解三角形经典练习题集锦(附答案)

解三角形
一、选择题
1．在△ABC 中，若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ，则 c ? b 等于（
0 0

2．在△ABC 中，求证：

a b

?

b a

? c(

cos B b

?

cos A a

)

）

A． 1

B． ? 1

C． 2 3

D． ? 2 3 ）

2．若 A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ A． sin A B． cos A C． tan A D．
1 tan A

3．在△ABC 中，角 A , B 均为锐角，且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形 状是（ ） A．直角三角形 三角形

3

， sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。

．

在

锐

角

△ABC

中

求

证

：

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰

0 4．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为 60 ，则底

边长为（ A． 2 B．

）
3 2

C． 3

D． 2 3 ）
0

5．在△ A B C 中，若 b ? 2 a sin B ，则 A 等于（
30 A． 或 60
0 0

45 B． 或 60

0

0

120 或 60 C．

0

30 D． 或 150

0

0

4．在△ABC 中，设 a ? c ? 2 b , A ? C ? 6．边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是（ A． 90
0

?
3

, 求 sin B 的值。

）

B． 120

0

C． 135

0

D． 150

0

二、填空题
1 ． 在 Rt △ABC 中 ， C ? 9 0 ， 则 s i nA s i nB 的 最 大 值 是
0

_______________。 2．在△ABC 中，若 a
2

解三角形
? b
2

? bc ? c , 则 A ? _________。
2

一、选择题
3．在△ABC 中，若 b ? 2 , B ? 30 , C ? 135 , 则 a ? _________。
0 0

1．在△ABC 中， A : B : C ? 1 : 2 : 3 ，则 a : b : c 等于（ A． 1 : 2 : 3 B． 3 : 2 : 1 C． 1 : 3 : 2

）

4．在△ABC 中，若 s in A ∶ s in B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ，则 C ? _____________。 5．在△ABC 中， AB ? ________。
6 ? 2 , C ? 3 0 ，则 AC ? BC 的最大值是
0

D． 2 : 3 : 1

三、解答题

2．在△ABC 中，若角 B 为钝角，则 sin B ? sin A 的值（ ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 3．在△ABC 中，若 A ? 2 B ，则 a 等于（ ） A． 2 b sin A B． 2 b cos A C． 2 b sin B D． 2 b cos B 4．在△ABC 中，若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定

D．等腰三角形 )

5．在△ABC 中，若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 bc , 则 A ? ( 1.在△ABC 中，若 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是什 么？ A． 90
0

B． 60

0

C． 135

0

D． 150
13 14 1 8

0

6． 在△ABC 中， a ? 7 , b ? 8 , cos C ? 若 A． ?
1 5

， 则最大角的余弦是 （

）

B． ?

1 6

C． ?
A? B 2

1 7
?

D． ?
a?b a?b

7．在△ABC 中，若 ta n

，则△ABC 的形状是（

）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 形或直角三角形

D．等腰三角

二、填空题

1 ． 若 在 △ABC
a ?b?c sin A ? sin B ? sin C

中 ，

?A ? 6

0

0 b ? , S ? A B 1 ?, C

则

3

,

（数学 5 必修）第一章：解三角形

=_______。

一、选择题
1． A 为△ABC 的内角，则 sin A ? cos A 的取值范围是（ A． ( 2 , 2 ) B． ( ? 2 , 2 )
0

2．若 A , B 是锐角三角形的两内角，则 tan A tan B _____ 1 （填>或<） 。 3
s

）

．
A ? 2i c

在

△ABC

中

，

若

C． ( ? 1, 2 ]
a ?b c

D． [ ? 2 , 2 ] ）
2 sin A? B 2

B c n oC , 则 o s B ? ts C ? _________。 t a an n

2．在△ABC 中，若 C ? 90 , 则三边的比 A．
2 cos A? B 2

等于（ C．

4 ． 在 △ABC 中 ， 若 a ? 9 , b ? 10 , c ? 12 , 则 △ABC 的 形 状 是 _________。 5．在△ABC 中，若 a ?
3,b ? 2,c ? 6 ? 2 2 则 A ? _________。

B．

2 cos

A? B 2

D． 2 sin

A? B 2

3．在△ABC 中，若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ，则其面积等于（ A． 1 2 B．
21 2

）

6 ． 在 锐 角 △ABC 中 ， 若 a ? 2 ,b ? 3 ， 则 边 长 c 的 取 值 范 围 是 _________。 三、解答题 1． 在△ABC 中， A ? 1 2 0 , c ? b , a ?
0

C． 2 8

D． 6 3

4．在△ABC 中，? C ? 9 0 ， 0 ? A ? 45 ，则下列各式中正确的是
0

0

0

2 1, S ? A B C ?

