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高一数学专项复习基本求导法则与求导公式解析[好8页]


高一数学专项复习基本求导法则与求导公式解析.
求导法则
教学内容: 基本求导法则与求导公式. 教学目的: 熟悉导数的运算性质和求导法则,牢记基本初等函数的导数公式,并在熟记基本初等函数导数 公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。 教学重点: 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法; 教学难点: 复合函数求导法则及复合函数导

数的计算。 教学方法: 讲授与练习。 教学学时: 4 学时。

● 引言:
数学分析的基本运算之一就是求导运算,为了能够迅速、简便而又准确的求出一个函数的导数, 只依靠定义是远远不够的。为此,本节课我们介绍导数的四则运算,反函数、复合函数的求导法则, 并由此推出基本初等函数的导数作为公式。这样我们就可以利用这些公式以及求导法则较为容易的求 出复杂函数的导数。

一、导数的四则运算:
1.加、减运算: 定 理 5.5 若 函 数 u (x ) 、 v (x ) 在 点 x 可 导 , 则 函 数 f ( x) ? u( x) ? v( x) 在 点 x 可 导 , 且

f ' ( x) ? u ' ( x)?v ' ( x) 即 ?u ( x)?v( x)? ? u ' ( x)?v ' ( x).
'



f ' ( x) ? lim

?x ?0

?u( x ? ?x)?v( x ? ?x)? ? ?u( x)?v( x)? ? lim u( x ? ?x) ? u( x) ? lim v( x ? ?x) ? v( x)
?x
?x ?0





?x

?x ?0

?x

? u ' ( x)?v ' ( x)
推论: ?u1 ( x) ? u 2 ( x) ? ? ? u n ( x)? ? u1 ( x) ? u 2 ( x) ? ? ? u n ( x).
' ' ' '

2.乘积运算: 定理 5.6 若函数 u (x ) 、 v (x ) 在点 x 可导,则函数 f ( x) ? u( x) ? v( x) 在点 x 可导,且

f ' ( x) ? u ' ( x)v( x) ? u ( x)v ' ( x) ,即 ?u ( x)v( x)? ? u ' ( x)v( x) ? u ( x)v ' ( x).
'

证明: f ( x) ? lim
'

u ( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x) ?x ?0 ?x u ( x ? ?x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ? v( x) ? lim ?x ?0 ?x u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? lim ? v( x ? ?x) ? lim u ( x) ? ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
? u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x )

利用数学归纳法可将此结论推广:
1/8

推论: ?u1 ( x)u 2 ( x) ?u n ( x)? ? u1 ( x)u 2 ( x) ?u n ( x) ? u1 ( x)u 2 ( x) ?u n ( x) ? ? ? u1 ( x)u 2 ( x) ?u n ( x)
' ' ' '

?cu( x)?' ? cu ' ( x)

( c 为常数)
'

例 1.设函数 f ( x) ? cos x ln x ,求 f (? ). 解: f ' ( x) ? ?cos x ln x ? ? ?cos x ? ln x ? cos x?ln x ? ? ? sin x ln x ?
' ' '

1 cos x x

所以 f ' (? ) ? ? 3.商运算:

1

?

.

定理 5.7 若函数 u (x ) 、 v (x ) 在点 x 可导,且 v( x) ? 0 ,则函数 f ( x) ?

u ( x) 在点 x 可导,且 v( x)

f ( x) ?
'

u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x )

?v( x)?2

? u ( x ) ? u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x ) . , 即? ? v( x) ? ? ? ?v( x)?2 ? ?

'

证明:先证 g ( x) ?

v ' ( x) 1 ' 在点 x 可导,且有 g ( x ) ? ? , v( x) ?v( x)?2

1 1 ? g ( x ? ?x) ? g ( x) v( x ? ?x) v( x) g ' ( x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
1 v ' ( x) ? v( x ? ?x) ? v( x) ? ? lim ?? ? ?? . ? v( x ? ?x)v( x) ?x ?0 ?x ?v( x)?2 ? ?
再由乘积运算法则有:

? v ' ( x) ? u ' ( x)v( x) ? u( x)v ' ( x) ? u ( x) ? 1 ' ' f ( x) ? ? ? 2? ? v( x) ? ? ?u( x) ? g ( x)? ? u ( x) v( x) ? u( x)?? ? ?v( x)?2 ? ? ? ?v( x) ? ?
' '

例 2.求以下函数的导数: (1) sec x ; (2) csc x ; 解: (1) ?sec x ? ? ?
' '

(3) tan x ;

(4) cot x.

