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全国高中数学联赛预赛试题(模拟)


全国高中数学联赛预赛试题(模拟) 一、填空题(每题 10 分,80 分) 1、由曲线 | x | ? | y |?| 2 x ? 3 | 所围成的几何图形的面积为 2、设实数 x,y 满足 ? 。 ?( x ? 1) 2011 ? ( x ? 1) 2009 ? 2010 x ? 4020 ? ,则 x+y= 2011 2009 ?( y ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

010 y ? 0 ? 。 3 、 已 知 a, b, c ? R , 且 个。 1 1 1 1 ,则存在整数 k ,使下列等式成立的有 ? ? ? a b c a?b?c 1 1 1 2 k ?1 1 1 1 ? ) ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 a b c a b c 1 1 1 1 ② 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 2 k ?1 a b c a ?b ? c 2k ?1 1 1 1 2k 1 1 1 ③ ( ? ? ) ? 2k ? 2k ? 2k a b c a b c 1 1 1 1 ④ 2k ? 2k ? 2k ? 2k a b c a ? b2k ? c 2k ①( ? 4、已知平面上两定点 A(-3,0),B(0,-4),P 为曲线 y ? 12 ( x ? 0) 上任意一点, x 过点 P 作 PC⊥x 轴,PD⊥y 轴,垂足分别为 C,D,则四边形 ABCD 面积 S 的最小值 为 。 5、已知 a1 , a2 , a3 , ?, an 均为正实数,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1, 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 4 ,则 a1a2 a3 ? an = a1 a2 a3 an n 。 6 、 已 知 k1 , k2 , k3 , ?, kn 是 互 不 相 同 的 个 正 整 数 , 且 满 足 。 k13 ? k23 ? k33 ? ? ? kn3 ? 2024 ,则正整数 n 的最大值为 7 、 已 知 函 数 f ( x) ? x2 , 若 1 ? x2 m = f (1) ? f (2) ? ? ? f (101) , n = 。 ° 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? f ( ) ,则 m+n= 2 3 100 101 的两个半平面相切,则 8、已知半径为 r 的球和半径为 R 的两个相切的球都相切,且它们都与大小为 60 的二面角 R = r 。 1 二、解答题(本大题共 4 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 9、(本题 15 分)已知三棱锥 S-ABC 中,SC⊥平面 ABC,AB=BC=CA= 4 2 ,SC=2, D,E 分别为 AB,BC 的中点,若点 P 在 SE 上移动,求△PCD 面积的最小值。 S C E D A B 10、(本题 20 分)已知定点 M(-3,0),P,Q 分别是 x 轴及 y 轴上的动点,且使 MP ⊥PQ,点 N 在直线 PQ 上, PN ? ? ???? 3 ???? NQ 2 g?y? = 0 .2 5 2 ?y 10 (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程 (2)过点 T(-1,0)作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,问在 x 轴上是否存在一点 D 使△ABD 为等边三角形,若存在,求出点 D 的坐标,若不存在,请说明理由。 8 6 B 4 P 2 A -5 M

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