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江苏省涟水中学2013届高三上学期期末考试数学试题


涟水中学 2013 届高三上学期期末考试数学试题
一、填空题 1.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ? 2. tan ? ?

1 sin ? ? 3 cos ? ,求 = 2 sin ? ? cos ?

π ,则 B ? 3

.

3.已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,且 ? 、

? ?? ? ? ?? 的值是_________________ ? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?
? 4.在 ?ABC 中,如果 sin A ? 3 sin C , B ? 30 , b ? 2 ,则 ?ABC 的面积为

5.已知 ? , ? ? (0,

?
2

), sin(? ? ? ) ?

5 3 4 3 , sin ? ? , 则 sin ? ? 14 7

6.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? K , ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 过点 (0,3 ? 2 ), 两条相邻对称轴之间的距离为

?
2

) 的值域为 [1,5] ,其图象

? , 则此函数解析式为 3

sin A ? sin B ? ? y ? sin( 2 x ? ) y ? sin 2 x 3 3 ? AB ? 2 AC ? 3 ABC ? 3 x y ? sin x y ? 2
]

8.锐角 ?ABC 的三边 a, b, c 和面积 S 满足条件 S ? 大角也不是 ?ABC 的最小角,则实数 k 的取值范围是 9.函数 y ? 2 sin x ? 3 sin 2 x 的最大值是
2
2

c 2 ? ( a ? b) 2 ,又角 C 既不是 ?ABC 的最 4k
. .

10.函数 f ( x) ? 2 sin x ? 6 cos x ? 3 的最大值为 _______ 11.如图,在 △ ABC 中, AB ? 2 , BC ? 2 , ?ABC ?

3? . 以点 B 为圆心,线段 BC 的 4

? 长为半径的半圆分别交 AB 所在直线于点 E 、 F ,交线段 AC 于点 D ,则弧 CD 的长约
为 .(精确到 0.01 )

12.如图,一条直角走廊宽为 1.5m,一转动灵活的平板手推车,其平板面为矩形,宽为 1m.问: 要想顺利通过直角走廊,平板手推车的长度不能超过 米.

13.设 a, b 是非零实数, x ? R ,若

sin 4 x cos4 x 1 sin 2008 x cos2008 x ? ? 2 , ? ? 则 a2 b2 a ? b2 a 2006 b 2006

14.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上。AD 的长度的最小值为 。 二、解答题 15.已知函数 f ?x ? ? lg a 2 x ? 2(ab) x ? b 2 x ? 1 ?a ? 0, b ? 0? ,求使 f ?x ? ? 0 成立的 x 的 取 值范围。 (10 分)

?

?

16.求证:
3 方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的根一个在 ?? 2,?1? 内,一个在 ?0,1? 内,一个在 ?1,2? 内.(12 分)

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 x ? bx ( b 为常数) 。 2

(Ⅰ)函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g (x) 的图象相切,求实数 b 的值; (Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h(x) 在定义域上存在单调减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 b ? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围。

[来源:学.科.网]

[来源:Z.xx.k.Com]

2 18.设 A 是三角形的内角,且 sin A 和 cos A 是关于 x 方程 25x ? 5ax ? 12a ? 0 的两个根。

(1)求 a 的值; 分) (6 tan A 的值.(6 分) (2)求

19.在 ?ABC 中, B ? 30? , AB ? 2 3, AC ? 2 。求 ?ABC 的面积

[来源:Zxxk.Com]

20. (本小题满 分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 sin(?x) ? 2 sin 2

?x
2

? m(? ? 0) 的最小正周期

为 3? ,当 x ? [0, ? ] 时,函数 f ( x ) 的最小值为 0。 (1)求函数 f (x) 的表达式;

(2)在△ ABC ,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A 的值。

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参考答案 1.

? 4
3 2 ? 2 ,又因为 2 3

【解析】

试题分析:在△ ABC 中,根据正弦定理有: sin B ?

AC sin A ? BC

2?

AC ? BC ,所以 B ?

? . 4

考点:本小题主要考查正弦定理的应用,考查学生的运算求解能力. 点评:利用正弦定理解题时,要注意应用大边对大角来判断解的个数. 2. ?