? 1 ? 0 ? (? sin x) ? sec x tan x ; ? ? cos2 x ? cos x ?
'

? 1 ? 0 ? cos x ? ? csc x cot x ; (2) ?csc x ? ? ? ? ? sin 2 x ? sin x ?
' 2 2 ? sin x ? cos x ? (? sin x) ? sec2 x ; (3) ?tan x ? ? ? ? ? 2 cos x ? cos x ? ' 2 2 ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ? ? csc2 x . ? 2 sin x ? sin x ? ' '

(4) ?cot x ? ? ?
'

2/8

于是我们得到: ?tan x ? ? sec x ; ?cot x ? ? csc x ; ?sec x ? ? sec x tan x ; ?csc x ? ? ? csc x cot x .
' 2 ' 2 ' '

上节我们还得到过结果:?C ? ? 0 ;?sin x ? ? cos x ;?cos x ? ? ? sin x ;?log a x ? ?
' ' '

'

1 1 log a e, ln x ? . x x

以上结果需要熟记!以后可直接应用。

二、反函数的导数:
为了得到对数函数的反函数-指数函数以及三角函数的反函数-反三角函数的求导公式, 我们先 证明反函数求导公式: 定理 5.8 设函数 y ? f (x) 为函数 x ? ? ( y) 的反函数,若 ? ( y ) 在点 y 的某邻域内连续,严格单调且

? ' ( y) ? 0 ,则 f (x) 在点 x( x ? ? ( y)) 可导,且 f ' ( x) ?
证明:设 ?x ? ? ( y ? ?y) ? ? ( y) , ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ,

1 . ? ( y)
'

?? ( y) 在点 y 的某邻域内连续且严格单调

? 其反函数 y ? f (x) 在点 x 的某邻域内连续且严格单调
从而有 ?y ? 0 ? ?x ? 0 , ?y ? 0 ? ?x ? 0 ,于是

f ' ( x) ? lim

?x ?0

?y ?y ? lim ? ?y ?0 ?x ?x

1
?y ?0

lim

?x ?y

?

1 . ? ( y)
'

例 3.求指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的导数。
x

解:指数函数 y ? a ( x ? R) 为对数函数 x ? log a y ( y ? (0,??)) 的反函数,所以
x

?a ? ?
x '

?log a y ?

1

'

?

1 1 log a e y

? y ln a ? a x ln a ,即 ?a x ? ? a x ln a .
'

例 4.求下列函数的导数: (1) arcsin x ; (2) arccos x ;

(3) arctan x ;

(4) arccot x .

解: (1)由于函数 y ? arcsin x( x ? (?1,1)) 是函数 x ? sin y ( y ? (?

? ?

, )) 的反函数,所以 2 2

?arcsin x ?' ?

?sin y ?

1

'

?

1 1 1 ? ? , x ? (?1,1) ; 2 cos y 1 ? sin y 1? x2

(2)由于函数 y ? arccos x( x ? (?1,1)) 是函数 x ? cos y( y ? (0, ? )) 的反函数,所以

3/8

?arccos x ?' ?

?cos y ?

1

'

?

1 1 1 ?? ?? , x ? (?1,1) ; 2 ? sin y 1 ? cos y 1? x2

(3)由于函数 y ? arctan x( x ? R) 是函数 x ? tan y ( y ? (?

? ?

, )) 的反函数,所以 2 2

?a r c t axn' ? ?

?t a ny ?

1

'

?

1 1 1 ? ? , x ? (??,??) ; 2 2 s e c y 1? t a n y 1? x2

(4)由于函数 y ? arc cot x( x ? R) 是函数 x ? cot y ( y ? (0,

?
2

)) 的反函数,所以

?arc c o x ?' ? t

?c o ty ?

