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交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:平面向量(word版含答案)


上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中, M 是

BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则 AP? (PB? PC) 等于( )
? ?
? ? ?

4 A. 5
【答案】A 2.已知向量

4 B. 3

C.

4 3

D.

4 9

且 ∥ ,则

=(

)

A. 【答案】A

B.

C.

D.

3.已知向量 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1,2? ,若向量 a ? kb 与 a ? b 垂直,则 k 的值为( A.

)

23 3

B.7

C. ?

11 5
)

D. ?

23 3

【答案】A 4.若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c=( A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b 【答案】B

D. a+3b

5.在 ?ABC 中, AB ? 15 , AC ? 2 , BC ? 3 ,点 D 在 BC 边上, BD ? 2CD ,则

AD ? BC ? (

)

A. 6 B. ? 6 C. 4 D. ?4 【答案】D 6.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角 形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 7.已知向量 a、b 满足| a |=1,| b |=4,且 a·b=2,则 a 与 b 的夹角为( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
)

【答案】C 8.已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a·b 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4
第 1 页 共 6 页

【答案】D 9. 设向量 a, b, c 满足 a = b =1,a b = ? A.2 【答案】A 10.若点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0, ?C ? 120? ,则实数 ? 的值为( A. ) B. 3

1 , a ? c, b ? c = 60 0 , 则 c 的最大值等于( 2
C. 2 D.1

)

1 2

B. ?

1 2

C.1

D. ?1

【答案】D 11.△ABC 中,已知: sin A : sin B : sin C ? 1 : 1 : 2 ,且 S ?ABC ?
1 ,则 2

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值是( ) A.2 B. 2 C.-2 D. ? 2 【答案】C 12.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知平面向量 【答案】-6
0



14.已知向量 a ? ( 3,1) ,且单位向量 b 与 a 的夹角为 60 ,则 b 的坐标为 【答案】 (0,1) 或 (



3 1 ,? ) 2 2

15.已知 ?AOB 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , AH 为边 BC 上的高,有以下结论 ① AC?
?

?

AH | AH |
?

?

? c sin B;
?

② BC? ( AC? AB) ? b ? c ? 2bc cos A;
2 2

?

?

?

③ AH ? ( AB? BC) ? AH ? AB

?

?

?

④ AH ? AC = AH ,其中正确的是

?

?

? 2

(填上序号)

【答案】①②③④ 16.若向量 a、b 满足 a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角等于 【答案】135° 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在钝角三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (2b ? c, cosC ) ,

n ? (a, cos A) ,且 m ∥ n .
(Ⅰ)求角 A 的大小;
第 2 页 共 6 页

(Ⅱ)求函数 y ? 2sin 2 B ? cos( 【答案】 (Ⅰ)由

?
3

? 2 B) 的值域.

m

n 得 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,

由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

? 2sin B cos A ? sin B ? 0 , B、A ? (0, ? ) , sin B ? 0, 得A ? ? 3
(Ⅱ) y ? 1 ?

1 3 ? cos 2 B ? sin 2 B ? sin(2 B ? ) ? 1 2 2 6

?? ? B ?? ? ? 2? ?2     ? ?B? 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则 ? 2 3 ?0 ? 2? ? B ? ? ? 3 2 ?
5? ? 7? ? 1 1 1 3 ?   ? 2B ? ? sin(2 B ? ) ? (? , ) ,? y ? ( , ) ,?   6 6 6 6 2 2 2 2

?0 ? B ? ? ? ? 当角 B 为锐角时,角 C 为钝角,则 ? ? 2?     ?0? B? 6 ? ?B ?? ? 3 ?2

? ? ? ? 1 1 1 3 ?  ? ? 2 B ? ? ,?   sin(2 B ? ) ? (? , ) ,? y ? ( , ) 6 6 6 6 2 2 2 2 1 3 综上,所求函数的值域为 ( , ) . 2 2
18.在四边形 ABCD 中, | AD |? 12 , | CD |? 5 , | AB |? 10 ,
| DA ? DC |?| AC | , AB 在 AC 方向上的投影为 8;

(1)求 ?BAD 的正弦值; (2)求 ?BCD 的面积. 【答案】 (1)
| DA ? DC |?| AC | ,? ?ADC ? 90? ,
cos ?DAC ? 12 5 sin ?DAC ? 13 , 13 , cos ?CAB ? 4 5,

在 Rt?ADC 中, | AD |? 12 , | CD |? 5 ,? BD ? 13 ,

AB 在 AC 方向上的投影为 8,? | AB | cos ?CAB ? 8 , | AB |? 10 ?
?CAB ? (0, ? )

,?

sin ?CAB ?