3 ，求 b , c 。

（

）
? co s A ? co s B

A． sin A D． sin B

B． sin B

? co s A

C． sin

A ? co s B

5．在△ABC 中，若 ( a ? c )( a ? c ) ? b ( b ? c ) ，则 ? A ? （ A． 90
0

）

B． 60

0

C． 120
a b
2 2

0

D． 150

0

2． 在锐角△ABC 中，求证： tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

6．在△ABC 中，若

tan A tan B

?

，则△ABC 的形状是（ C．不能确定

） D．等腰

A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 三角形

二、填空题
1 ． 在 △ABC 中 ， 若 s in A ? s in B , 则 A 一 定 大 于 B ， 对 吗 ？ 填 3.在△ABC 中，求证： sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos
A 2 B 2 C 2

_________（对或错） 。 2． 在△ABC 中， cos 若 ______________。 3 ． 在 △ABC
2

cos

cos

A ? cos

2

B ? cos

2

C ? 1, 则△ABC 的形状是

中

，

∠C

是

钝

角

，

设

x ? sin C , y ? sin A ? sin B , z ? cos A ? cos B ,

则 x , y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中，若 A ? B ? 120 ，则求证：
0

a b?c

?

b a ?c

4
?1。

．
A ? cs o

在

△ABC

中

，

若

a ? c ? 2b

，

则

c

C ? cs o

1 A c sC ? s s o o 3

A s n i ? ______。 i C n

5．在△ABC 中，若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C , 则 B 的取值范围 是_______________。 6．在△ABC 中，若 b ? ac ，则 cos( A ? C ) ? cos B ? cos 2 B 的值
2

5．在△ABC 中，若 a c o s

2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3b 2

，则求证： a ? c ? 2 b

是_________。

三、解答题
1．在△ABC 中，若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ，请
2 2 2 2

判断三角形的形状。

1.

1 2

sin A sin B ? sin A c o s A ?

1 2

sin 2 A ?

1 2

2. 120

0

c o sA ?

b ?c ?a
2 2

2

? ?

1 2

A ? ,

1 2 0

0

2bc

1． 如 果 △ABC
2R( s
2

内 接 于 半 径 为
i C ) ? ( 2a ? b) s n
2

R

的 圆 ， 且

3.
a s in A b s in B b s in A s in B

6 ?

2

iA ? s n

i B ,n

A ? 15 ,
0

?

,a ?

? 4 s in A ? 4 s in 1 5 ? 4 ?
0

6 ?2 4

求△ABC 的面积的最大值。

4. 120

0

a ∶ b ∶ c ? s in A ∶ s in B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ，

令
a ?b ?c
2 2 2

a ? 7 k , b ? 8k , c ? 13k

3.已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
2

，求 a : b : c

cos C ?

? ?
BC

1 2

, C ? 120
AB sin C

0

2ab

5. 4

AC sin B

?

?

,

AC ? BC sin B ? sin A

?

AB sin C

, A C? B C A? B 2 cos A?B 2

sin A

? 2( 6 ?

2 )(s in A ? s in B ) ? 4 ( 6 ?

2 ) s in

? 4 cos

A?B 2

? 4 , ( A C ? B C ) m ax ? 4

三、解答题
4 ． 在 △ABC
t a An ?

中 ， 若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 a c

， 且

1. 解
ac ?

：
o A

C t ? a ?n

3 3 ， A B 边上的高为 4 3 ，求角 A , B , C 的
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 sin ( A ? B ) co s( A ? B ) ? 2 sin C co s C

大小与边 a , b , c 的长

co s( A ? B ) ? ? co s( A ? B ), 2 co s A co s B ? 0
co s A ? 0 或 co s B ? 0 ，得 A ?

?
2

或B ?

?
2

所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将 cos B ?
a
2

? c

2

?b

2

， cos A ?

b

2

? c

2

? a

2

代入右边

2 ac

2 bc
2

[基础训练 A 组]
一、选择题
1.C 2.A 3.C
?
2 b a
0 ? A ? ? , sin A ? 0

得右边 ? c (
0 0

a ?c ?b
2 2

?

b ?c ?a
2 2

2

)?

2 a ? 2b
2

2

2abc
? ta n 3 0 , b ? a ta n 3 0 ? 2 3 , c ? 2 b ? 4 4,c ? b ? 2 3

2abc b a
? cos A a )

2ab

?

a ?b
2

2

?

a b

?

? 左边，

ab

c o s A ? s in (

?
2

? A ) ? s in B , ,C ?

