解三角形经典练习题集锦(附答案)
解三角形
一、选择题
1．在△ABC 中，若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ，则 c ? b 等于（
0 0
2．在△ABC 中，求证：
a b
?
b a
? c(
cos B b
?
cos A a
)
）
A． 1
B． ? 1
C． 2 3
D． ? 2 3 ）
2．若 A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ A． sin A B． cos A C． tan A D．
1 tan A
3．在△ABC 中，角 A , B 均为锐角，且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形 状是（ ） A．直角三角形 三角形
3
， sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。
．
在
锐
角
△ABC
中
求
证
：
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰
0 4．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为 60 ，则底
边长为（ A． 2 B．
）
3 2
C． 3
D． 2 3 ）
0
5．在△ A B C 中，若 b ? 2 a sin B ，则 A 等于（
30 A． 或 60
0 0
45 B． 或 60
0
0
120 或 60 C．
0
30 D． 或 150
0
0
4．在△ABC 中，设 a ? c ? 2 b , A ? C ? 6．边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是（ A． 90
0
?
3
, 求 sin B 的值。
）
B． 120
0
C． 135
0
D． 150
0
二、填空题
1 ． 在 Rt △ABC 中 ， C ? 9 0 ， 则 s i nA s i nB 的 最 大 值 是
0
_______________。 2．在△ABC 中，若 a
2
解三角形
? b
2
? bc ? c , 则 A ? _________。
2
一、选择题
3．在△ABC 中，若 b ? 2 , B ? 30 , C ? 135 , 则 a ? _________。
0 0
1．在△ABC 中， A : B : C ? 1 : 2 : 3 ，则 a : b : c 等于（ A． 1 : 2 : 3 B． 3 : 2 : 1 C． 1 : 3 : 2
）
4．在△ABC 中，若 s in A ∶ s in B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ，则 C ? _____________。 5．在△ABC 中， AB ? ________。
6 ? 2 , C ? 3 0 ，则 AC ? BC 的最大值是
0
D． 2 : 3 : 1
三、解答题
2．在△ABC 中，若角 B 为钝角，则 sin B ? sin A 的值（ ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 3．在△ABC 中，若 A ? 2 B ，则 a 等于（ ） A． 2 b sin A B． 2 b cos A C． 2 b sin B D． 2 b cos B 4．在△ABC 中，若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定
D．等腰三角形 )
5．在△ABC 中，若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 bc , 则 A ? ( 1.在△ABC 中，若 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是什 么？ A． 90
0
B． 60
0
C． 135
0
D． 150
13 14 1 8
0
6． 在△ABC 中， a ? 7 , b ? 8 , cos C ? 若 A． ?
1 5
， 则最大角的余弦是 （
）
B． ?
1 6
C． ?
A? B 2
1 7
?
D． ?
a?b a?b
7．在△ABC 中，若 ta n
，则△ABC 的形状是（
）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 形或直角三角形
D．等腰三角
二、填空题
1 ． 若 在 △ABC
a ?b?c sin A ? sin B ? sin C
中 ，
?A ? 6
0
0 b ? , S ? A B 1 ?, C
则
3
,
（数学 5 必修）第一章：解三角形
=_______。
一、选择题
1． A 为△ABC 的内角，则 sin A ? cos A 的取值范围是（ A． ( 2 , 2 ) B． ( ? 2 , 2 )
0
2．若 A , B 是锐角三角形的两内角，则 tan A tan B _____ 1 （填>或<） 。 3
s
）
．
A ? 2i c
在
△ABC
中
，
若
C． ( ? 1, 2 ]
a ?b c
D． [ ? 2 , 2 ] ）
2 sin A? B 2
B c n oC , 则 o s B ? ts C ? _________。 t a an n
2．在△ABC 中，若 C ? 90 , 则三边的比 A．
2 cos A? B 2
等于（ C．
4 ． 在 △ABC 中 ， 若 a ? 9 , b ? 10 , c ? 12 , 则 △ABC 的 形 状 是 _________。 5．在△ABC 中，若 a ?
