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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(23)解三角形的应用)


课时作业(二十三) [第 23 讲

解三角形的应用]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.已知两座灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东

10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,观测得∠ABC=120° , 则 AC 两地的距离为( ) A.10 km B. 3 km C.10 5 km D.10 7 km 3.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为 ( ) A.1 B.2sin10° C.2cos10° D.cos20° 4.[2011· 北京朝阳区二模] 如图 K23-1,一艘船上午 8:00 在 A 处测得灯塔 S 在它的 北偏东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 8:30 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 4 2 n mile,则此船的航行速度是________ n mile/h.

图 K23-1 能力提升 5.如图 K23-2,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选 定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两 点的距离为( )

图 K23-2 A.50 2 m B.50 3 m 25 2 C.25 2 m D. m 2 6.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 2a km C.2a km D. 3a km 7. 据新华社报道, 强台风“珍珠”在广东饶平登陆. 台风中心最大风力达到 12 级以上, 大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成 与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断 点与树干底部的距离是( ) 20 6 A. m B.10 6 m 3

10 6 C. m D.20 2 m 3 8.[2011· 江门一模] 海事救护船 A 在基地的北偏东 60° ,与基地相距 100 3 n mile, 渔船 B 被困海面,已知 B 距离基地 100 n mile,而且在救护船 A 的正西方,则渔船 B 与救护 船 A 的距离是( ) A.100 n mile B.200 n mile C.100 n mile 或 200 n mile D.100 3 n mile 9.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80° ,塔顶仰角为 45° ,此人沿南偏东 40° 方向前进 10 m 到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30° ,则塔高为( ) A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m 10.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A、B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为________ km. 11.如图 K23-3,在坡角为 15° 的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面 的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60° 和 30° ,且第一排和 最后一排的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米.

图 K23-3 12. [2011· 潍坊二模] 如图 K23-4, 为测得河对岸塔 AB 的高, 先在河岸上选取一点 C, 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________ m.

图 K23-4 13.[2011· 珠海二模] △ABC 中,AB=2 2,BC= 5,A=45° ,∠B 为△ABC 中最大 1 角,D 为 AC 上一点,AD= DC,则 BD=________. 2 14.(10 分)以 40 km/h 向北偏东 30° 航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺 风向正东飘去,3 分钟后气球上升到 1000 米处,从探测船上观察气球,仰角为 30° ,求气球 的水平飘移速度.

15.(13 分)[2011· 开封二模] 如图 K23-5 所示,甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向 作匀速直线航行, 速度为 15 2 n mile/h, 在甲船从 A 岛出发的同时, 乙船从 A 岛正南 40 n mile 1 tanθ= ?的方向作匀速直线航行,速度为 m n mile/h. 处的 B 岛出发,朝北偏东 θ? 2? ? (1)若两船能相遇,求 m.

(2)当 m=10 5时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离为多少 n mile?

图 K23-5

难点突破 16.(12 分)某海岛上有一座海拔 1 km 的山,山顶上有一观察站 P(P 在海平面上的射影 点为 A),测得一游艇在海岛南偏西 30° ,俯角为 45° 的 B 处,该游艇准备前往海岛正东方向, 俯角为 45° 的旅游景点 C 处,如图 K23-6 所示. (1)设游艇从 B 处直线航行到 C 处时,距离观察站 P 最近的点为 D 处. (i)求证:BC⊥平面 PAD; (ii)计算 B、D 两点间的距离. (2)海水退潮后,在(1)中的点 D 处周围 0.25 km 内有暗礁,航道变窄,为了有序参观景 点, 要求游艇从 B 处直线航行到 A 的正东方向某点 E 处后, 再沿正东方向继续驶向 C 处. 为 使游艇不会触礁,试求 AE 的最大值.

图 K23-6

课时作业(二十三) 【基础热身】 1 1.B [解析] 如图,∠CBA= (180° -80° )=50° ,α=60° -50° =10° . 2

2.D [解析] 如图,△ABC 中,AB=10,BC=20,∠B=120° . 由余弦定理得, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos120° , 1 ? =102+202-2×10×20×? ?-2?=700, ∴AC=10 7 km.

3.C [解析] 如图,在△ACD 中,由正弦定理,有 AD CD = , sin∠ACD sin∠CAD sin?180° -20° ? ∴AD= sin?20° -10° ? 2sin10° cos10° = =2cos10° . sin10°

4.16 [解析] 如图,在△ABS 中,由正弦定理,有 4 2sin?75° -30° ? AB BS = ,∴AB= =8, sin30° sin∠ASB sinA 1 故此船的航行速度是 8÷ =16(nmile/h). 2

【能力提升】 AC· sin∠ACB AB AC 5. A [解析] 由题意, 得 B=30° .由正弦定理, 得 = , ∴AB= sinB sin∠ACB sinB 2 50× 2 = =50 2(m). 1 2 6.D [解析] 依题意得∠ACB=120° ,由余弦定理,得 2 2 2 AC +BC -AB cos120° = . 2AC· BC

∴AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° 1 2 ? =a2+a2-2a2×? ?-2?=3a , ∴AB= 3a. 7.A [解析] 如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO AO 20 20 6 =45° ,∠AOB=75° ,∴∠OAB=60° .由正弦定理知, = ,∴AO= 米. sin45° sin60° 3

8.C [解析] 如图,设基地的位置为 O,在△OAB 中,OA=100 3,OB=100,∠OAB =30° , 由余弦定理,有 OB2=AB2+OA2-2AB· OAcos∠OAB, 即 AB2-300AB+2×1002=0, 解得 AB=100,或 AB=200.

