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2011年高中数学优质课比赛课件:等比数列的性质及其应用


等差数列

等比数列 如果一个数列从第2项起,每 一项与它的前一项的比等于同 一个常数,那么这个数列就叫 做等比数列.

如果一个数列从第2项起, 定义 每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列. 数学 an+1-an= d(常数) 表达 符号 首项a1, 公差d 表示 d>0 {an }递增 d与{an} d<0
q与{an}

an+1 an = q(常数)
首项a1, 公比q(q≠0)
q>0 {an }中各项同号

{an }递减
{an }为常数列

q<0
q=1

{an }中的项正负相间
{an }为非零常数列

d=0

通项 公式 中项

an= a1+(n-1)d
a,A,b成等差,则2A=a+b

an= a1· n-1 q
a,G,b成等比, 则G2=ab

由等差数列的性质,猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
性质1:an=am+(n-m)d. 猜想1: ? b q n ? m . bn m

猜想2: 性质2:若an-k,an,an+k 若bn-k,bn,bn+k 是{an}中的三项, 是{bn}中的三项, 则2an=an+k+ an-k. bn2 ? bn?k ? bn?k . 则
性质3: 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq.

猜想3:若n+m=p+q, 则bn · m=bp · q. b b

bn ? bm q
证明:

n?m

.
, bn ? b1 ? q ,
m?1
n?1

?bm ? b1 ? q

m?1

?bm ? q

n ?m

? b1 ? q

?q

n ?m

? b1 ? q

n ?1

? bn .

若n+m=p+q,

则bn bm=bp bq.
n?1

? 证明: bn ? bm ? b1 ? q1
2 1

? b ?q , q ?1 b p ? bq ? b1 ? q ? b ? q1 2 ? b1 ? q , ? n ? m ? p ? q, bn ? bm ? bp ? bq . ?
反之成立吗? 不一定,当q=1时不成立.

n? m?2 1 p ?1 1 1 p ? q ?2 1

? b1 ? q1

m?1

如数列?an ? : 1,1,1,1?

例1: ⒈在等比数列{an}中,a2=-2,a5=16, -128 a8= . ⒉在等比数列{an}中,且an>0, a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . , ⒊在等比数列{an}中,若 a4 ? a7 ?a13 ?a16 ? 625 则a10= ? 5 .

变式:(1)在等比数列?an ?中,a1 ? 1, a5 ? 9, 则a3 ? 3 ,q ? ? 3.

(2)在等比数列?an ?中,a15 ? 10, a45 ? 90, 则a60 ? ?270.
(3)在等比数列?an ?中,若a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 4, 则a4 ? a5 ? 1 (4)在 和n间插入n个正数,使得这n ? 2个数成等比数列, n 求插入的这n个数的积.

1 Tn ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? n 序 n



1 Tn ? n ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ? n

相 乘

例2: 三个数成等比数列,它们的和等于21, 7 倒数的和等于 ,求这三个数.
12

? 分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d. ? 由类比思想的应用可得: 若三个数成等比数列,则设这三个数

a 为 , a, a ? q,再联立方程组. q

三个正数成等比数列,他们的和等于21, 7 倒数的和等于 ,求这三个数.
12
解:设三个正数为

a ? a ? a ? q ? 21 , q
q 1 1 7 ? ? ? , a a aq 12

a , a, a ? q. q

1 a ? ( ? 1 ? q) ? 21 , q
1 1 7 ? (q ? 1 ? ) ? . a q 12



?a ? 36.
2

?a ? 6,

1 ? q ? 2或 . 2

例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0.
求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.

变式: 已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1, (1)求证:数列?an ? 1? 是等比数列;
(2)求数列?an ?的通项公式.

小结

等差数列与等比数列的性质
{bn}是公比为q的等比数列

{an}是公差为d的等差数列

性质1:an=am+(n-m)d 性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项, 则2an=an+k+ an-k. 性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

bn ? bm q

n?m

若bn-k,bn,bn+k 是{bn}中的三项 则 bn2 ? bn?k ? bn ?k . 若n+m=p+q 则bn bm=bp bq


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