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江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中考试 数学 Word版含答案


江苏省宿迁市 2014-2015 学年高二下学期期中考试 数学 Word 版含答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.函数 f ( x) ? lg(2x ? 1)的定义域为 ( , ??) . 2.已知全集 U ? ?1, 2,3? ,集合 A ? ?1? ,集合 B ? ?1, 2? ,则 A ?U B ? ?1,3? . 3. 函数 y ? a x?2 ? 1(a ? 0, a ? 1) 不论 a 为何值时,其图像恒过的定点为 (2, 2) . 4.已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 (2, ) ,则 f (3) ? 5.已知函数 f ?x ? ? ?

1 2

1 4

1 . 9

1 ? ? 1 ?? . ?? 的值为 8 x ? 0. ? ? 27 ?? ?2 , 1 1 1 a b 6.已知 a, b ? R ,若 2 ? 5 ? 100 ,则 ? ? . 2 a b
x

?log3 x, x ? 0,

则 f ?f?

7 .关于 x 的方程 x2 ? 2(a ?1) x ? 2a ? 6 ? 0 的两根为 ? , ? , 且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ,则 a 的取值范围是

5 ( ?3, ? ) . 4
8.已知 f 是有序数对集合 M ? {( x, y) | x ? N* , y ? N*} 上的一个映射,正整数数对 ( x, y ) 在映射 f 下对应 的为实数 z ,记作 f ( x, y) ? z . 对于任意的正整数 m, n (m ? n) ,映射 f 由下表给出:

( x, y ) ( n, n) (m, n) f ( x, y ) m?n n 则使不等式 f (2, x)≤3 的解集为 {1, 2} .

(n, m)

m? n

9.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2) ? x ? 5 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 的最小整数为 3 . 10.函数 y ?

2x ? 4 ,x ? [0,3]且x ? 2 的值域为 ? ??, ?2? x?2

?10, ??? .

11.生活中常用的十二进位制,如一年有 12 个月,时针转一周为 12 个小时,等等,就是逢 12 进 1 的计算 制,现采用数字 0~9 和字母 A、B 共 12 个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表; 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 十进制 例如用十二进位制表示 A+B=19,照此算法在十二进位制中运算 A× B= 92 . 12.已知函数 f ( x) ?

3 ? ax (a ? ?1) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则 a 的取值范围是 (?1,0) (1,3] . a2 ?1
23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 , 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,


13.已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和.如:

若 m 是自然数,把 m 按上述表示,等式右侧的奇数中含有 2015,则 m ?
3

45

.

14 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 既 是 奇 函 数 , 又 是 周 期 函 数 , 且 周 期 为

f ( x) ?

a ? s i n? x ? bx ( a 、 b ? R ),则 f (1) ? f (2) ? 2 ? cos ? x

3 3 . 当 x ? [0, ] 时 , 2 4 2 2 ? f (100) 的值为 ? ? . 2 3

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请在答题卡指定 ..... 的区域内作答 , 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... 15. (本题满分 14 分)
2 已知命题 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? ? x

?

?

B ? (2, 4) ,求 m 的值; (2)若 B ? A ,求 m 的取值范围.
(1)若 A

? x?m?3 ? ? 0, m ? R ? . x?m ? ?

15. 【解答】 :化简得 A= x ?2 ? x ? 4 , B= x m ? 3 ? x ? m . (1)因为 A

?

?

?

?

………………6 分

B ? (2, 4) 所以有 m ? 3 ? 2且m ? 4, 则m ? 5 . ………………10 分 ?m ? 3 ? ?2 (2)因为 B ? A ,即 ? 解得 1 ? m ? 4 . …………………………14 分 ?m ? 4
16. (本题满分 14 分) 已知 z 为复数, z ? 2i 为实数,且 (1 ? 2i) z 为纯虚数,其中 i 是虚数单位. (1)求复数 z ; (2)若复数 z 满足 ? ? z ? 1 ,求 ? 的最小值. 16. 【解答】 : (1) 设z =a ? bi(a, b ? R) , 则 z ? 2i ? a ? (b ? 2)i ,因为 z ? 2i 为实数,所以有 b ? 2 ? 0 ① ………………2 分

