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知识梳理 2修改版 2


平行四边形
在同一平面内有两组对角相等的四边形叫做平行四边形 判定 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法) ; 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 6. 每一组邻角都互补的四边形是平行四边形 (前提:在同一

平面内) 内容 (1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 性质 (1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。 (简述为“平行四边形的两组对边分别相等”) (2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。 (简述为“平行四边形的两组对角分别相等”) ( 3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补 (简述为“平行四边形的邻角互补”) (4)夹在两条平行线间的平行的高相等。(平行线间的高距离处处相等) (5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平 分。 (简述为“平行四边形的对角线互相平分”) (6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形).

(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图 形。 (9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点. (10)平行四边形不是轴对称图形,但平行四边形是中心对称图形。矩形和 菱形是轴对称图形。注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三 者具有平行四边形的性质。 (11)平行四边形 ABCD 中(如图)E 为 AB 的中点,则 AC 和 DE 互相三 等分,一般地,若 E 为 AB 上靠近 A 的 n 等分点,则 AC 和 DE 互相(n+1)等分。 (12)平行四边形 ABCD 中,AC、BD 是平行四边形 ABCD 的对角线,则 各四边的平方和等于对角线的平方和。 (13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 (14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于 平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。 (15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的 两边组成的夹角相等。 平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等,邻角互补平行四边形 的对角线互相平分平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和平行四边形 是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点平行四边形的内角和是外角和的 四分之一 。 辅助线 一、连接对角线或平移对角线。 二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 三、连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线 段平行或中位线。 四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造相似三角形或等积 三角形。 五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。 面积周长 (1)平行四边形的面积公式:底×高(推导方法如图) ;如用“h”表示高,“a” 表示底,“S”表示平行四边形面积,则 S 平行四边=ah (2)平行四边形周长可以二乘(底 1+底 2) ;如用“a”表示底 1,“b”表示底 2,“c 平”表示平行四边形周长,则平行四边的周长 c=2(a+b) 底×1X 高[

矩形:
一)定义:有一个角为九十度的平行四边形为矩形。 二)性质: (1)对边相等 (2)对角相等 对边平行 邻角互补 邻边垂直 四个角都是直角 (3) 一条对角线将矩形分为两个全等的直角三角形 两条对角线将矩形分成两组全等的等腰三角形 矩形对角线相等且互相平分 (4)面积:S=长*宽/底*高 (5)对称性:矩形是轴对称图形,对称轴是过对边中点的直线(2 条) 矩形是中心对称图形,对称中心为对角线交点。 三)判定: (1)四个角都相等的四边形为矩形 有一个角为直角的平行四边形为矩形 有三个角为直角的四边形为矩形。 (2)对角线相等的平行四边形为矩形 对角线相等且互相平分的四边形为矩形 中点四边形:对角线相等的四边形——矩形

菱形

Ⅰ菱形定义:在一个平面内,有一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus) 。 Ⅱ菱形性质:1. 菱形对边平行,对角相等,邻角互补; 2. 菱形的对角线互相垂直且平分, 并且每一条对角线平分一组对角; 3. 菱形的四条边都相等; 4. 菱形既是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直 线) ,也是中心对称图形(对称中心是其重心,即两对角线的交点) ; 5. 在有一个角是60°角的菱形中,较短的对角线等于边长,较长的对 角 线 是 较 短 的对角线的√3倍。 Ⅲ菱形判定:在同一平面内, 1. 2. 3. 4. 一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; 四条边均相等的四边形是菱形。

Ⅳ 菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,而且是特殊的平 行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而增加了一些特殊的性质和判定 方法 Ⅴ菱形的面积等于底乘高,等于对角线乘积的一半 推广: 对角线互相垂直的四边形,其面积就等于对角线乘积的一半。 Ⅵ生活中的菱形:如手帕纸.拉门,衣帽架、红色的贴图(如“福”)等 Ⅶ 特征:顺次连接菱形各边中点为矩形 正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图 形不只是正方形。

正方形
A B

C D 正方形的性质 1、边:两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直 2、内角:四个角都是 90°; 3、对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组 对角; 4、对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。 5、 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 6、特殊性质:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形,对角线与边的夹角是 45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等 腰直角三角形。 7、 在正方形里面画一个最大的圆, 该圆的面积约是正方形面积的 78.5%; 正 方形外接圆面积大约是正方形面积的 157%。 8、正方形是特殊的长方形 正方形的判定 1:对角线相等的菱形是正方形。 2:有一个角为直角的菱形是正方形。 3:对角线互相垂直的矩形是正方形。 4:一组邻边相等的矩形是正方形。 5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 7:对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。 8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。 9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 有关计算公式 若 S 为正方形的面积,C 为正方形的周长,a 为正方形的边长,则 面积计算公式:S =a×a(即 a 的 2 次方或 a 的平方),或 S=对角线×对角线 ÷2; 周长计算公式: C=4a 。

梯形
定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。 平行的两边叫做梯形的底边。 不平行的两边叫腰。 两底之间的公垂线段叫梯形的高。 性质: 1.梯形的上下两底平行; 2.梯形的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)平行于两底并且等于上下底和的一半。 3.梯形对角线相等。 判定: 1.一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形。 2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 面积: (上底+下底)×高÷2 梯形中常见辅助线的作法

等腰梯形 定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形 性质: 1.等腰梯形同一底上的两个内角相等。 2.等腰梯形两腰相等。 3.等腰梯形两底平行。 4.等腰梯形对角线相等。 5.等腰梯形是轴对称图形,对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线) 。 判定: 1 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2 两腰相等的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 直角梯形:

定义:一腰垂直于底的梯形叫直角梯形
性质: 一腰上的两角是直角 判定: 有一个角为直角的梯形为直角梯形


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