3,b ? 2,c ? 6 ? 2 2 则 A ? _________。
B．
2 cos
A? B 2
D． 2 sin
A? B 2
3．在△ABC 中，若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ，则其面积等于（ A． 1 2 B．
21 2
）
6 ． 在 锐 角 △ABC 中 ， 若 a ? 2 ,b ? 3 ， 则 边 长 c 的 取 值 范 围 是 _________。 三、解答题 1． 在△ABC 中， A ? 1 2 0 , c ? b , a ?
0
C． 2 8
D． 6 3
4．在△ABC 中，? C ? 9 0 ， 0 ? A ? 45 ，则下列各式中正确的是
0
0
0
2 1, S ? A B C ?
3 ，求 b , c 。
（
）
? co s A ? co s B
A． sin A D． sin B
B． sin B
? co s A
C． sin
A ? co s B
5．在△ABC 中，若 ( a ? c )( a ? c ) ? b ( b ? c ) ，则 ? A ? （ A． 90
0
）
B． 60
0
C． 120
a b
2 2
0
D． 150
0
2． 在锐角△ABC 中，求证： tan A ? tan B ? tan C ? 1 。
6．在△ABC 中，若
tan A tan B
?
，则△ABC 的形状是（ C．不能确定
） D．等腰
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 三角形
二、填空题
1 ． 在 △ABC 中 ， 若 s in A ? s in B , 则 A 一 定 大 于 B ， 对 吗 ？ 填 3.在△ABC 中，求证： sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos
A 2 B 2 C 2
_________（对或错） 。 2． 在△ABC 中， cos 若 ______________。 3 ． 在 △ABC
2
cos
cos
A ? cos
2
B ? cos
2
C ? 1, 则△ABC 的形状是
中
，
∠C
是
钝
角
，
设
x ? sin C , y ? sin A ? sin B , z ? cos A ? cos B ,
则 x , y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中，若 A ? B ? 120 ，则求证：
0
a b?c
?
b a ?c
4
?1。
．
A ? cs o
在
△ABC
中
，
若
a ? c ? 2b
，
则
c
C ? cs o
1 A c sC ? s s o o 3
A s n i ? ______。 i C n
5．在△ABC 中，若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C , 则 B 的取值范围 是_______________。 6．在△ABC 中，若 b ? ac ，则 cos( A ? C ) ? cos B ? cos 2 B 的值
2
5．在△ABC 中，若 a c o s
2
C 2
? c cos
2
A 2
?
3b 2
，则求证： a ? c ? 2 b
是_________。
三、解答题
1．在△ABC 中，若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ，请
2 2 2 2
判断三角形的形状。
1.
1 2
sin A sin B ? sin A c o s A ?
1 2
sin 2 A ?
1 2
2. 120
0
c o sA ?
b ?c ?a
2 2
2
? ?
1 2
A ? ,
1 2 0
0
2bc
1． 如 果 △ABC
2R( s
2
内 接 于 半 径 为
i C ) ? ( 2a ? b) s n
2
R
的 圆 ， 且
3.
a s in A b s in B b s in A s in B
6 ?
2
iA ? s n
i B ,n
A ? 15 ,
0
?
,a ?
? 4 s in A ? 4 s in 1 5 ? 4 ?
0
6 ?2 4
求△ABC 的面积的最大值。
4. 120
0
a ∶ b ∶ c ? s in A ∶ s in B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ，
令
a ?b ?c
2 2 2
a ? 7 k , b ? 8k , c ? 13k
3.已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2 b , A ? C ?
?
2
，求 a : b : c
cos C ?
? ?
BC
1 2
, C ? 120
AB sin C
0
2ab
5. 4
AC sin B
?
?
,
AC ? BC sin B ? sin A
?