(1 ? 2i) z ? (1 ? 2i)(a ? bi) ? a ? 2b ? (b ? 2a)i ,因为 (1 ? 2i) z 为纯虚数, 所以 a ? 2b ? 0, b ? 2a ? 0 ,② ……………………………………4 分 由①②解得 a ? 4, b ? ?2 . ………………………6 分 故 z =4 ? 2i . ………………………7 分 (2)因为 z =4 ? 2i ,则 z ? 4 ? 2i , ………………………8 分 2 设 ? ? x ? yi( x, y ? R) ,因为 ? ? z ? 1 ,即 ( x ? 4) ? ( y ? 2)2 ? 1 ………10 分
又 ? = x 2 ? y 2 ,故 ? 的最小值即为原点到圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上的点距离的最小值,因为原点到点

(4, 2) 的距离为 42 ? 2 2 ? 2 5 ,又因为圆的半径 r=1,原点在圆外,
所以 ? 的最小值即为 2 5 ? 1 . ……………………………………14 分

17. (本题满分 14 分) 某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售 A 、 B 两个品牌,根据生产厂家营销策略, 结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析, A 品牌的销售利润 y1 与投入资金 x 成正比,其关系如图 1 所示, B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算术平方根成正比,其关系如图 2 所示(利润与资金的单位:万 元) . (1)分别将 A 、 B 两个品牌的销售利润 y1 、 y2 表示为投入资金 x 的函数关系式; (2)该商场计划投入 5 万元经销该种商品,并全部投入 A 、 B 两个品牌,问:怎样分配这 5 万元资金,才 能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?

y2
y1
0.5 O 2 (图 1) (第 17 题) x O (图 2) 4 x 1.5

17. 【解答】 : (1) 因为 A 品牌的销售利润 y1 与投入资金 x 成正比,设 y1 ? k1x???( x ? 0) , 又过点 (2, 0.5) ,所以 k1 ?

1 1 ,所以 y1 ? x???( x ? 0) 4 4

………………3 分

B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算术平方根成正比,设 y2 ? k2 x???( x ? 0) ,又过点 (4,1.5) ,所

3 3 x ???( x ? 0) , ,所以设 y2 ? ………………6 分 4 4 (2)设总利润为 y ,投入 B 品牌为 x 万元,则投入 A 品牌为 (5 ? x) 万元, 1 3 x (0 ? x ? 5) 则 y ? (5 ? x) ? ………………8 分 4 4 1 2 令 t ? x (0 ? t ? 5) ,则 y ? (?t ? 3t ? 5) ………………10 分 4 1 3 29 ? ? (t ? ) 2 ? 4 2 16 3 9 9 11 29 当 t ? 时,即 x ? 时,投入 A 品牌为: 5 ? ? , ymax ? ………………13 分 2 4 4 4 16 11 9 29 答:投入 A 品牌 万元、 B 品牌 万元时,经销该种商品获得最大利润,最大利润为 万 4 4 16
以 k2 ? 元. 18. (本题满分 16 分) ……………………14 分 (1)找出一个等比数列 ?a n ? ,使得 1, 2 ,4 为其中的三项,并指出分别是 ?a n ? 的第几项; (2)证明: 2 为无理数; (3)证明:1, 2 ,4 不可能为同一等差数列中的三项. 18. 【解答】 : (1)取首项为 1,公比为 2 ,则 a n =( 2)n?1 , 则 a 1 =1, a 2 = 2, a 5 =4 . (2)证明:假设 2 是有理数,则存在互质整数 h, k ,使得 2 ? 则 h 2 ? 2k 2 ,所以 h 为偶数, 设 h ? 2l , l 为整数,则 k 2 ? 2l 2 ,所以 k 也为偶数, 则 h, k 有公约数 2,这与 h, k 互质相矛盾, 所以假设不成立,所以 2 是有理数. (3)证明:假设 1 , 2 ,4 是同一等差数列中的三项, 且分别为第 n, m, p 项且 n, m, p 互不相等, ……………………2 分 ……………………4 分

h ,………………5 分 k
……………………7 分 ……………………9 分 ……………………10 分

……………………11 分

设公差为 d ,显然 d ? 0 ,则 2 ? 1 ? (m ? n)d , 4 ? 1 ? ( p ? n)d , 消去 d 得, 2 ? 1 ?