4 56 sin ?BAD ? sin(?DAC ? ?CAB) ? 5? 65

(2)

S?ABC ?

1 AB ? AC ? sin ?BAC ? 39 2 ,

S?ACD ?

1 AD ? CD ? 30 2 ,

S?ABD ?

1 672 225 AB ? AD ? sin ?BAD ? S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ABD ? 2 13 ? 13

6 π 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ,0),P(cosα ,sinα ),其中 0≤α ≤ . 5 2

第 3 页 共 6 页

5 (1)若 cosα = ,求证: PA ⊥ PO ; 6 π (2)若 PA ∥ PO ,求 sin(2α + )的值. 4 6 【答案】(1)法一:由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5

PO =(-cosα ,-sinα ),
6 2 所以 PA · PO =( -cosα )(-cosα )+(-sinα ) 5 6 2 2 =- cosα +cos α +sin α 5 6 =- cosα +1. 5 5 因为 cosα = ,所以 PA · PO =0.故 PA ⊥ PO . 6 5 π 11 法二:因为 cosα = ,0≤α ≤ ,所以 sinα = , 6 2 6 5 11 所以点 P 的坐标为( , ). 6 6 11 11 5 11 所以 PA =( ,- ), PO =(- ,- ). 30 6 6 6 5 11 2 ) =0,故 PA ⊥ PO . 6 6 6 (2)由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5

PA · PO = ×(- )+(-

11 30

PO =(-cosα ,-sinα ).
6 因为 PA ∥ PO ,所以-sinα · ( -cosα )-sinα cosα =0,即 sinα =0. 5 π 因为 0≤α ≤ ,所以α =0. 2 π 2 从而 sin(2α + )= . 4 2 20.设两向量 e1 , e2 满足 | e1 |? 2,| e2 |? 1 , e1 、 e2 的夹角为 60 , (1)试求 | 3e1 ? e2 | (2)若向量 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为锐角,求实数 t 的取值范围. 【答案】 (1)由题意知 e1 ? e2 ? 2 cos60 ? 1
0

? | 3e1 ? e2 |? 9e1 ? 6e1 e2 ? e2 = 36 ? 6 ? 1 ? 43
(2) (2t e1 ? 7e2 )(e1 ? t e2 ) ? 2t ?15t ? 7
2

2

2

因为它们的夹角为锐角

第 4 页 共 6 页

所以 2t 2 ? 15t ? 7 ? 0 ,即 t ? ?7或t ? ? 故 t 的取值范围是 ( ?? ,?7) ? ( ?

1 2

1 ,?? ) 2

21.已知向量 = (Ⅰ)求 · 及| · |;

, =

,且 x∈



(Ⅱ)若 f ( x ) =

·

| · |的最小值为

,且



,求

的值。

【答案】 (Ⅰ) · =

= cos2x

| + | =

因为

x∈

,所以

cosx 0 所以| + | = 2cos x cos x = 2 cos x – 4
2

(Ⅱ)f ( x ) = · – 2 x – 1

| + | = 2cos x – 4

cos

= 2 ( cos x –

)2 – 1 – 2

2

令 t = cos x∈[ 0 , 1 ],则 f ( x ) = g ( t ) = 2 ( t – 2
2

) – 1 –

2

①当 0

1 时,当且仅当 t =

时,f ( x )取得最小值,

g ( ②当

) = – 1 – 2

2

即– 1 – 2

2兴

=

=

>1 时,当且仅当 t = 1 时,f ( x )取得最小值,g ( 1 ) = 1 – 4

即1 – 4

=

<1 不合题意,舍去。

综上,所以

=

第 5 页 共 6 页

22.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。
【答案】由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) 得 a b ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

[a ? (t 2 ? 3)b ] (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta b ? k (t 2 ? 3)a b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4

所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间为 (?1,1)

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