显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集, 命题③不正确;集合 S={0}?{0,1}=T?C,容易验证集合 T 不是封闭集,故命题④不是真命 题.故填①②. 故填 ①②

三、解答题(本题 10 分) 6.设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0,q:实数 x 满足 x -x-6≤0 或 x +2x-8>0, 且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解 由 x2 -4ax+3a2 <0 及 a<0,得 3a<x<a,
2 2 2 2

即 p:3a<x<a; 又由 x -x-6≤0,得-2≤x≤3, 由 x2 +2x-8>0,得 x<-4 或 x>2, 那么 q:x<-4 或 x≥-2. 由于綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 即綈 q?綈 p,于是, 得?
?3a≥-2, ?a<0
2

或?

?a≤-4, ? ?a<0, ?

2 得- ≤a<0 或 a≤-4, 3
? 2 ? 故所求 a 的取值范围为?a?- ≤a<0,或a≤-4? . ? ? 3 ?


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