3(m ? n) , p?n

……………………13 分

由 n , m , p 都为整数,所以 1 ?

3(m ? n) 为有理数, p?n

由(2)得 2 是无理数,所以等式不可能成立, ……………………15 分 所以假设不成立,即 1, 2 ,4 不可能为同一等差数列中的三项. …………………16 分 19. (本题满分 16 分) (1)求实数 a 的值; 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ln(e2 x ? 1) ? ax(a ? R) 是偶函数. (2)判断 f ? x ? 在 [0, ??) 上的单调性,并用定义法证明; (3)若 f ( x ?
2

1 m ) ? f (mx ? ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x

19. 【解答】 : (1)因为 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,所以 f ?1? ? f (?1) , 即 ln(e2 ? 1) ? a ? ln(e?2 ? 1) ? a ,即 2a ? ln( 当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ln(e2 x ? 1) ? x , (2) f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数, 证明如下: 设 x1 , x2 为 [0, ??) 内的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则

e?2 ? 1 ) ? ?2 ,得 a ? ?1 , ……………2 分 e2 ? 1

对于 ?x ? R, f ? ?x ? ? ln(e?2 x ?1) ? x ? ln(e2 x ?1) ? x ? f ? x ? ,综上 a ? ?1 ………4 分 ………………………………5 分

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln(e2 x1 ?1) ? x1 ? ln(e2 x2 ?1) ? x2

e2 x1 ? 1 (e2 x1 ? 1)e x2 ? x1 e x2 ? x1 ? e x2 ? x1 x2 ? x1 ) ? ln(e ) ? ln[ ] ? ln( ) e2 x2 ? 1 e2 x2 ? 1 e2 x2 ? 1 x ?x x ?x 因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,所以 e 2 1 ? 1,e 2 1 ? 1 , ? ln(
所以 e 所以
x2 ? x1

? ex2 ?x1 ? (e2 x2 ? 1) ? (1 ? ex2 ?x1 )(ex2 ? x1 ?1) ? 0 ,所以 ex2 ? x1 ? ex2 ? x1 ? (e2 x2 ? 1) ,

e x2 ? x1 ? e x2 ? x1 ? 1,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , e 2 x2 ? 1 所以 f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数. ………………………………10 分
(3) f ? x ? 在 [0, ??) 上是单调增函数,且是偶函数,又 f ( x ?
2

1 m ) ? f (mx ? ) , 2 x x

1 m ? mx ? , 2 x x 1 令 t ? x ? ,则 t ? ? ??, ?2? x
所以 x ?
2

………………………………12 分

?2, ??? ,
2 恒成立, t
………………………………14 分

所以 mt ? t ? 2 , m ? t ?
2

2 ,关于 t 在 ? 2, ??? 上单调递增, t 2 所以 t ? ? 1 ,所以 m ? 1 恒成立,所以 ?1 ? m ? 1 . t
因为 t ? 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?| x ? a | .
2

………………………16 分

(1)当 a ? 1 时,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点; (2)若方程 | f ( x) |? g ( x) 有三个不同的实数解,求 a 的值; (3)求 G( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最小值 h(a) .
2 20. 【解答】 : (1)当 a ? 1 时, F ( x) ? x ? 1? | x ? 1|? ? 2 ? ? x ? x,?????????x ? 1, , ………2 分 2 x ? x ? 2, ??? x ? 1. ? ?

令 F ( x) ? 0 得,当 x ? 1 时, x ? x ? 0 , x ? 1 ( x ? 0 舍去)
2

当 x ? 1 时, x ? x ? 2 ? 0 , x ? ?2 ( x ? 1 舍去) 所以当 a ? 1 时, F ( x) 的零点为 1, ?2 ………………………………4 分
2

(2)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x2 ?1|?| x ? a | , 变形得 ( x2 ? x ? a ?1)( x2 ? x ? a ?1) ? 0 ,
2

………………………………6 分

从而欲使原方程有三个不同的解,即要求方程 x ? x ? a ? 1 ? 0 …(1) 与 x ? x ? a ? 1 ? 0 …(2) 满足下列情形之一: (I)一个有等根,另一个有两不等根,且三根不等 (II)方程(1) 、 (2)均有两不等根且由一根相同; 对情形(I) :若方程(1)有等根,则
2