?
2

? A, B

都 是 锐 角 ， 则

∴

a b

?

b a

? c(

cos B b

? A ? B, A ? B ?

?
2

?
2

3 ． 证 明 ： ∵ △ABC 是 锐 角 三 角 形 ， ∴ A ? B ?
?
1 2 , A ? 3 0 或1 5 0
0

?
2

, 即

4.D 作出图形 5.D 6.B
c
b ? 2 a sin B , sin B ? 2 sin A sin B , sin A ?
0

? A ?

?
2

?B ? 0

2

设
? ? o
5 ?
2

中
2

间
7 ? ? 8
2 0

角
1 2 ? ,
0

为
?

?
0

，
,

则
0

∴ s in A ? s in (

?
2

? B)

， 即 s i A n?

Bc ； s同 理 o

s 2? ?

? 8

sin B ? co s C ； sin C ? co s A

?

6 为所求 0

1

8

0∴ sin A ? sin B0? sin C ?1 cos A2? cos 0B ? cos C 6

5

二、填空题

4.

解

：

∵

a ? c ? 2b,

∴

sin A ? sin C ? 2 sin B

，

即

2 s in

A?C 2

cos

A?C 2

? 4 s in

B 2

cos

B 2

，
B 2

2.
?
2

?

A? B ?

?
2

,A ?

?
2

?B

，

即

∴

s in

B 2

?

1 2

cos

A?C 2

?

3 4

，

而

0?

?

,

∴

t

A a?

s ? n ? B ? t 2 c
? cos B s in B ? 1 ta n B t aCn ?

?

?

i? B n 2a n o? B s 2

( ( (
1 ta n B

) ) )
, ta n A ta n B ? 1

cos

B 2

?

13 4

，

， ta n A ?
s i nB co s B ?

∴ s in B ? 2 s in

B 2

cos

B 2

? 2?

3 4

?

13 4

?

39 8

3.

2

t a nB ?

sin C co s C

?

s in B c o s C ? c o s B ? s in C cos B cos C

?

s in ( B ? C ) 1 2 s in A

?

2 s in A s in A

[综合训练 B 组]
一、选择题
1.C
A ?

4. 锐角三角形
?
2 1 2 3 2 2 2

C 为最大角， co s C ? 0, C 为锐角
0

?
6

,B ?

?
3

,C ?

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

:

:

? 1:

3 :2

5.
8? 4 4 2 2? 6 ? 2 2 3 ?3 ? 2?

60

2.A
s i An?

A? B ??,A?? ?B

， 且 A,? ? B 都 是 锐 角 ，
s i n

co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

2? ?

3 ?1 2 ? ( 3 ? 1)

?

1 2

2bc

?s i? B ( ? n

B )

6 3.D 4.D
sin A ? sin 2 B ? 2 sin B co s B , a ? 2 b co s B
2 2 2 2

．

( 5 , 13 )

lg

sin A c o s B sin C

? lg 2 ,

sin A c o s B sin C

? 2 , sin A ? 2 c o s B sin C

sin ( B ? C ) ? 2 co s B sin C , sin B co s C ? co s B sin C ? 0, sin ( B ? C ) ? 0, B ? C ，等腰三角形

? a ? b ? c ?1 3 ? c ? 2 ? 2 2 2 2 ? a ? c ? b , ? 4 ? c ? 9 , 5 ? c ? 1 3, ? 2 2 2 ? 2 ?c ? b ? a ?c ? 9 ? 4

5 ? c?

13

三、解答题
1.解： S ? A B C ? 5.B
( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 b c , ( b ? c ) ? a ? 3 b c ,
2 2 2 2

1 2

b c s in A ?
2

3 , bc ? 4,

a ? b ? c ? b c o s A, b 2 ?
b ? c ? a ? 3b c , c oA ? s
2 2 2

c ，而 c ? b ? 5

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

A ,?

6 0
1 7

0

2bc

所以 b ? 1, c ? 4 2. 证 明 ： ∵ △ABC 是 锐 角 三 角 形 ， ∴ A ? B ?
?
2 ? A ?

6.C

c ? a ? b ? 2 a b co s C ? 9, c ? 3 ， B 为最大角，c o s B ? ?
2 2 2

?
2

, 即

7.D

ta n

A? B 2

?

a?b a?b

?

s in A ? s in B s in A ? s in B

2 cos ? 2 s in

A? B 2 A? B 2

s in cos

A?B 2 ， A?B 2

?
2

?B ? 0

∴ s in A ? s in (

?
2

? B)

， 即 s i A n?

