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斜线在平面内的射影


9.4.3 直线与平面垂直的判定与性质(3)

1.斜线在平面内的射影

自学课本24页部分,理解以下概念的含义: (1)点在平面内的射影 (2)平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 (3)斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的 射影.

(1)点在平面内的射影 过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P

?

Q

(2)平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直 时,这条直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线,这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q ? 斜足

(3)斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P

?

P

Q

斜线段在平面内的射影 斜线在平面内的射影

射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 线段中: (1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段 也较长; (2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也 较长; (3)垂线段比任何一条斜线段都短. 注意:是过同一点引线
A

(1) OB=OC?AB=AC OB>OC?AB>AC 射影的长短?斜线段的长短 (2 )AB=AC?OB=OC AB>AC?OB>OC
C

?

B

O

(3)AO?AB,AO?AC

直线和平面成角 证明:设直线 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成 OD是?内与a不 的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角. 同的任意一条直 线,过点A引AC a 00???900 ?AOB(记为?)是a与?所成的角 垂直OD垂足为 A C. 直线和平面垂直:所成的角是直角 因为AB?AC, 直线和平面平行或在平面内 所以 ? ?=00 00 ???900 O AB/AO?AC/AO B C ? D 即 最小角定理 sin??sin?AOC. 斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面 因此???AOC

2、直线和平面所成的角

斜线和平面成角

内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角 进一步:斜线和平面所成的角,是这条斜线和 这个平面内的直线所成的一切角中的最小角

小结 1、斜线在平面内的射影
(1)点在平面内的射影
(2)平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 (3)斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. (4)射影定理

2、直线和平面所成的角
(1)斜线和平面成角 (2)直线和平面成角 (3)最小角定理

例:已知:如图,AB是平面 ? 外的一条斜线, AB ? 平面? =B,AO ? 平面? 于O,BG ? 为过B点在平面 ? 内的一条直线, ABO ? ?
求证: cos ?

?ABG ? ? , ?OBG ? ? ,

? cos ? ? cos ?


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