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导数高考题汇编


2009 全国高考题汇编
1. ( 2009 浙 江 文 )( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是
?3 ,求 a , b 的值;
<

br />的斜率; 2 (2) 当 a ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3 9.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ) 问 5 分) 已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数, 曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,
g ( x ) ? ( x ? a ) f ( x) .

(II) 若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 , 求 a 的取值范围. ... 2.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取 值范围; (Ⅱ) 若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值, 确定 y ? g ( x) 的单调区间.

(1) 当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 , 且 f ( x) 在区间 (0,1]上单调递增 ,试用 a 表示 出 b 的取值范围.
1 3.设函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

2011 高考试题汇编——函数与导数
1. [2011· 陕西卷文] 设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ f ' (x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 大小关系; 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)<a 对任意 x>0 成立. 2.[2011· 天津卷理] 已知 a>0,函数 f(x)=lnx-ax2,x>0(f(x)的 图象连续不断). (1)求 f(x)的单调区间;
?3? +∞),使 f(x0)=f ? ? ; ?2? ?1? (2)讨论 g(x)与 g ? ? 的 ? x?

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ) 若 当 x≥0 时 , f(x)>0 恒 成 立 , 求 a 的 取 值 范 围 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 9 设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a . 2 (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 5.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切 线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x) 的解析式;
1 (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 3

1 (2)当 a=8时,证明:存在 x0∈(2,

(3)若存在均属于区间[1,3]的 α,β,且 β-α≥1,使 f(α)=f(β), 证明 ln3-ln2 ln2 ≤ a ≤ 5 3.

3.[2011· 天津卷文] 已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈ R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间; (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 4.[2011· 重庆卷理] 设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数 a,b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; =f′(x)e x,求函数 g(x)的最值.


m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.
6.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已 知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数 的 图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) , 求 g (t ) 的定义域和值域。 7.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

(2)设 g(x)

5.[2011· 重庆卷文] 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 1 若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=-2对称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

2 1 6.[2011· 四川卷文] 已知函数 f(x)=3x+2,h(x)= x. (1)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; y=my 与 y ? f ( x) 的图 3? ?3 (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg?2f?x-1?-4?=2lgh(a-x)- ? ? 2lgh(4-x); 1 (3)设 n∈N*,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥ . 6

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线

象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。 8.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线

2 1 7.[2011· 四川卷理] 已知函数 f(x)=3x+2,h(x)= x. (1)设函数 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的单调区间与极值; 3? ?3 (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4?2f?x-1?-4?=log2h(a-x)- ? ? log2h(4-x); 1 (3)试比较 f(100)h(100)-∑ h(k)与6的大小. k=1
100

3.【2012 高考真题陕西理 7】设函数 f ( x) ? xe x ,则( A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 值点[学 【答案】D.



B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值

D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小

8.[2011· 浙江卷理] 设函数 f(x)=(x-a)2lnx,a∈R. 然对数的底数. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a;

注:e 为自

4.【2012 高考真题辽宁理 12】若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒 成立的是 (A) (B)
1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x

e x? 1 ? x ? x 2

(2)求实数 a 的取值范围, 使得对任意的 x∈(0,3e], 恒有 f(x)≤4e2 成立. 9.[2011· 湖北卷理] (1)已知函数 f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数 f(x)的最 大值; (2)设 ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明: ① 若 a1b1 + a2b2 + … + anbn≤b1 + b2 + … + bn , 则
b3 bn b1 b2 a1 ? a2 ? a3 . . .a .n .≤ . .1;

(C)
1 x ? x2 (D) ln(1 ? x)… 8

cos x… 1?

1 2 x 2

【答案】C 5. 【2012 高考真题湖北理 3】 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图

1 2 b3 bn b2 ②若 b1+b2+…+bn=1, 则n≤ b1b1 ? b2 ≤b2 ? b3 ....... bn 1+b2+… +b2 n. 所示,则它与 x 轴所围图形为

2012 高考真题分类汇编:导数
一、选择题 1.【2012 高考真题重庆理 8】设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函 数为 f , ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ' ( x) 的图像如题(8)图所示, A.
2π 5 π 2

B.

4 3

C .

3 2

D.

【答案】B 6.【2012 高考真题全国卷理 10】已知函数 y=x?-3x+c 的图像 与 x 恰有两个公共点,则 c= (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 【答案】A 二、填空题 7.【2012高考真题浙江理16】定义:曲线C上的点到直线l的距 离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到 直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距

则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【答案】D
1 2.【2012 高考真题新课标理 12】设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 2
Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( ( A) 1 ? ln 2 (D) 2 ( 1 ? ln 2) ( B)

离,则实数a=_______。
9 4 8. 【 2012

【答案】

高 考 真 题 江 西 理 11 】 计 算 定 积 分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________。

2 3 【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 。

【答案】

9.【2012 高考真题山东理 15】设 a ? 0 .若曲线 y ? x 与直线
x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? ______.
4 9 10.【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处 的切线方程为 .


(C ) 1 ? ln 2

【答案】 a ?

2(1 ? ln 2)

【答案】B

【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0

11.【2012 高考真题上海理 13】已知函数 y ? f ( x) 的图象是折 1 线 段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B ( ,5) 、 C (1,0) ,函数 y ? xf ( x) 2 0 ? x ? 1 ( ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 。 5 【答案】 4

已知 a, b 是实数, 1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极 值点. (1)求 a 和 b 的值; (2) 设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 , 求 g ( x) 的极值点;
? ,其中 c ? [?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零 (3)设 h(x) ? f ( f (x)) c

?ln x, x ? 0 12.【2012 高考真题陕西理 14】设函数 f ( x) ? ? , ??2 x ? 1, x ? 0

D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围
成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 .

点个数 21.【2012 高考真题辽宁理 21】本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ?1) ? x ?1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) , 曲线
y ? f ( x) 与

【答案】2. 三、解答题 13.【2012 高考真题山东理 22】(本小题满分 13 分) ln x ? k 已知函数 f ( x) ? ( k 为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数 ex 的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x ) 为 f ( x) 的导函数 . 证 明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 14.【2012 高考真题安徽理 19】 (本小题满分 13 分) 1 设 f ( x) ? ae x ? x ? b(a ? 0) 。 ae (I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 求 a , b 的值。 16.【2012 高考真题全国卷理 20】 (本小题满分 12 分) (注意: 在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f(x)=ax+cosx,x∈[0,π ]. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 f(x)≤1+sinx,求 a 的取值范围. 17.【2012 高考真题北京理 18】 (本小题共 13 分)
3 x; 2

直线 y ?

3 x 在(0,0)点相切。 2

(Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?
9x 。 x?6

18.【2012 高考真题新课标理 21】(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ; 2 (1)求 f ( x) 的解析式及单调区间;
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2 19.【2012 高考真题天津理 20】本小题满分 14 分)

(2)若 f ( x) ?

已知函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a) 的最小值为 0,其中 a ? 0. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 若对任意的 x ? [0,??), 有 f ( x) ≤ kx 2 成立, 求实数 k 的最小值; (Ⅲ)证明 ?
i ?1 n

2 ? ln(2n ? 1) ? 2 ( n ? N * ). 2i ? 1

20.【2012 高考江苏 18】 (16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。


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