5 a ? ? 代入方程(2)检验符合; 4 5 若方程(2)有等根,则 ? ? 1 ? 4(a ? 1) ? 0 解得 a ? 代入方程(1)检验符合;……8 分 4 2 对情形(II) :设 x0 是公共根,则 x0 ? x0 ? a ?1 ? x02 ? x0 ? a ?1 , 解得 x0 ? a 代入(1)得 a ? ?1 , a ? 1 代入 | f ( x) |? g ( x) 检验得三个解为-2、0、1 符合 a ? ?1 代入 | f ( x) |? g ( x) 检验得三个解为 2、0、-1 符合 5 故 | f ( x) |? g ( x) 有三个不同的解的值为 a ? ? 或 a ? ?1 . ……………10 分 4 ? x 2 ? x ? a ? 1 ( x ? a) 2 (3)因为 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ?1? | x ? a | = ? 2 , ? x ? x ? a ? 1 ( x ? a) 1 1 2 ① 当 a ? ?2 时 G( x) ? x ? x ?1 ? a ,在 [ ?2, ? ] 上递减,在 [ ? , 2] 上递增, 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ? ? a ………………11 分 2 4 1 1 2 ② 当 a ? 2 时 G( x) ? x ? x ?1 ? a ,在 [ ?2, ] 上递减,在 [ , 2] 上递增, 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x ) min ? G ( ) ? ? ? a ………………12 分 2 4 2 ? x ? x ? a ? 1 (a ? x ? 2) ? ③ 当 ?2 ? a ? 2 时, G ( x) ? ? ? x 2 ? x ? a ? 1 (?2 ? x ? a ) ? 1 1 1 (i)当 ?2 ? a ? ? 时,结合图形可知当 x ? [ ?2, ? ] 时递减,在 [ ? , 2] 上递增 2 2 2 1 5 故此时 G ( x) 在[-2,2]上的最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ? ? a ………………13 分 2 4

? ? 1 ? 4(a ? 1) ? 0

解得

1 1 ? a ? 时,结合图形可知当 x ? [?2, a] 时递减,当 x ? [a, 2] 时递增, 2 2 故此时 G ( x) 在[-2,2]上的最小值为 G( x)min ? G(a) ? a2 ?1 ……………………14 分 1 1 1 (iii)当 ? a ? 2 时,结合图形可知当 x ? [ ?2, ] 时递减,当 x ? [ , 2] 时递增, 2 2 2 1 5 ………………………15 分 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ) ? ? ? a 2 4 5 1 ? ? ? 4 ? a, ( a ? 2 ) ? 1 1 ? 2 综上所述: h( a ) ? ? a ? 1, ( ? ? a ? ) ………………………16 分 2 2 ? 1 ? 5 ? ? 4 ? a, ( a ? ? 2 ) ?
(ii)当 ?

? x 2 ? x ? a ? 1 ( x ? a) 解法二:因为 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ?1? | x ? a | = ? 2 , ? x ? x ? a ? 1 ( x ? a) 1 1 1 ① 当 a ? ? 时, G ( x) 在 [ ?2, ? ] 上递减,在 [ ? , 2] 上递增, 2 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x) min ? G ( ? ) ? ? ? a ………………12 分 2 4 1 1 1 2 ② 当 a ? 时 G( x) ? x ? x ?1 ? a ,在 [ ?2, ] 上递减,在 [ , 2] 上递增, 2 2 2 1 5 故 G ( x) 在 [?2, 2] 上最小值为 G ( x ) min ? G ( ) ? ? ? a ………………14 分 2 4 1 1 ③ 当 ? ? a ? 时,G ( x) 在 [?2, a] 上递减,当 x ? [a, 2] 时递增,故此时 G ( x) 在[-2,2]上的最小 2 2 值为 G( x)min ? G(a) ? a2 ?1 5 1 ? ? ? 4 ? a, ( a ? 2 ) ? 1 1 ? 2 综上所述: h( a ) ? ? a ? 1, ( ? ? a ? ) ………………………16 分 2 2 ? 1 ? 5 ? ? 4 ? a, ( a ? ? 2 ) ?
2


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