5 3

【解析】

1 ?3 sin ? ? 3 cos? tan? ? 3 2 5 试题分析: ? ? ?? . sin ? ? cos? tan? ? 1 1 3 ?1 2
考点:本小题主要考查同角三角函数的关系及运算. 点评:此小题是求关于 sin ? , cos? 的齐次式,一般采用分子分母同时除以 cos? 的方法, 转化成与 tan ? 有关的式子进行计算. 3. ?2 【解析】 【错解分析】 ? tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个根 :

? tan? ? tan ? ? ?4a ,
tan? ? tan ? ? 3a ? 1
由 tan

?? ? ? ?

=

4 tan? ? tan ? ? 4a = = 可 得 3 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1?

t an

? ??
2

? ?2.

【正解】? a ? 1

? tan? ? tan? ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan

?? ? ? ? =

4 ? ?? tan? ? tan ? ? 4a ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

【点评】错解中忽略了隐含限制 tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从
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而导致错误. 4. 3 【解析】略 5.

3 2

【解析】略 6. y ? 2 sin( 3 x ? 【解析】略 7.①③④ 【解析】 8. ( 2 ?1,1) 【解析】略 9. 1? 10 【解析】略 10.9 【解析】略 11.3.13 【解析】略 12. ②错,应得到函数 y ? sin(2 x ?

?
4

)?3

?
3

) 的图象

3 2 ?2
【解析】 设 ?E / DA ? ? , 则有 BC ?

1.5 ? cos ? 1.5 ? sin ? 1.5(sin ? ? cos ? ) ? 1 , ? ? sin ? cos ? sin ? cos ?

根据小车的转动情况, 可大胆猜测只有 ? ? 45 0 时, BC max ? 3 2 ? 2 . 13.

1 ( a ? b 2 )1003
2

【解析】已知

sin 4 x cos4 x 1 ? ? 2 , ……………… (1) 2 2 a b a ? b2
4 4

b2 a2 4 4 将(1)改写成 1 ? sin x ? cos x ? 2 sin x ? 2 cos x 。 a b
而 1 ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x 。
2 2 2 4 4 2 2

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所以有

b2 a2 sin 4 x ? 2 sin 2 x cos2 x ? 2 cos4 x ? 0 。 a2 b
2

a sin 4 x cos4 x ?b 2 2 ? 即 ? sin x ? cos x ? ? 0 , 也即 ? ,将该值记为 C。则由(1)知, a4 b4 b ?a ?
a 2C ? b 2C ?

1 1 。于是有, C ? 2 . 2 a ?b (a ? b 2 ) 2
2



sin 2008 x cos2008 x 1 1 。 ? ? a 2 C 502 ? b 2 C 502 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? 2 2006 2006 2 1004 a b (a ? b ) (a ? b 2 )1003

14. 2 3 ? 3 【解析】设 AD ? x, ?ADE ? ? ,作△ADE 关于 DE 的对称图形,A 的对称点 G 落在 BC 上。 在△DGB 中,

x sin

?
3

?

1? x

sin(2? ? ) 3

?

?x?

3

3 ? 2sin(2? ? ) 3

?

当 sin(2? ?

?
3

) ? 1 时,即 xmin ?

3 2? 3

? 2 3 ? 3。

15.当 a ? b 时,

a ? 1 , x ? log a b b

?

2 ? 1 ,当 a ? b 时, 1 ?

?

a ? 0 , x ? log a b b

?

2 ?1 ,

?

当a ? b时 , 【解析】

a ? 1, x ? R b
x x

试题分析:由已知 a 2 x ? 2?ab? ? b 2 x ? 1 ? 1,即 a 2 x ? 2?ab? ? b 2 x ? 0 , 两边都除以 b
x
2x

……2 分

得, ? ?

?a? ?b?

2x

?a? ? 2? ? ? 1 ? 0 . ?b?

x

?a? 2 设 ? ? ? t , 则 t ? 0 ,不等式可化为 t ? 2t ? 1 ? 0 , b? ? ?a? ?t ? 2 ? 1,即 ? ? ? 2 ? 1. ?b?
当 a ? b 时,
x

……7 分

a ? 1 , x ? log a b b

?

2 ?1 ,

?

……8 分

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当 a ? b 时, 1 ? 当a ? b时 ,

a ? 0 , x ? log a b b

?

2 ?1 ,

?