1

'

?

1 1 1 ?? ?? , x ? (??,??) . 2 2 ?c s cy 1? c o t y 1? x2

于是我们又得到公式:

?arcsin x ?' ?

1 1? x2

; ?arccos x ? ? ?
'

1 1? x2

; ?arctan x ? ?
'

1 1 ' ; ?arc cot x ? ? ? . 2 1? x 1? x2

三、复合函数的导数:
最后我们再来讨论复合函数的求导法则,为得到复合函数求导公式,先引入如下引理: 引理 f (x) 在点 x 0 可导 ? 在点 x 0 的某邻域 U ( x0 ) 内存在在点 x 0 连续的函数 H (x) ,使得

f ( x) ? f ( x0 ) ? H ( x)( x ? x0 ) ,从而 f ' ( x0 ) ? H ( x0 ) .
证明:[必要性] 设 f (x) 在点 x 0 可导,即 f ( x0 ) 存在,
'

? f ( x) ? f ( x0 ) ? 令 H ( x) ? ? x ? x0 ? f ' ( x0 ) ?
则 lim H ( x) ? lim
x ? x0

x ? U ( x0 ) x ? x0

0



x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? H ( x0 ) , x ? x0

所以函数 H (x) 在点 x 0 连续且有 f ( x) ? f ( x0 ) ? H ( x)( x ? x0 ) . [充分性] 设函数 H (x) , x ? U ( x0 ) 在点 x 0 连续且有 f ( x) ? f ( x0 ) ? H ( x)( x ? x0 ) 所以 lim

x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ? lim H ( x) ? H ( x0 ). x ? x0 x ? x0

定 理 5.9

若 函 数 u ? ? (x) 在 点 x 0 可 导 , 函 数 y ? f (u ) 在 点 u 0 ? ? ( x0 ) 可 导 , 则 复 合 函 数

y ? f (? ( x)) 在点 x 0 可导,且 ? f (? ( x0 )) ? ? f ' (u 0 )? ' ( x0 ) .
'

证明:因函数 y ? f (u ) 在点 u 0 可导,由引理知
4/8

存 在 在 点 u 0 连 续 的 函 数 F (u ) , 使 得

f (u ) ? f (u 0 ) ? F (u )(u ? u 0 ) 且

f ' (u 0 ) ? F (u 0 ) u ? U (u 0 )
又因函数 u ? ? (x) 在点 x 0 可导,同样由引理知 存在在点 x 0 连续的函数 ? (x ) , 使得 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? ? ( x)( x ? x0 ) 且 f ( x0 ) ? ? ( x0 ) x ? U ( x0 )
'

于是得: f (? ( x)) ? f (? ( x0 )) ? F (? ( x))(? ( x) ? ? ( x0 )) ? F (? ( x))? ( x)( x ? x0 ) 由于 ? (x) 在 x 0 连续,F (u ) 在 u 0 ? ? ( x0 ) 连续, 所以 F (? ( x)) 在点 x 0 连续 (复合函数连续性) , 而 ? (x ) 在 x 0 连续,从而 H ( x) ? F (? ( x))? ( x) 在 x 0 连续,于是由引理便知

f (? ( x))





x0











? f (? ( x)) ?' ? H ( x0 ) ? F (? ( x0 ))? ( x0 ) ? F (u 0 )? ( x0 ) ?

f ' (u 0 )? ' ( x0 ) .
' ' '

说明: (1)若 y ? f (u ) , u ? ? (x) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 的导数为 y ? f (u )? ( x) , 或者写成

dy dy du ; ? ? dx du dx
' ' (2)注意 f (? ( x )) ? f (u ) u ?? ( x )

与 ? f (? ( x)) ? ? f (? ( x)) ? ? ( x) 写法与含义的区别;
' ' '

如 y ? f (u ) ? u , u ? ? ( x) ? 2 x 则:
2

f ' (? ( x)) ? u 2

? ?

