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2005年全国高中数学联赛几道试题的向量解法


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20  第 1 05 2期 

20 年全国高中数学联赛几道试题的向量解法  05
王 连 笑 
( 天津市 实验 『学 ,00 4  } 307 ) J

20 年高 中数学联赛第一试第 1 题及  05 5
加试 第 1 都 可 以

用 向量 解 决 . 于 向量 本  题 由 身 既具有代 数形 式 又具有 几何 形式 , 以 , 所 用 



= CE — CF :  

C A 

1 CB  
. 

向量解题 , 可以更加程序化 , 用代数运算和向  
量运算 帮 助 几何 推理 .   第一 试第 1 题 : 5   如 图 1过 抛 物 线  ,
  J

rd     y  
’  

t  

Y: 上 一 点 A( , )   1 1 

  l 2—1  l + ’  

作抛物线 的切线 , 分别 
交  轴于 点 D、 Y轴  交
于点  . C在 抛 物 线  点
D  j  

【一 j . 号  =    
I  

上, 点  在线 段 A C上 ,  
满 足 E : A  
…  

则 

器  
. 

F 在  ④ +⑤得 a:了 2

线  上满 篙= ,  =, 段c ,足 2且    + 1  2 线
段 C 与  交于 点 P. D 当点 C在抛 物线 上移  动时 , 点 P 的轨 迹方 程 . 求  

^ 

故 C P=妻 C P是△ A C的重 心 . D. B  

解: 因为 Y =2  =2 所 以 ,   xJ   , 过点 A  
’   : l  

xo
_

+ l+ O x   o+ l  

的切线 方程 为 
Y一1 ( —1 , Y= x一1 :2  )即 2 .  

故 (1B,1D  ) a ,,O ) (,. 1)(一 , 一0 1  
从而 , 是 , 的 中点 , I △ A C 的  D 4   C)是 B


消去 。 )= -3 得 , ( 一1   ).

条l线 . {   |
由题 没有 
=1   C   A, =   ,  

因此 , 所求 轨迹 方 程 为 
y=. ( 一1  ≠一 .   3 )(  )  

( =a   CD .  

则 C 昙(A+c ) P: C B,  
FP = CP — CF 


号A(一_ c  C+ _ B 号  ) ,

①  

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1  6

中 等 数 学 

A   c 求证:  ÷= . Q: . ÷+“ 3 ,     ~
加试第 l : 题  在△ A C 中, A >A 过 点 / B 设 B C, 4作 
△A C B 的外 接 圆的 切线 Z又 以点  为 圆 心 、 ,  

于 , = 1 十  【 _  是 E (     十  l / 、 n S SJ ,       n  S 1 1  n s sB  C ) i i +  , n n sn ,  +   i ’  
E =( csC+1 , i C . D 一(o  ) 一s   ) n  

A C为半径作 圆分别交线段 A B于点 D, 交直  线z 于点 E、 . F 证明 : 直线 D D E、 F分别通过  △AC B 的内心与一个旁心 .   解 : 图 2 以  为  如 ,
J    l

由于 
一 一 —   一

一-  

(i +s   (O C+1  s  n i C) CS n   )
’  

所 以 , 与 E 共线 , 肼 D 即点 , E 上 . 在 D  

坐 标 原 点 、 线 Z为  直 轴 建 立直 角坐 标 系 .   设 o  的 半 径 为 
l其 方程 为  , +Y =1   .   ① 


厂 E    ~

又设  为△ A C的一个旁心 , B 则 
l   — b   一 CA =0. l lC  

故 


,  
sn C —sn i  i C? i  sn B  ’  

设 △ A C 的 外 接  B 圆半 径 为 尺, 方程 为  其

网2  

y  ‘

由 F( ,) 得  一l0可
(  

+( Y+R) =R (     R>0 . )

F =( 一csC, i C) D 1 o  一s   , n  

由弦切 角 的性 质有  C csB, s   ) D( O C 一s   ) (o  一 i B , 一CS , i C . n   n   由方程① 、 ②解得  =一 .     故  =s   ,R= i n 2   .  

F= I( A 


s  C—sn C?i B)  i n i  s   、 n
sn B +sn i  i C —sn A , i   

f s   +s   ) 1 o    (i n i C ( 一csC) n


\   —


一 ’  

又直线  : =    
由方程 ( ③解 得   、

.  

③ 

s  s   i C(i B+s   \ n n i C) n  
sn B +sn i  i C— sn A ,’ i   

故 F 与  D

共线 , 即点 , 在 F 4 D上 .  

B (  
sn A i 


, ) 一 . 舞  
.  

第一 试 第 2题 也 是 一 个 向量 题 , 题 反  该 映 了一 个重 要 的性 质 :   空间 四点 满足 A  +C  =B   A , B D C +D   
则 AC? D = . B 0 

设 A : b= l B : 0:2 i A : C ,C Rs   n  
A = c= 2 i  = B Rsn c  

若 , △ A C的内心 , 为 B 则 
a A + b B + cc =0. l i l  

这一 性 质 对 平 面 四 点 与 空 间 四 点 均 成 
立 .  

故  
—  




,  
,  

该性 质 证 明如 下 :  
由 A   D  C +D   有  B +C =B   A , ( B—O  +( D —O   O A) O C)


a ^+ b y y8+ c   yc

( C—O  +( A —O    O B) O D),

即 


,  
sn C? ‘  —sn  C 1   sn B 。 1 i2  

即  O O A? B+O O =O O C? D B? C+O O   A? D.

则 ( C—O ? O —O =0  O A) ( D B) .
故 A B :0  C? D .



’  


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