…… 9 分

a ? 1, x ? R . b

……10 分

考点: 本小题主要考查对数不等式和指数不等式的求解、 复合函数的单调性和二次函数的图 象和性质的应用,考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用. 点评:函数的性质及其应用历来是考查的重点,要把各种函数的性质联系起来,综合灵活应 用. 16.证明见解析 【解析】 试题分析:设 f ?x ? ? x 3 ? 3x ? 1, 易知函数 f ?x ? ? x 3 ? 3x ? 1的图像是连续不断的, 且, f ?? 2? ? ?8 ? 6 ? 1 ? ?1 ? 0 , f ?? 1? ? ?1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 0 , ……2 分

? f ?x ? 在 ?? 2,?1? 内有一个零点,
即方程

x 3 ? 3x ? 1 ? 0 , 在 ?? 2,?1? 有一个根.

……6 分

同理 f ?0? ? 1 ? 0,

f ?1? ? ?1 ? 0 ,

f ?2? ? 3 ? 0 。
……12 分

? 方程

x 3 ? 3x ? 1 ? 0 的一个根在 ?0,1? 内,一个根在 ?1,2? 内.

考点:本小题主要考查函数零点存在定理的应用和学生构造函数和利用函数性质的能力. 点评:函数的零点存在定理要求函数必须是连续的,如果不连续,则函数零 点存在定理不 能用. 17. (Ⅰ) b ? ?1? 2 (Ⅱ) (2,??) (Ⅲ) 【解析】

3 ?b?2 2

1 ,因此 f ' (1) ? 1 , x 所以函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 ,
试题分析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ,所以 f ' ( x) ?

……1 分

? y ? x ? 1, ? 由? 得 x2 ? 2(b ? 1) x ? 2 ? 0 , 1 2 ? y ? 2 x ? bx, ?
由 ? ? 4(b ? 1)2 ? 8 ? 0 ,得 b ? ?1? 2 . (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 所以 h' ( x) ?
1 x 2 ? bx ? 1 ? x?b ? , x x
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……3 分

1 2 x ? bx( x ? 0) , 2

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由题意知 h' ( x) ? 0 在 (0,??) 上有解, 因为 x ? 0 ,设 u( x) ? x 2 ? bx ? 1 ,因为 u (0) ? 1 ? 0 ,
?b ? ? 0, 则只要 ? 2 ,解得 b ? 2 , ?( ? b ) 2 ? 4 ? 0 ?

所以 b 的取值范围是 (2,??) . (Ⅲ)不妨设 x1 ? x2 , 因为函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增 函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 函数 g (x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 1 。 (i)当 b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1,2]上是减函数,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于

……6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,
即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 等价于 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 h' ( x) ?

1 2 x ? bx 在区间[1,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,2]上恒成立, x 1 等价于 b ? x ? 在区间[1,2]上恒成立, x 所以 b ? 2 ,又 b ? 2 , 所以 b ? 2 . ……8 分 (ii)当 1 ? b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1, b]上是减函数,在 [b,2] 上为增函数。
① 当 1 ? x2 ? x1 ? b 时,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,
等价 于 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 h' ( x) ?

1 2 x ? bx 在区间[1,b]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,b]上恒成立, x 1 等价于 b ? x ? 在区间[1,b]上恒成立, x 所以 b ? 2 ,又 1 ? b ? 2 ,所以 1 ? b ? 2
②当 b ? x2 ? x1 ? 2 时,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,
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等 价 于 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 源:Z*xx*k.Com] 等价于 H '( x) ?

1 2 x ? bx 在 区 间 [b,2] 上 是 增 函 数 , [ 来 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[b,2]上恒成立, x

等价于 b ? x ?

1 在区间[b,2]上恒成立, x

所以 b ?

3 3 ,故 ? b ? 2 , 2 2

③当 1 ? x2 ? b ? x1 ? 2 时, 由 g ? x ? 图像的对称性知, 只要 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 对于①②同时成立, 那么对于③,则存在 t1 ? 1, b , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (t1 ) ? f ( x2 ) |? g ? t1 ? ? g ? x2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立; 或存在 t2 ??b,2? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x1 ) ? f (t2 ) |? g ? x1 ? ? g ? t 2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,

? ?