' u ?2 x

? 2u u ?2 x ? 4 x ,而 ? f (? ( x)) ? ? f ' (? ( x)) ? ? ' ( x) ? 4 x ? ?2 x ? ? 8 x ;
' '

(3)多个复合函数求导法则: y ? f (u ) ,u ? ? (v) , v ? ? (x) ,则复合函数 y ? f (? (? ( x))) 的 导数

dy dy du dv ? ? ? ; dx du dv dx
?

(4)对复合函数求导的结果我们一般应用最终自变量(如以上的 x )表示。 例 5.求幂函数 y ? x (? ? R, x ? 0) 的导数。 解:幂函数 y ? x ? e
? '
?
ln x?

? e? ln x 可看成函数 y ? e u 与 u ? ? ln x 复合而成,由复合函数求导法则有
' u

dy ?x ? ? du ? du ? ?e ? ? ?? ln x? ? e dx
u '

?

?
x

? e? ln x ?

?
x

? ?x ? ?1 .

于是得到: x

? ? ? ?x
? '

? ?1

.

四、基本求导法则与公式:
通过上面的讨论,我们得到了函数四则运算的导数,反函数与复合函数的导数以及基本初等函 数的导数,把这些结论归结如下,作为基本求导法则与求导公式,我们必须熟记,并可以直接应用它
5/8

们,求出以下比较复杂函数的导数。 1. 基本求导法则: ①和、差: ?u ?v ? ? u ?v ; ②积: ?uv? ? u v ? uv ; ③商: ? ? ?
' ' ' ' ' '

?u? ?v?

'

u ' v ? uv ' ; v2

④反函数:

dy 1 ; ? dx dx dy

⑤复合函数:

dy dy du ; ? ? dx du dx

2. 基本求导公式: ① ?c ? ? 0 ( c 为常数) ;
'

② x

? ? ? ?x
? '
'

? ?1

( ? 为任意实数)

③ a

? ? ?a
x '

x

ln a, ?e x ? ? e x ;
'

④ ?log a x ? ?

1 1 ' , ?ln x ? ? ; x ln a x

⑤ ?sin x ? ? cos x,
'

?cos x ?' ? ? sin x,

?tan x ?' ? sec2 x,
?csc x ?' ? ? csc x cot x ;
2

?cot x ?' ? csc2 x,
⑥ ?arcsin x ? ?
'

?s e c ?' ? s e c t a n , x x x
2

1 1? x

, ?arccos x ? ? ?
'

1 1? x

, ?arctan x ? ?
'

1 1 ' . , ?arc cot x ? ? ? 2 1? x 1? x2

例 6.求以下各函数的导数: (1) y ? 10 x ? 5 x
3 ?2

? 4 x ? 5 ; (2) y ? sin x 2 ; (3) y ? tan 2
(6) y ? ln( x ? 1 ? x ) ;
2 ?2 ' ' 2

(5) y ? arc cot
'

1? x ; 1? x
3 '

1 3 2 ; (4) y ? ?arctan x ? ; x
(7) y ?

x? x? x .

解: (1) y ? 10 x

? ? ? 5?x ? ? 4?x ? ? 0 ? 30 x
2

? 10 x ? 4 ;

' dy dy du ' ? ? ? ?sin u ? ? x 2 ? cosu ? 2 x ? 2 x cos x 2 ; dx du dx 1 2 (3)设 y ? u , u ? tan v , v ? ,则 x

(2)设 y ? sin u, u ? x ,则

? ?

' dy dy du dv 2 1 1 ? 1 ? ' ?1? ? ? ? ? u 2 ? ?tan v ? ? ? ? ? 2u ? sec2 v ? ? ? 2 ? ? ? 2 tan sec2 ; dx du dv dx x x x ? x? ? x ?

? ?

'

(4)设 y ? u , u ? arctanv , v ? x ,则
2

3

dy dy du dv 1 6x 2 ' 2 ' 3 ' 2 ? ? ? ? u ? ?a r c t a ? ? x ? 2u ? vn ? 3x ? a r c t a n; x3 2 6 dx du dv dx 1? v 1? x
(5)设 y ? arc cot u , u ?

? ?

? ?

1? x ,则 1? x
6/8

dy dy du 1 ? ' ?1? x ? ? ? ? ?a r c o u ? ? ? t ? ? ?? 2 dx du dx ?1? x ? ? 1? u

'

? (1 ? x) ? (1 ? x) ?? (1 ? x) 2 ?