Bc ； s同 理 o

ta n

A? B 2

ta n ? ta n

A? B A? B A? B 2 , ta n ? 0 ，或 ta n ?1 A? B 2 2 2

sin B ? co s C ； sin C ? co s A

∴
s in A s in B s in C ? c o s A c o s B c o s C , s in A s in B s in C cos A cos B cos C ?1

所以 A ? B 或 A ? B ?

?
2

3.

∴ tan A ? tan B ? tan C ? 1 证 明
A? B 2 A?B 2 (c o s A 2 cos B 2 cos C 2 A 2 cos A?B 2 cos B 2 ? cos cos A?B 2 ? 2 s in A? B 2 A? B 2 )

：
? s in ( A ? B ) cos A? B 2

∵

二、填空题
1.
2 39 3

s in A ? s in B ? s in C ? 2 s in ? 2 s in ? 2 s in A? B 2 A? B 2 C 2 A 2 cos

S ?ABC ?

1 2

b c s i nA ?

1 2

c?

3 2

?

3 ,? c

a ,? 4
2

a ? , 1 3

1 3

? 2 cos ? 4 cos

? 2 cos

a?b?c s in A ? s in B ? s in C

?

a s in A

?

13 3 2

?

2 39 3

∴ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

B 2

cos

C 2

4．证明：要证

a b?c
2 2

?

b a ?c
2

? 1 ，只要证

a ? ac ? b ? bc
2 2

ab ? bc ? ac ? c

2

?1，

c ? a ? b , sin C ? sin A ? sin B , x ? y , x ? y ? z

4
s i nA ? s iC ? n 2 sB n i

．
A? C , 2 sin 2 A?C 2
2

1
A? C c o? s 2 A 2 C 2 2 1 3 sin A sin C
2

即 a ? b ? c ? ab 而∵ A ? B ? 1 2 0 , ∴ C ? 6 0
0

A ? 2 A 2

C 4 sin

A ? 2

C co s

0

cos

A?C 2

? 2 cos

, cos A 2 s in

cos

? 3 s in

s in

C 2

cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

, a ? b ? c ? 2 ab cos 60 ? ab
2 2 2 0

2ab

则 s in A s in C ? 4 s in
3

1

2

C

∴原式成立。 5．证明：∵ a c o s
2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3b 2 1 ? cos A 2 ? 3 sin B 2

cos A ? cos C ? cos A cos C ?

∴ sin A ?

1 ? cos C 2

? ? (1 ? c o s A )(1 ? c o s C ) ? 1 ? 4 s in ? ? 2 s in
2

A 2

s in

2

C 2

? sin C ?

A 2

即 sin A ? sin A co s C ? sin C ? sin C co s A ? 3 sin B ∴ sin A ? sin C ? sin ( A ? C ) ? 3 sin B 即 sin A ? sin C ? 2 sin B ，∴ a ? c ? 2 b 5.

? 2 s in

2

C 2

? 4 s in

2

A 2

s in

2

C 2

?1 ?1 [

?
3

,

?
2

)

ta n B ? ta n A ta n C , ta n B ? ? ta n ( A ? C ) ?
2

ta n A ? ta n C ta n A ta n C ? 1

[提高训练 C 组]
ta n B ? ? ta n ( A ? C ) ?

ta n A ? ta n C ta n B ? 1
2

一、选择题
3

1.C

s in A ? c o s A ?

2 s in ( A ?

?
4

tan B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2
),

tan A tan C ? 2 tan B

而0 ? A ? ? ,
a?b c ? 2 sin A? B 2 1 2 ?

?
4

? A?

?
4

?

5? 4

? ?

2 2

? s in ( A ?

?
4

)?1

ta n B ? 3 ta n B , ta n B ? 0 ? ta n B ?
3

3 ? B ?

?
3

2.B

s in A ? s in B s in C cos
0

6． 1
? s in A ? s in B ? 2 cos 1 2
0 0

b ? a c , sin B ? sin A sin C , c o s ( ? C ) ? c o sB ? c o s2 B A
2 2

A?B 2

A?B 2

? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin B
2

? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin A sin C ? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1
? co s( A ? C ) ? co s B ? 1 ? 1

3.D 4.D

cos A ?