因此

3 ?b?2, 2 3 ? b ? 2. 2
……12 分

综上,b 的取值范围是

考点:本小题主要考查利用导数求切线方程、求单调性以及解决恒成立问题,考查学生的运 算求解能力和转化能力和分类讨论思想的应用. 点评:导数是研究函数的一个有力的工具,研究函数时,不要忘记考查函数的定义域.另外 恒成立问题一般转化成求最值问题解决. 18. (1) a ? 1 (2) ? 【解析】
2 试题分析: (1)因为 sin A 和 cos A 是关于 x 方程 25x ? 5ax ? 12a ? 0 的两个根,

4 3

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1 ? ?sin A ? cos A ? 5 a ? 所以由韦达定理得: ? ?sin A ? cos A ? ? 12 a ? 25 ?

(1) , (2)
1 2 24 1 2 a ,1 ? a? a , 25 25 25
……6 分

2 2 把(1)式两边平方,得 sin A ? cos A ? 2 sin A ? cos A ?

解得 a ? ?25 或 a ? 1 . 当? a ? ?25 时,不合题意,所以 a ? 1 .

1 ? ?sin A ? cos A ? 5 ? (2)由 ? ?sin A ? cos A ? ? 12 ? 25 ?

(1)
且 sin A ? 0, cos A ? 0 ,

(2)

4 sin A 4 4 3 得? sin A ? , cos A ? ? ,? tan A ? ? 5 ?? . 3 5 5 cos A 3 ? 5

……12 分

考点: 本小题主要考查韦达定理和同角三角函数的基本关系式的应用, 考查学生的运算求解 能力. 点评:求解三角函数值时,如果涉及到平方关系,则需要注意三角函数的符号,还要注意到 正弦和余弦值的范围. 19. 2 3 【解析】 【错解分析】根据三角形面积公式,只需利用正弦定理确定三角形的内角 C,则相应的三角 形内角 A 即可确定再利用 s? ?

1 bc sin A 即可求得。 但由于正弦函数在区间 ? 0,? ? 内不严格 2

格单调所以满足条件的角可能不唯一,这时要借助已知条件加以检验,务必做到不 漏解、 不多解。 【正解】根据正弦定理知:

AB AC 2 3 2 3 ? ? 即 得 sin C ? , ? sin C sin B sin C sin 30 2

由于 AB sin 30? ? AC ? AB 即满足条件的三角形有两个 故 C ? 60? 或 120? .则 A ? 30? 或 90? 故相应的三角形面积为 s ?

1 1 ? 2 3 ? 2 ? sin 30? ? 3 或 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 2 2

【点评】 正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具, 它沟通了三角形中的边角之间的 内在联系,正弦定理能够解决两类问题(1)已知两角及其一边,求其它的边和角。这时有 且只有一解。 (2)已知两边和其中一边的对角,求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区 间 ? 0,? ? 内不严格格单调,此时三角形解的情况可能是无解、一解 、两解,可通过几何法 来作出判断三角形解的个数。

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20. (1) f ( x) ? 2sin( 【解析】 试题分析:

2x ? 5 ?1 ? ) ? 1 (2) 3 6 2

1 ? cos( ?x) ? ? m ? 2 sin(?x ? ) ? 1 ? m. 2 6 2? 2 ? 3? , 解得 ? ? . 依题意函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即 ? 3 2x ? ? ) ? 1 ? m. 所以 f ( x) ? 2 sin( 3 6
(1) f ( x) ?

3 sin(?x) ? 2 ?

……2 分

……4 分

2 x ? 5? 1 2x ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 6 3 6 6 2 3 6 所以f ( x)的最小值m.? m ? 0. Q x ? [0, ? ],? ? 所以f ( x) ? 2sin( 2x ? ? ) ? 1. 3 6

?

……6 分

(2) f (C ) ? 2 sin(

2C ? 2C ? ? ) ? 1 ? 1,? sin( ? ) ? 1. 3 6 3 6 ? 2C ? 5? 2C ? ? ? 而 ? ? ? , 所以 ? ? .解得C ? . 6 3 6 6 3 6 2 2

……8 分

在Rt ?ABC中 Q A ? B ? ,
2

?
2

, 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ),
L L 10分

?1 ? 5 ? 2 cos A ? sin A ? sin A ? 0, 解得sin A ? . 2
Q 0 ? sin A ? 1,? sin A ? 5 ?1 . 2

L L 12分

考点:本小题主要考查三角函数的化简求值以及三角函数 图象和性质的应用,考查学生的 运算求解能力和转化能力. 点评:利用平方和关系求解三角函数时,要注意解的个数问题. www.ks5u.com www.ks5u.com www.ks5u.com 高考资源网%%%%%%%

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