AB sin C
, A C? B C A? B 2 cos A?B 2
sin A
? 2( 6 ?
2 )(s in A ? s in B ) ? 4 ( 6 ?
2 ) s in
? 4 cos
A?B 2
? 4 , ( A C ? B C ) m ax ? 4
三、解答题
4 ． 在 △ABC
t a An ?
中 ， 若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 a c
， 且
1. 解
ac ?
：
o A
C t ? a ?n
3 3 ， A B 边上的高为 4 3 ，求角 A , B , C 的
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 sin ( A ? B ) co s( A ? B ) ? 2 sin C co s C
大小与边 a , b , c 的长
co s( A ? B ) ? ? co s( A ? B ), 2 co s A co s B ? 0
co s A ? 0 或 co s B ? 0 ，得 A ?
?
2
或B ?
?
2
所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将 cos B ?
a
2
? c
2
?b
2
， cos A ?
b
2
? c
2
? a
2
代入右边
2 ac
2 bc
2
[基础训练 A 组]
一、选择题
1.C 2.A 3.C
?
2 b a
0 ? A ? ? , sin A ? 0
得右边 ? c (
0 0
a ?c ?b
2 2
?
b ?c ?a
2 2
2
)?
2 a ? 2b
2
2
2abc
? ta n 3 0 , b ? a ta n 3 0 ? 2 3 , c ? 2 b ? 4 4,c ? b ? 2 3
2abc b a
? cos A a )
2ab
?
a ?b
2
2
?
a b
?
? 左边，
ab
c o s A ? s in (
?
2
? A ) ? s in B , ,C ?
?
2
? A, B
都 是 锐 角 ， 则
∴
a b
?
b a
? c(
cos B b
? A ? B, A ? B ?
?
2
?
2
3 ． 证 明 ： ∵ △ABC 是 锐 角 三 角 形 ， ∴ A ? B ?
?
1 2 , A ? 3 0 或1 5 0
0
?
2
, 即
4.D 作出图形 5.D 6.B
c
b ? 2 a sin B , sin B ? 2 sin A sin B , sin A ?
0
? A ?
?
2
?B ? 0
2
设
? ? o
5 ?
2
中
2
间
7 ? ? 8
2 0
角
1 2 ? ,
0
为
?
?
0
，
,
则
0
∴ s in A ? s in (
?
2
? B)
， 即 s i A n?
Bc ； s同 理 o
s 2? ?
? 8
sin B ? co s C ； sin C ? co s A
?
6 为所求 0
1
8
0∴ sin A ? sin B0? sin C ?1 cos A2? cos 0B ? cos C 6
5
二、填空题
4.
解
：
∵
a ? c ? 2b,
∴
sin A ? sin C ? 2 sin B
，
即
2 s in
A?C 2
cos
A?C 2
? 4 s in
B 2
cos
B 2
，
B 2
2.
?
2
?
A? B ?
?
2
,A ?
?
2
?B
，
即
∴
s in
B 2
?
1 2
cos
A?C 2
?
3 4
，
而
0?
?
,
∴
t
A a?
s ? n ? B ? t 2 c
? cos B s in B ? 1 ta n B t aCn ?
?
?
i? B n 2a n o? B s 2
( ( (
1 ta n B
) ) )
, ta n A ta n B ? 1
cos
B 2
?
13 4
，
， ta n A ?
s i nB co s B ?
∴ s in B ? 2 s in
B 2
cos
B 2
? 2?
3 4
?
13 4
?
39 8
3.
2
t a nB ?
sin C co s C
?
s in B c o s C ? c o s B ? s in C cos B cos C
?
s in ( B ? C ) 1 2 s in A
?
2 s in A s in A
[综合训练 B 组]
一、选择题
1.C
A ?
4. 锐角三角形
?
2 1 2 3 2 2 2
C 为最大角， co s C ? 0, C 为锐角
0
?
6
,B ?
?
3
,C ?
, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?
