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线面垂直的判定定理


空间中直线与平面的位置关系有且只有三种: (1)直线在平面内 (2)直线与平面相交 (3)直线与平面平行 前面我们已经学习了线面平行的知识(直线与平面平 行的判定及其性质),那么是否也存在线面垂直相应的判 断和性质呢? 而一条直线与一个平面垂直的意义又是什么?

A

B

A

B

/>
A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B B1 C1 C

从以上图中,我们给出: l 直线与平面垂直的定义:如果一条直线 和一个平 l 面α内的任意一条直线都垂直,那么这条直线 和这 l 个平面α互相垂直,记作 ⊥α 直线 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 的垂面 l l ,它们的公共点P叫做垂足。 l
m α

.P

如何证明一条直线和一个平面垂直? 方法一:利用定义证明; 有没有更好的方法

过△ABC的顶点A翻折三角形纸片得到折痕AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌 面接触)。 (1)折痕AD是与桌面垂直? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂 A 直?

B D

C

通过观察,我们容易发现,当且仅当AD⊥BC, AD所在的直线与桌面所在的平面垂直,而翻折之 后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.
A

B


D B1

C

因此我们可以猜想:

若一条直线与平面内两条直线都垂直 ,则该直线与此平面垂直。

这结论是否正确

平面内两条直线的位置关系:验证 ┐ 1.平行 ×


2.相交





结论:若一条直线与一个平面内两条相交
直线都垂直,则该直线与此平面垂直

直线与平面垂直的判定定理
一条直线 l 和一个平面α内的两条相交直线
m,n都垂直,那么直线 l 与此平面α垂直。 l
m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ?? l ?? l ? m, l ? n ?

即:

?
m P

n

(1)平面内的两条直线必须“相交”; (2)必须是平面内的“两条”直线 ;
(3)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在 这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂 直.
判定定理 线线垂直 定义 线面垂直

关键:线不在多

相交则行

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线,那么这条 直线是否与这个平面垂直? (2)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直? (3)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么 这条直线是否与这个平面垂直? (4)如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那 么这条直线是否与这个平面垂直?

例1.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, PA⊥面ABCD,AB⊥AC,求证:AC⊥面PAB。
P

A

B

D

C

例2.(2013湖南高考)正四棱柱ABCD ? A1 B1C1 D1 的底 DD 面边长是,侧棱长是3,点E、F分别在BB1 、 1 上, 且AE⊥ A1 B,AF⊥ A1 D . A (1)求证: 1C⊥面AEF;

(2)求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值.

(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断线面 垂直的方法? (2)在证明线面垂直时应注意哪些问题? (3)本节课你还有哪些问题? 提醒:线面垂直的判定定理及其运用是高考的重 点之一,希望同学们理解掌握并能熟悉地运用 定理证明相应的题目。

P67 练习 1 ,2


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