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导数的几何意义说课


骆妃景
人教版A版选修2-2

教材分析

教法分析

教学目标

教学过程

评价反思

一. 教材分析
(1) 教材的地位和作用

(2)重点难点

(3) 课时安排

. 教材分析

(一)教材的地位和作用
导数是微积分的核心概念之一,有极其丰富的实际 背景和广泛的应用。导数的几何意义是学生在学习 了瞬时变化率就是导数之后的内容,通过这部分内 容的学习,可以帮助学生更好的理解导数的概念及 导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质 最有效的工具,是本章的关键内容。

一. 教材分析

(二)重点与难点

教学重点:导数几何意义的理解与应用
教学难点:导数几何意义的推导思路

一. 教材分析 (三)课时安排

导数的几何意义可安排两课时。本节作为 第一课时,重在探求曲线上某点处切线的斜率 和导数的关系,理解导数的几何意义,体会几 何意义在研究函数性质应用中的作用。

二. 教法分析
(一)学情分析 (二)教学方法 (三)学法分析

二. 教法分析
(一)学情分析

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变 化率刻画现实问题的过程,理解了瞬时变化率就 是导数,体会了导数的思想和实际背景,已经具 备一定的微分思想,但是对于导数在研究函数性 质中有什么作用还不够理解,多数同学对此有相 当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以 下困难,比如从割线到切线的过程中采用的逼近 方法,理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

二. 教法分析
(二)教学方法 1、多媒体辅助教学
借助多媒体教学手段引导学生发现切线斜率与该点导 数值之间的关系,使问题变得直观,易于突破难点;利用 多媒体向学生展示导数就是切线斜率的过程,体会逼近的 思想方法。

2、探究发现法教学
让学生通过动手操作课件经历“实验、探索、论证、应用” 的过程,体验从特殊到一般的认识规律,通过学生“动手、 动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会,增强参与意识, 教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正 成为教学主体。

二. 教法分析
(三)学法分析

自主、合作、探究
借助多媒体技术创设丰富的教学情境,激发学生的学习动机,培养学 习兴趣,充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探 究的方式学习。引导学生动手操作课件,指导学生讨论交流从而发现 规律,培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精 神,提高学生合作学习和数学交流的能力。

三. 教学目标
知识与技能 通过实验探求和理解导数的几何意义,

理解导数在研究函数性质中的作用,
培养学生分析、抽象、概括等思维能力。

三. 教学目标
过程与方法

在寻找切线新定义的过程中,使学生通过有 限认识无限,发现数学的美; 通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生 达到思维方式的迁移,了解科学的思维方法。

三. 教学目标
情感态度与价值观
在导数几何意义的推导过程中,渗透逼近和以 直代曲的思想,使学生了解近似与精确间的辨 证关系,激发学生勇于探索、勤于思考的精神; 通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发 学生学习数学的兴趣;培养学生合作学习和数 学交流的能力。

四. 教学过程
(一)教学流程图

(二)教学过程与设计思路

教学流程图

1

创设情境 铺垫导入

2

合作学习 探索新知 例题分析 随堂演练
3

归纳小结 反思建构 4

创设情境 铺垫导入

通过提问, 学生复习, 1、平均变化率定义: 实施类比迁 移,引入本 2.平均变化率几何意义:函数图象割线AB的斜率k ; 节课题,并 ?y f ?x0+?x ?-f ?x0? lim = lim 为探寻导数 3.导数的定义: ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x 的几何意义 4.导数的物理意义:物理中,导数的一种意义就是瞬时 作好准备. 速度,反映物体某一时刻运动的快慢程度.
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) = ?x ?x

那么,导数的几何意义是什么呢?

例 1 :设f ( x) ? x 2 , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2)
思路:先根据导数的定 义求f ' ( x),再将自变量 的值代入求得导数值。 解:由导数的定义有

f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

合作学习 探索新知

导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
Δy y y=f(x ) Q

则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
O

P

β

Δx

M

x

斜 率!

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设计意图
通过PPT课件演示割线的动态变化趋势,为学 生观察、思考提供平台,引导学生共同分析, 直观获得切线定义.通过逼近方法,将割线趋于 确定位置的直线定义为切线, 使学生体会这种 定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.

这儿的切线和以前我们学习的圆的切线是一个概念吗?
初中平面几何中圆的切线的定义:直线 和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相 切。

新概念:割线趋近于确定的位置的直线定 义为切线.

曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。

设计意图

概念的辨析有助于学生准确理解概念,避 免了学习的负向迁移. 通过普通曲线的切线与圆的切线对比,使 学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线 的交点个数决定.强化学生对切线的认识。

导数的几何意义实质 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

例题分析 随堂演练

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k ? lim f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x ? 0 ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
y
Q

y = x +1
?y

2

P
?x

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.

1

j

x

-1 O

1

例2:如图已知曲线 y ?

(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 ?x ? 0 ?x 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? ( ?x ) 2 ] ? x 2 . 3 ?x ? 0

1 3 8 x 上一点 P ( 2, ),求: 3 3

y 4 3 2 1 O -1 -2

y?

1 3 x 3

P
x 1 2

? y? | x?2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于4.

-2 -1

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

归纳小结 反思建构

归纳:求切线方程的步骤
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

作业:
1 1.求 函 数 y? 在x ? 1处 的 导 数 。 x

2 : y ? x 在x ? 2处的斜率,
2

并求出过该点的切线方 程.

板书设计
§1.13导数的几何意义
一、复习 三、应用 例1、例2 导数的定义:

PPT展示区

二、新课内容
函数f(x)在x=x0处的 导数的几何意义: 函数f(x)在x=x0处的 导数是切线PT的斜率k 四、小结与作业

五. 评价与反思
本节课我设计为一节“科学探究—合作学习”的活动课, 在整个教学过程中学生以研究者的身份学习,在问题解决 的过程中,通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰, 从直观感悟到精确掌握。

力求使学生体会微积分的基本思想,感受近似与精确的统一, 运动和静止的统一,感受量变到质变的转化。希望利用这节 课渗透辨证法的思想精髓。
教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和指导者。 学生通过自身的情感体验,能够很快的形成知识结构,转 化为数学能力。 但由于本节课大部分时间用于探究活动,例题讲解的时间 就会比较少。


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