:
:
? 1:
3 :2
5.
8? 4 4 2 2? 6 ? 2 2 3 ?3 ? 2?
60
2.A
s i An?
A? B ??,A?? ?B
， 且 A,? ? B 都 是 锐 角 ，
s i n
co s A ?
b ?c ?a
2 2
2
2? ?
3 ?1 2 ? ( 3 ? 1)
?
1 2
2bc
?s i? B ( ? n
B )
6 3.D 4.D
sin A ? sin 2 B ? 2 sin B co s B , a ? 2 b co s B
2 2 2 2
．
( 5 , 13 )
lg
sin A c o s B sin C
? lg 2 ,
sin A c o s B sin C
? 2 , sin A ? 2 c o s B sin C
sin ( B ? C ) ? 2 co s B sin C , sin B co s C ? co s B sin C ? 0, sin ( B ? C ) ? 0, B ? C ，等腰三角形
? a ? b ? c ?1 3 ? c ? 2 ? 2 2 2 2 ? a ? c ? b , ? 4 ? c ? 9 , 5 ? c ? 1 3, ? 2 2 2 ? 2 ?c ? b ? a ?c ? 9 ? 4
5 ? c?
13
三、解答题
1.解： S ? A B C ? 5.B
( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 b c , ( b ? c ) ? a ? 3 b c ,
2 2 2 2
1 2
b c s in A ?
2
3 , bc ? 4,
a ? b ? c ? b c o s A, b 2 ?
b ? c ? a ? 3b c , c oA ? s
2 2 2
c ，而 c ? b ? 5
b ?c ?a
2 2
2
?
1 2
A ,?
6 0
1 7
0
2bc
所以 b ? 1, c ? 4 2. 证 明 ： ∵ △ABC 是 锐 角 三 角 形 ， ∴ A ? B ?
?
2 ? A ?
6.C
c ? a ? b ? 2 a b co s C ? 9, c ? 3 ， B 为最大角，c o s B ? ?
2 2 2
?
2
, 即
7.D
ta n
A? B 2
?
a?b a?b
?
s in A ? s in B s in A ? s in B
2 cos ? 2 s in
A? B 2 A? B 2
s in cos
A?B 2 ， A?B 2
?
2
?B ? 0
∴ s in A ? s in (
?
2
? B)
， 即 s i A n?
Bc ； s同 理 o
ta n
A? B 2
ta n ? ta n
A? B A? B A? B 2 , ta n ? 0 ，或 ta n ?1 A? B 2 2 2
sin B ? co s C ； sin C ? co s A
∴
s in A s in B s in C ? c o s A c o s B c o s C , s in A s in B s in C cos A cos B cos C ?1
所以 A ? B 或 A ? B ?
?
2
3.
∴ tan A ? tan B ? tan C ? 1 证 明
A? B 2 A?B 2 (c o s A 2 cos B 2 cos C 2 A 2 cos A?B 2 cos B 2 ? cos cos A?B 2 ? 2 s in A? B 2 A? B 2 )
：
? s in ( A ? B ) cos A? B 2
∵
二、填空题
1.
2 39 3
s in A ? s in B ? s in C ? 2 s in ? 2 s in ? 2 s in A? B 2 A? B 2 C 2 A 2 cos
S ?ABC ?
1 2
b c s i nA ?
1 2
c?
3 2
?
3 ,? c
a ,? 4
2
a ? , 1 3
1 3
? 2 cos ? 4 cos
? 2 cos
a?b?c s in A ? s in B ? s in C
?
a s in A
?
13 3 2
?