??

1 ?1? x ? 1? ? ? ?1? x ?
2

?

2 ?2 1 ? ?? ; 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) ? (1 ? x) 1? x2

(6)先设 u ? 1 ? x ,来求
2

du 2 ,为此设 u ? v 2 , v ? 1 ? x ,则 dx

1

1 1 ' du du dv ? 2 ? 1 ? x ? v ? ? 1 ? x 2 ? v 2 ? 2x ? , ? ? ?? ? dx dv dx ? ? 2 1? x2

'

?

?

再设 y ? ln w , w ? x ? u , u ? 1 ? x ,来求
2

dy ,则 dx
? x ?1 ? ? 1? x2 ? ? 1 ?? ; ? 1? x2 ?

' dy dy dw du 1 ? x ' ? ? ? ?ln w? ? (1 ? ) ? ? ?1 ? ? dx dw dx dx w ? 1? x2

? 1 ?? ? 2 ? x ? 1? x

(7)当我们对复合函数运算法则熟悉以后,书写过程中的中间变量可不必写出。如此题:

y' ?

? 1 ?1 ? ? 2 x? x? x ? 2 x? x 1

? 1 ?? 1 ?1 ? ?? ? ? ? ? 2 x ?? 2 x ? x ? x ?

? 1 1? 2 x ? ?1 ? ? ? 2 x? x 2 x ? ? ?
.

4 x x? x 2 x? x? x 8 x x? x x? x? x 1 1 ' ' ' 例 7.若 f ( x) ? ,求 f (0) , f (?1) 及 f (1) 。 ? 2 x ? 2 x ?1
解:因 f ( x) ? ?
'

?

1

4 x x ? x ? 2 x ?1

?

4 x x ? x ? 2 x ?1

1 2x ? 2 ,所以 2 ( x ? 2) ( x ? 1) 2

1 2 1 1 2 11 f ' (0) ? ? , f ' (?1) ? ?1 ? ? ? , f ' (1) ? ? ? ? ? . 4 4 2 9 4 18
例 8.求以下函数的导数: (对数求导法)

(1) y ?

( x ? 5) ( x ? 4)
2

1 3 1 2

( x ? 4 ) (2) y ? u ( x) ;

v( x)

(其中 u ( x) ? 0 且 u (x ) 与 v (x ) 均可导) 。

( x ? 2) ( x ? 4)
5

解: (1)对函数两边同时取自然对数得:

7/8

1

ln y ? ln

( x ? 5) 2 ( x ? 4) 3 ( x ? 2) 5 ( x ? 4)
1 2

1 1 ? 2 l n x ? 5) ? l n x ? 4) ? 5 l n x ? 2) ? l n x ? 4) , ( ( ( ( 3 2

再对上式两边分别求导(注意 y 是 x 的函数) :
1 3

1 ' 1 1 5 1 , ?y ? ? ? ? y x ? 5 3( x ? 4) x ? 2 2( x ? 4)

整理便得: y ?
'

( x ? 5) ( x ? 4) ? 1 1 5 5 ? ? ? ? ?. 1 ? ? x ? 5 3( x ? 4) x ? 2 2( x ? 4) ? ( x ? 2) 5 ( x ? 4) 2
2
v( x)

(2)对函数两边同时取自然对数得: ln y ? ln u ( x)

? v( x) ln u ( x)

再对上式两边分别求导(注意 y 是 x 的函数) : 整理便得: y ? u ( x)
'

1 ' 1 ' ? y ? v ' ( x) ln u ( x) ? v( x) u ( x) y u ( x)

v( x)

v ' ( x) ln u ( x) ? u ( x) v ( x )?1 u ' ( x)v( x) .

注:从以上两题我们可以总结对数求导法的应用。 (1)也可采用直接求导法,但过程很繁琐; (2) 题可将函数化为: y ? u ( x)
v( x)

? e ln u ( x )

v( x)

? e v ( x ) ln u ( x ) 后用求导法则(如例题 5) 。

8/8


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