9.C [解析] 如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45° ,则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30° ,则 OD= 3h. 在△OCD 中,∠OCD=120° ,CD=10. 由余弦定理得,OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠OCD, 2 2 2 即( 3h) =h +10 -2h×10×cos120° , ∴h2-5h-50=0,解得 h=10,或 h=-5(舍).

10. 6-1 [解析] 如图,由题意可得,∠ACB=120° ,AC=2,AB=3,设 BC=x,则 由余弦定理可得, AB2=BC2+AC2-2BC· ACcos120° , 即 32=x2+22-2×2xcos120° , 整理得 x2+2x=5,解得 x= 6-1.

11.30 [解析] 设旗杆高为 h 米,最后一排为点 A,第一排为点 B,旗杆顶端为点 C, h 2 3 则 BC= = h. sin60° 3 在△ABC 中,AB=10 6,∠CAB=45° ,∠ABC=105° , 2 3 h 3 10 6 所以∠ACB=30° ,由正弦定理得, = , sin30° sin45° 故 h=30. 12.10 6 [解析] 在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,

∠BCD=90° +15° =105° ,∠CBD=180° -105° -45° =30° , CD BC 由正弦定理,有 = , sin30° sin45° 2 10× 2 则 BC= =10 2, 1 2 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan60° =10 6. 13. 5 [解析] 在△ABC 中,由正弦定理,有 AB BC 2 2sin45° 2 = ,即 sinC= = , sinC sinA 5 5 1 ∴cosC= 1-sin2C= , 5 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 2 1 2 2 3 2 = × + × = , 2 2 5 5 2 5 AC BC 由正弦定理,有 = , sinB sinA 3 2 5× 2 5 得 AC= =3. 2 2 1 ∵AD= DC,∴AD=1,DC=2, 2 在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos45° 2 =(2 2)2+12-2×2 2×1× =5, 2 ∴BD= 5.

14.[解答] 如图,船从 A 航行到 C 处,气球飘到 D 处. 由题知,BD=1000 米=1 千米,AC=2 千米,

∵∠BCD=30° , ∴BC= 3千米. 设 AB=x 千米, 在△ABC 中,∵∠BAC=90° -30° =60° , ∴由余弦定理得 22+x2-2×2xcos60° =( 3)2, ∴x2-2x+1=0,∴x=1. 1 ∴气球水平飘移速度为 =20(km/h). 1 20 15.[解答] (1)设 t 小时后,两船在 M 处相遇,

1 5 2 5 由 tanθ= ,得 sinθ= ,cosθ= , 2 5 5 10 所以 sin∠AMB=sin(45° -θ)= . 10 AM AB 由正弦定理, = ,∴AM=40 2, sinθ sin∠AMB 同理得 BM=40 5. 40 2 8 40 5 ∴t= = ,m= =15 5. 3 8 15 2 3

(2)以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在 t 时刻甲、 乙两船分别在 P(x1,y1),Q(x2,y2)处,则|AP|=15 2t,|BQ|=10 5t.

=15t, ?x1=15 2tcos45° 由任意角三角函数的定义,可得? =15t, ?y1=15 2tsin45° 即点 P 的坐标是(15t,15t),

?x2=10 5tsinθ=10t, ? ?y2=10 5tcosθ-40=20t-40,
即点 Q 的坐标是(10t,20t-40), ∴|PQ|= ?-5t?2+?5t-40?2= 50t2-400t+1600= 50?t-4?2+800≥20 2, 当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2,即两船出发 4 小时时,距离最近,最近距离 为 20 2海里. 【难点突破】 16.[解答] (1)(i)证明:连接 PD,AD, ∵游艇距离观察站 P 最近的点为 D 处,∴PD⊥BC. 又依题意可知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 PA∩PD=P,∴BC⊥平面 PAD. (ii)依题意知 PA⊥AB,∠PBA=45° ,PA=1,∴AB=1, 同理 AC=1,且∠BAC=120° ,∴∠ABC=∠ACB=30° . 3 又 BC⊥AD,∴D 为 BC 的中点,且 BD= . 2

(2)解法一:依题意过点 B 作圆 D 的切线交 AC 于点 E,切点为 G, 则 AE 取得最大值. 设 AE=x,则 CE=1-x,过点 E 作 EF⊥BC 于 F,

1-x 则 EF= . 2 连接 DG,则 DG⊥BE,∴Rt△BGD∽Rt△BFE, ∴BE= 3(1-x). 在△ABE 中,BE2=AB2+AE2-2AB· AE· cos∠BAC, 2 2 2 即 3(1-x) =1+x +x,化简得 2x -7x+2=0, 7+ 33 7- 33 解得 x1= ,x2= . 4 4 7- 33 又∵0<x<1,∴x= , 4 7- 33 3 答:BD 的长为 千米,AE 的最大值为 千米. 2 4 解法二:在平面 ABC 内,以 A 为坐标原点,AC 为 x 轴,建立直角坐标系,依题意,当 直线 BE 与圆 D 相切时 AE 最长.

1 3 由已知 AB=1 得 B?- ,- ?, 2 2 ? ? 3 ? 1? 可设直线 BE:y+ =k?x+2?, 2 k 3 即 kx-y+ - =0, 2 2 1 3 由(1)知 D 为 BC 的中点,由 C(1,0)知 D? ,- ?. 4? ?4 ?3k- 3? ?4 4 ? 1 1 则 D 到直线 BE 距离为 ,即 = , 4 4 1+k2 3 3± 11? 3 3- 11 ? 得 4k2-3 3k+1=0,即 k= ?k= 舍去?, 8 8 ? ? 3 3 3+ 11? 1? ∴直线 BE 的方程:y+ = ?x+2?, 2 8 7- 33 7- 33 令 y=0 时,得 x= ,即 AE= , 4 4 7- 33 3 答:BD 的长为 千米,AE 的最大值为 千米. 2 4


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