2 39 3
∴ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos
B 2
cos
C 2
4．证明：要证
a b?c
2 2
?
b a ?c
2
? 1 ，只要证
a ? ac ? b ? bc
2 2
ab ? bc ? ac ? c
2
?1，
c ? a ? b , sin C ? sin A ? sin B , x ? y , x ? y ? z
4
s i nA ? s iC ? n 2 sB n i
．
A? C , 2 sin 2 A?C 2
2
1
A? C c o? s 2 A 2 C 2 2 1 3 sin A sin C
2
即 a ? b ? c ? ab 而∵ A ? B ? 1 2 0 , ∴ C ? 6 0
0
A ? 2 A 2
C 4 sin
A ? 2
C co s
0
cos
A?C 2
? 2 cos
, cos A 2 s in
cos
? 3 s in
s in
C 2
cos C ?
a ?b ?c
2 2
2
, a ? b ? c ? 2 ab cos 60 ? ab
2 2 2 0
2ab
则 s in A s in C ? 4 s in
3
1
2
C
∴原式成立。 5．证明：∵ a c o s
2
C 2
? c cos
2
A 2
?
3b 2 1 ? cos A 2 ? 3 sin B 2
cos A ? cos C ? cos A cos C ?
∴ sin A ?
1 ? cos C 2
? ? (1 ? c o s A )(1 ? c o s C ) ? 1 ? 4 s in ? ? 2 s in
2
A 2
s in
2
C 2
? sin C ?
A 2
即 sin A ? sin A co s C ? sin C ? sin C co s A ? 3 sin B ∴ sin A ? sin C ? sin ( A ? C ) ? 3 sin B 即 sin A ? sin C ? 2 sin B ，∴ a ? c ? 2 b 5.
? 2 s in
2
C 2
? 4 s in
2
A 2
s in
2
C 2
?1 ?1 [
?
3
,
?
2
)
ta n B ? ta n A ta n C , ta n B ? ? ta n ( A ? C ) ?
2
ta n A ? ta n C ta n A ta n C ? 1
[提高训练 C 组]
ta n B ? ? ta n ( A ? C ) ?
ta n A ? ta n C ta n B ? 1
2
一、选择题
3
1.C
s in A ? c o s A ?
2 s in ( A ?
?
4
tan B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2
),
tan A tan C ? 2 tan B
而0 ? A ? ? ,
a?b c ? 2 sin A? B 2 1 2 ?
?
4
? A?
?
4
?
5? 4
? ?
2 2
? s in ( A ?
?
4
)?1
ta n B ? 3 ta n B , ta n B ? 0 ? ta n B ?
3
3 ? B ?
?
3
2.B
s in A ? s in B s in C cos
0
6． 1
? s in A ? s in B ? 2 cos 1 2
0 0
b ? a c , sin B ? sin A sin C , c o s ( ? C ) ? c o sB ? c o s2 B A
2 2
A?B 2
A?B 2
? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin B
2
? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin A sin C ? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1
? co s( A ? C ) ? co s B ? 1 ? 1
3.D 4.D
cos A ?
, A ? 6 0 , S ? ABC ?
0
b c s in A ? 6 3
A ? B ? 9 0 则 sin A ? co s B , sin B ? co s A ， 0 ? A ? 4 5 ,
三、解答题
sin A ? co s A ， 4 5 ? B ? 9 0 , sin B ? co s B
0 0
5.C 6.B
sin A ?
a ? c ? b ? bc, b ? c ? a ? ? bc, cos A ? ?
2 2 2 2 2 2
1 2
, A ? 120
0
1. 解：
a ?b
2
2 2
a ?b
2
?
s in ( A ? B ) a s in A c o s B s in A , 2 ? ? 2 s in ( A ? B ) b c o s A s in B s in B
2 2
co s B
?
s iAn s iBn
, s i nA ? 2
s iB 2A ? 2 B 或 22 ? n , A
B ? ?2
cos B
?
c o s A sin B
sin A c o s B sin A , ? , sin A c o s A ? sin B c o s B 2 sin B c o s A sin B
2
c o sA
∴等腰或直角三角形 2. 解： 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C ? ( 2 a ? b ) sin B ,
sin A? 2
s i n 2 A ?2 B ,
或2 B
A 2 ?