, A ? 6 0 , S ? ABC ?
0

b c s in A ? 6 3

A ? B ? 9 0 则 sin A ? co s B , sin B ? co s A ， 0 ? A ? 4 5 ,

三、解答题
sin A ? co s A ， 4 5 ? B ? 9 0 , sin B ? co s B
0 0

5.C 6.B
sin A ?

a ? c ? b ? bc, b ? c ? a ? ? bc, cos A ? ?
2 2 2 2 2 2

1 2

, A ? 120

0

1. 解：

a ?b
2

2 2

a ?b
2

?

s in ( A ? B ) a s in A c o s B s in A , 2 ? ? 2 s in ( A ? B ) b c o s A s in B s in B
2 2

co s B

?

s iAn s iBn

, s i nA ? 2

s iB 2A ? 2 B 或 22 ? n , A

B ? ?2

cos B

?

c o s A sin B

sin A c o s B sin A , ? , sin A c o s A ? sin B c o s B 2 sin B c o s A sin B

2

c o sA

∴等腰或直角三角形 2. 解： 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C ? ( 2 a ? b ) sin B ,

sin A? 2

s i n 2 A ?2 B ,

或2 B

A 2 ?

B? 2 ?
a sin A ? c sin C ? ( 2 a ? b ) sin B , a ? c ?
2 2

2ab ? b ,
2

二、填空题
1. 对
s i n A ? s i nB , 则

a 2R

?

b 2R

? a ? b? A ? B ?1 co s 2 B ?
2

a ?b ?c ?
2 2 2

2 ab, cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

?

2 2

, C ? 45

0

2ab
c o ?B ( ? A s ) 1, c s in C ? 2 R , c ? 2 R s in C ? 2R,a ? b ? 2R
2 2

2. 直角三角形

1 2

( 1? c o sA2 ? 1 2

)

2

2

?

2ab,

(c o s 2 A ? c o s 2 B ) ? c o s ( A ? B ) ? 0 ,
2

2R ?
2

2ab ? a ? b ? 2ab, ab ?
2 2

2R 2?
2

2

2
2 ?1 2

co s( A ? B ) co s( A ? B ) ? co s ( A ? B ) ? 0
co s A co s B co s C ? 0

S ?
x ? y ? z

1 2

a b s in C ?

2 4

ab ?

2 4
2

?

2R 2?

3.
A? B ?

2
2 4

, S max ?

R

2

?
2

,A?

?
2

? B , s iA ? n

cB s o

B s?i n ,

A y o s c? z

,

另法： S ?

1 2

a b s in C ?

ab ?

? 2 R s in A ? 2 R s in B

4

?

2 4

? 2 R s in A ? 2 R s in B ?
1 2

2 R s in A s in B

2

?

2R ?
2

? [c o s ( A ? B ) ? c o s ( A ? B )]

? ?

2R ?
2

1 2

? [co s( A ? B ) ? 2 2

2 2

]

2R 2

2

? (1 ?

)

? S m ax ?

2 ?1 2

R

2

此时 A ? B 取得等号 ：

3. 解
s A? A? 2 i

C ?

C

? 2

n

B

sin

B 2

?

1 2

cos

A?C 2

?

2 4

, cos

B 2

?

14 4

, sin B ? 2 sin

B 2

cos

B 2

?

7 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?

3? 4

?

B 2

,C ?

?
4

?

B 2

s in A ? s in (

3? 4

? B ) ? s in

3? 4

cos B ? cos

3? 4

s in B ?

7 ?1 4

sin C ? sin (

?
4

? B ) ? sin

?
4

cos B ? cos

?
4

sin B ?

7 ?1 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? ( 7 ?

7 ) : 7 : (7 ?

7)

4. 解
(a ?
2

：
1 2 b? )
2

c ( ?

ta n ( A ? C ) ?

ta n A ? ta n C 1 ? ta n A ta n C

,? 3 ?

3?

3

1 ? ta n A ta n C

,

tan A tan C ? 2 ?
? ta n A ? 2 ? ? 得? ? ta n C ? 1 ? 3

3 ，联合 tan A ? tan C ? 3 ?
0

3
0

? ta n A ? 1 ? 或 ? ? ta n C ? 2 ? ?
0 0

? A ? 75 ? A ? 45 ? ? 或 ? ，即 ? 0 0 3 ?C ? 45 ?C ? 75 ? ?

当
4 3 s in A

A ? 75 , C ? 45

时

，

b ?

? 4 (3 2 ?

6 ), c ? 8 ( 3 ? 1), a ? 8

0 0 当 A ? 4 5 , C ? 7 5 时， b ?

4 3 sin A

? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1), a ? 8

∴
a ?8

当
,b ?
0 0

A ? 75 , B ? 60 , C ? 45
0 0

0

时
? 2

，
? 6 ) , 8 ( 3 1 ) ,

4
0

? (

c

3

当 A ? 4 5 , B ? 6 0 , C ? 7 5 时， a ? 8, b ? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1) 。