B? 2 ?
a sin A ? c sin C ? ( 2 a ? b ) sin B , a ? c ?
2 2
2ab ? b ,
2
二、填空题
1. 对
s i n A ? s i nB , 则
a 2R
?
b 2R
? a ? b? A ? B ?1 co s 2 B ?
2
a ?b ?c ?
2 2 2
2 ab, cos C ?
a ?b ?c
2 2
2
?
2 2
, C ? 45
0
2ab
c o ?B ( ? A s ) 1, c s in C ? 2 R , c ? 2 R s in C ? 2R,a ? b ? 2R
2 2
2. 直角三角形
1 2
( 1? c o sA2 ? 1 2
)
2
2
?
2ab,
(c o s 2 A ? c o s 2 B ) ? c o s ( A ? B ) ? 0 ,
2
2R ?
2
2ab ? a ? b ? 2ab, ab ?
2 2
2R 2?
2
2
2
2 ?1 2
co s( A ? B ) co s( A ? B ) ? co s ( A ? B ) ? 0
co s A co s B co s C ? 0
S ?
x ? y ? z
1 2
a b s in C ?
2 4
ab ?
2 4
2
?
2R 2?
3.
A? B ?
2
2 4
, S max ?
R
2
?
2
,A?
?
2
? B , s iA ? n
cB s o
B s?i n ,
A y o s c? z
,
另法： S ?
1 2
a b s in C ?
ab ?
? 2 R s in A ? 2 R s in B
4
?
2 4
? 2 R s in A ? 2 R s in B ?
1 2
2 R s in A s in B
2
?
2R ?
2
? [c o s ( A ? B ) ? c o s ( A ? B )]
? ?
2R ?
2
1 2
? [co s( A ? B ) ? 2 2
2 2
]
2R 2
2
? (1 ?
)
? S m ax ?
2 ?1 2
R
2
此时 A ? B 取得等号 ：
3. 解
s A? A? 2 i
C ?
C
? 2
n
B
sin
B 2
?
1 2
cos
A?C 2
?
2 4
, cos
B 2
?
14 4
, sin B ? 2 sin
B 2
cos
B 2
?
7 4
A?C ?
?
2
, A ? C ? ? ? B, A ?
3? 4
?
B 2
,C ?
?
4
?
B 2
s in A ? s in (
3? 4
? B ) ? s in
3? 4
cos B ? cos
3? 4
s in B ?
7 ?1 4
sin C ? sin (
?
4
? B ) ? sin
?
4
cos B ? cos
?
4
sin B ?
7 ?1 4
a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? ( 7 ?
7 ) : 7 : (7 ?
7)
4. 解
(a ?
2
：
1 2 b? )
2
c ( ?
ta n ( A ? C ) ?
ta n A ? ta n C 1 ? ta n A ta n C
,? 3 ?
3?
3
1 ? ta n A ta n C
,
tan A tan C ? 2 ?
? ta n A ? 2 ? ? 得? ? ta n C ? 1 ? 3
3 ，联合 tan A ? tan C ? 3 ?
0
3
0
? ta n A ? 1 ? 或 ? ? ta n C ? 2 ? ?
0 0
? A ? 75 ? A ? 45 ? ? 或 ? ，即 ? 0 0 3 ?C ? 45 ?C ? 75 ? ?
当
4 3 s in A
A ? 75 , C ? 45
时
，
b ?
? 4 (3 2 ?
6 ), c ? 8 ( 3 ? 1), a ? 8
0 0 当 A ? 4 5 , C ? 7 5 时， b ?
4 3 sin A
? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1), a ? 8
∴
a ?8
当
,b ?
0 0
A ? 75 , B ? 60 , C ? 45
0 0
0
时
? 2
，
? 6 ) , 8 ( 3 1 ) ,
4
0
? (
c
3
当 A ? 4 5 , B ? 6 0 , C ? 7 5 时， a ? 8, b ? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1) 。
